1、2.2.3对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质学习目标1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质知识链接1作函数图象的步骤为列表、描点、连线另外也可以采取图象变换法2指数函数yax(a0且a1)的图象与性质.a10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点过点(0,1)，即x0时，y1函数值的变化当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数预习导引1对数函数的概念把函数ylogax(x0，a0，a1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数
2、函数的图象与性质a10a1图象性质定义域(0，)值域R过点过点(1,0)，即x1时，y0函数值的变化当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0单调性是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数3.反函数(1)对数函数ylogax(a0且a1)与指数函数yax(a0，且a1)互为反函数(2)要寻找函数yf(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成xf(y)，再把y解出来，表示成yg(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).题型一对数函数的概念例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y3log2x；(2)ylog6x；(3)ylogx3；(4)ylog2
3、x1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数(3)自变量在底数位置上，不是对数函数(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如ylogax(a0且a1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()Aylog2xBy2log4xCylog2x或y2log4xD不确定答案A解析设对数函数的解析式为ylogax(a0且a1)，由题意可知loga42，a24，a2，该对数函数的解析
4、式为ylog2x.题型二对数函数的图象例2如图所示，曲线是对数函数ylogax的图象，已知a取，、，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为()A.、B.、C.、D.、答案A解析方法一先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x1时图低的底大，c1、c2对应的a分别为、.然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x1时底大的图高，c3、c4对应的a分别为、.综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为、.故选A.方法二作直线y1与四条曲线交于四点，由ylogax1，得xa(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为、，故选A.规律方法函数y
5、logax(a0且a1)的底数变化对图象位置的影响观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x1的右侧，a1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0a1时a越小，图象向右越靠近x轴(2)左右比较：比较图象与y1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大跟踪演练2(1)函数yloga(x2)1的图象过定点()A(1,2) B(2,1) C(2,1) D(1,1)(2)如图，若C1，C2分别为函数ylogax和ylogbx的图象，则()A0ab1B0ba1Cab1Dba1答案(1)D(2)B解析(1)令x21，即x1，得yloga111，故函数yloga(x2)1的图象过定点(1,1)(2)
6、作直线y1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0ba1.题型三对数函数的定义域例3(1)函数f(x)lg(1x)的定义域是()A(，1) B(1，)C(1,1)(1，) D(，)(2)若f(x)，则f(x)的定义域为()A.B.C.(0，) D.答案(1)C(2)C解析(1)由题意知解得x1且x1.(2)由题意有解得x且x0.规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式跟踪演练3(1)函数yln(1x)的定义域为()A
7、(0,1) B0,1) C(0,1D0,1(2)函数y的定义域是()A(1，) B1，)C(1,1)(1，) D1,1)(1，)答案(1)B(2)C解析(1)因为yln(1x)，所以解得0x1.(2)要使函数有意义，需解得x1且x1，故函数的定义域为(1,1)(1，)，故选C.题型四反函数例4求下列函数的反函数：(1)y2x5；(2)y；(3)y1e.解(1)从x2y5中解得y，即为所求；(2)从x中解得y，即为所求；(3)从x1e移项得x1e.两端取自然对数得到ln(x1)，解得y2ln(x1)，即为所求规律方法要找寻函数yf(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成xf(y)，再把y解出来，
8、表示成yg(x)的形式如果这种形式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x)既然yg(x)是从xf(y)解出来的，必有f(g(x)x，这个等式也可以作为反函数的定义跟踪演练4ylnx的反函数是_答案yex解析由ylnx，得xey，所以反函数为yex.课堂达标1下列函数是对数函数的是()Ayloga(2x)Bylog22xCylog2x1Dylgx答案D解析选项A、B、C中的函数都不具有“ylogax(a0且a1)”的形式，只有D选项符合2函数yax与ylogax(a0，且a1)在同一坐标系中的图象形状可能是()2答案A解析函数ylogax恒过定点(1,0)，排除B项；当a1时，yax是增函
9、数，ylogax是减函数，排除C项，当0a1时，yax是减函数，ylogax是增函数，排除D项，A项正确3.函数f(x)的定义域为_.答案2，)解析要使函数f(x)有意义，则log2x10，即x2，则函数f(x)的定义域是2，).4若a0且a1，则函数yloga(x1)1的图象恒过定点_答案(2,1)解析函数图象过定点，则与a无关，故loga(x1)0，所以x11，x2，y1，所以yloga(x1)1过定点(2,1)5函数ylgx的反函数是_答案y10x解析由反函数的定义知x10y，故反函数为y10x.课堂小结1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有ylogax(a0且a1)这种形式2在对数函数ylogax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质3涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.