1、1.2.7二次函数的图象和性质增减性和最值学习目标1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值知识链接1函数yx22x3的对称轴为x1，该函数的递增区间为(1，)，递减区间为(，1)2函数yx2的最小值为0.预习导引二次函数f(x)ax2bxc(a0，xR)，当a0(a0)时，在区间(，上递减(递增)，在，)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x处取到最小(大)值f()，这里b24ac.点(，)叫作二次函数图象的顶点.题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式解方法一利用二次函数一般式设f(x
2、)ax2bxc(a0)则由得ba，则2ac1，即c2a1.代入整理得a24a，解得a4，或a0(舍去)b4，c7.因此所求二次函数解析式为y4x24x7.方法二利用二次函数顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，抛物线对称轴为x，即m.又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)a(x)28，f(2)1，a(2)281.解之得a4.f(x)4(x)284x24x7.方法三利用两根式由已知f(x)10的两根为x12，x21.故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，8.解之得a4.所求函数解析式为f(x)4x24x7.规律方法用待定系数
3、法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)ax2bxc(一般式)、f(x)a(xx1)(xx2)(两根式)、f(x)a(xm)2n(顶点式)跟踪演练1已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x.求f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)a(x1)2b(x1)c，f(x1)a(x1)2b(x1)c，又f(x1)f(x1)2x24x，2ax22bx2a2c2x24x，f(x)x22x1.题型二二次函数的增减性例2f(x)4x2mx5在区间2，)上是递增函数，求m的取值范围解函数的顶点横坐标为x，又函数在区间2，)上是递增函数，2，即m16，故m的
4、取值范围是m|m16规律方法f(x)ax2bxc(a0)在(，上是递减函数，在，)上是递增函数跟踪演练2已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，15,5当x1时，f(x)min1；当x5时，f(x)max37.(2)f(x)(xa)22a2，其顶点横坐标为xa.f(x)在区间5,5上是单调函数，a5或a5.故a的取值范围是a5或a5.题型三求二次函数的值域或最值例3求函数yx22ax1在0,2上的值域解当a0时，yminf(0)
5、1，ymaxf(2)44a134a，所以函数的值域为1,34a当0a1时，yminf(a)(a21)，ymaxf(2)34a，所以函数的值域为(a21)，34a当1a2时，yminf(a)(a21)，ymaxf(0)1，所以函数的值域为(a21)，1当a2时，yminf(2)34a，ymaxf(0)1，所以函数的值域为34a，1规律方法在求二次函数的最值时，要注意定义域是R还是区间m，n，若是区间m，n，最大(小)值不一定在顶点取得，而应该看顶点横坐标是在区间m，n内还是在区间的左边或右边在区间的某一边时应该利用函数的增减性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得跟踪演练3已知二次函数f
6、(x)x22x2.(1)当x0,4时，求f(x)的最值；(2)当x2,3时，求f(x)的最值；(3)当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t)解(1)f(x)x22x2(x1)21，其图象顶点横坐标为x1，开口向上，当x0,4时，f(x)maxf(4)4224210，f(x)minf(1)1.(2)f(x)的顶点横坐标为x1，开口向上，f(x)在2,3上为增函数，f(x)minf(2)222222，f(x)maxf(3)322325.(3)g(t)课堂达标1若f(x)(m1)x2(m1)x1是二次函数，则()Am为任意实数Bm1Cm1Dm1且m1答案B解析由m10，得m1，故选B.2函数f(x
7、)x23x2在区间(5,5)上的最大、最小值分别为()A42,12B42，C12，D无最大值，最小值为答案D解析f(x)(x)2，x(5,5)，当x时，f(x)有最小值，f(x)无最大值3函数f(x)2x23|x|的单调递减区间是_答案(，和0，4已知函数f(x)2x2mx3，当x(，1时是递减函数，则m的取值范围是_答案4，)解析f(x)2(x)23，1，即m4.课堂小结二次函数在某区间上的最值(或值域)的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间、定区间动轴”，解法是：抓住“三点一轴”数形结合，三点指定的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴具体做法是：首先要采用配方法，化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)其次对区间进行讨论，可分成三个类型：(1)顶点固定，区间也固定(2)顶点含参数(即顶点为动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.