1、1.2.8二次函数的图象和性质对称性学习目标1.能说出奇函数和偶函数的定义.2.会判断具体函数的奇偶性.3.会分析二次函数图象的对称性.4.能求一个二次函数在闭区间上的最值知识链接函数yx的图象关于原点对称，yx2的图象关于y轴对称预习导引1函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)F(x)成立，则称F(x)为偶函数；(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)F(x)成立，则称F(x)为奇函数2二次函数图象的对称性(1)二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象的对称轴是直线x；(2)如果函数f(x)对任意的h都有f(sh)f(s
2、h)，那么f(x)的图象关于直线xs对称.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)|x2|x2|；(3)f(x)x2；(4)f(x)；(5)f(x).解(1)函数定义域为R，且f(x)(x)3(x)x3x(x3x)f(x)，所以该函数是奇函数；(2)函数定义域为R，且f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以该函数是偶函数；(3)函数定义域是x|x0，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(4)函数定义域是x|x1，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；(5)要使函数有意义，需满足解得x2，即函数的定义域是2，2，这时f(x)0.所以f(x)f
3、(x)，f(x)f(x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数规律方法1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数(3)还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶
4、)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)2判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果跟踪演练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)(x21).解(1)函数定义域为R，且f(x)f(x)故该函数是奇函数；(2)函数定义域为x|x1，关于原点对称，且f(x)f(x)故f(x)是偶函数(3)函数定义域是x|x1，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数题型二函数奇偶性的简单应用例2(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于(
5、)A3B1C1D3(2)若函数f(x)x33xa是奇函数，则实数a_.答案(1)A(2)0解析(1)因为当x0时，f(x)2x2x，所以f(1)2(1)2(1)3.又f(x)是奇函数，所以f(1)f(1)3，选A.(2)方法一因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)对任意xR都成立，即x33xax33xa对任意xR都成立所以a0.方法二因为f(x)是奇函数且在x0处有定义必有f(0)0，即0330a0，解得a0.规律方法1.利用奇偶性求值时，主要根据f(x)与f(x)的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应
6、转化2已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x0处有定义的奇函数，还可根据f(0)0求解跟踪演练2(1)已知f(x)是偶函数，且f(4)5，那么f(4)f(4)的值为()A5B10C8D不确定(2)若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a等于()A2B1C1D2答案(1)B(2)C解析(1)f(x)是偶函数，f(4)f(4)f(4)f(4)2f(4)2510.(2)f(x)是偶函数，f(x)f(x)对任意xR都成立，即(x1)(xa)(x1)(xa)整理得2(a1)x0，xR，必有a10，即a1.题
7、型三二次函数的区间最值问题例3已知函数f(x)x22ax2，x5,5用a表示出函数f(x)在区间5,5上的最值解函数f(x)x22ax2(xa)22a2的图象开口向上，对称轴为xa.当a5，即a5时，函数在区间5,5上递增，所以f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(5)2710a；当5a0，即0a5时，函数图象如图(1)所示由图象可得f(x)minf(a)2a2，f(x)maxf(5)2710a；当0a5，即5a0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)maxf(5)2710a，f(x)minf(a)2a2；当a5，即a5时，函数在区间5,5上递减，所以f(x)minf(5
8、)2710a，f(x)maxf(5)2710a.规律方法1.对于定义域为R的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解2若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域跟踪演练3求函数f(x)x2mx6(m0)在区间0,2上的最大值解f(x)x2mx6(x)26，该函数曲线开口向下，对称轴为直线x.(1)当2，即m4时，f(x)在0,2上单调递增，其最大值为f(2)22m.(2)当0
9、2，即4m0时，f(x)在0,2上的最大值为f()6.课堂达标1下列函数为奇函数的是()Ay|x|By3xCyDyx24答案C解析A项和D项中的函数为偶函数，B项中的函数是非奇非偶函数，选C.2对于定义在R上的函数f(x)，给出下列判断：(1)若f(2)f(2)，则函数f(x)是偶函数；(2)若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数；(3)若f(2)f(2)，则函数f(x)不是奇函数其中正确的判断的个数是()A0B1C2D3答案B解析(1)仅有f(2)f(2)不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故(1)错误；(2)当f(2)f(2)时，该函数就一定不是偶函数，故(
10、2)正确；(3)若f(2)f(2)，则不能确定函数f(x)不是奇函数如若f(x)0，xR，则f(2)f(2)，但函数f(x)0，xR既是奇函数又是偶函数，故(3)错误3函数y()A是奇函数B既是奇函数又是偶函数C是偶函数D是非奇非偶函数答案D解析函数定义域是x|x1，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.4函数f(x)2x2x1在区间1,2上的值域是()A(， B7，4C7， D4，答案C解析由于f(x)2x2x12(x)2，而1,2，所以f(x)最大值是f()，最小值为f(2)7，故值域为7，故选C.5如果定义在区间3a,5上的函数f(x)为偶函数，那么a_.答案8解析f(x)为区间3a,5上的偶函数，区间3a,5关于坐标原点对称，3a5，即a8.课堂小结1.在奇函数与偶函数的定义域中，都要求xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件2解题中可以灵活运用f(x)f(x)0对奇偶性作出判断3奇函数f(x)若在x0处有意义，则必有f(0)0.4奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性5抛物线yax2bxc(a0)的对称轴是直线x，开口方向由a确定，和x轴的位置关系由判别式b24ac确定.