1、23幂函数23.1幂函数的概念23.2幂函数的图象和性质学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小知识链接函数yx，yx2，y(x0)的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性yxRR递增奇yx2R0，)在(，0)上递减偶在0，)上递增yx|x0y|y0在(，0)上递减奇在(0，)上递减预习导引1幂函数的概念一般来说，当x为自变量而为非0实数时，函数yx叫作(次的)幂函数2幂函数的图象与性质幂函数yxyx2yx3yyx1图象定义域RRR0，)(，0) (0，)值域R0，)R0，)y
2、|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性递增x0，)递增；x(，0递减递增递增x(0，)递减；x(，0)递减定点(1,1)题型一幂函数的概念例1函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3，在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不合要求f(x)的解析式为f(x)x3.规律方法1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2m11”这一等量关系，导致解题受阻2幂函数yx(R)中，为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函
3、数的重要依据和唯一标准幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错跟踪演练1已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f(100)_.答案10解析由题意可知f(9)3，即93，f(x)，f(100)10.题型二幂函数的图象例2如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，答案B解析考虑幂函数在第一象限内的增减性注意当n0时，对于yxn，n越大，yxn增幅越快，n0时看|n|的大小根据幂函数yxn的性质，在第一象限内的图象当n0时，n越大，yxn递增速度越快，故c1的
4、n2，c2的n，当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n，曲线c4的n2，故选B.规律方法幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x1的右侧，yx的图象由上到下，指数由大变小；在第一象限内，直线x1的左侧，yx的图象由上到下，指数由小变大(2)当0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当01时，曲线上凸；当1时，曲线下凸；当0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸跟踪演练2如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A1n0m1Bn1,0m1C1n0，m1Dn1，m1答案B解析在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交
5、点，如图所示根据点低指数大，有0m1，n1.题型三比较幂的大小例3比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)1与1；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.解(1)y是0，)上的增函数，且，.(2)yx1是(，0)上的减函数，且，11.(3)0.252，6.252.5.yx是0，)上的增函数，且22.5，22.5，即0.256.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6，又y0.3x是减函数，0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4.规律方法1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同
6、而底数相同，则构造指数函数2若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量跟踪演练3比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)3.143与3；(3)与.解(1)yx0.5在0，)上是增函数且，0.50.5.(2)yx3是R上的增函数，且3.14，3.1433，3.1433.(3)yx是减函数，.y是0，)上的增函数，.课堂达标1下列函数是幂函数的是()Ay5xByx5Cy5xDy(x1)3答案B解析函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数2下列函数中，其定义域和值域
7、不同的函数是()AyByxCyDyx答案D解析yx，其定义域为R，值域为0，)，故定义域与值域不同3设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A1,3B1,1C1,3 D1,1,3答案A解析可知当1,1,3时，yx为奇函数，又yx的定义域为R，则1,3.4若a()，b()，c(2)3，则a、b、c的大小关系为_答案abc解析yx在(0，)上为增函数()()，即ab0.而c(2)3230，abc.5幂函数f(x)(m2m1)xm22m3在(0，)上是减函数，则实数m_.答案2解析f(x)(m2m1)xm22m3为幂函数，m2m11，m2或m1.当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数，当m1时，f(x)x01不符合题意综上可知m2.课堂小结1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量2幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小3简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果0，幂函数在0，)上有意义，且是增函数(3)如果0，幂函数在x0处无意义，在(0，)上是减函数.