1、12.4从解析式看函数的性质学习目标1.理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义.2.运用函数单调性的定义判断函数的单调性.3.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义.4.会利用函数的单调性求函数的最值知识链接以下说法中：函数y2x在R上为增函数；函数y的单调递增区间为(，0)(0，)；函数yx22x3的单调递增区间为(1，)正确的有_答案预习导引1函数的上界和下界(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)B对一切xD成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)A对一切xD成立，称A是函数f的一个
2、下界(2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数2函数的最大值与最小值(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有aD，使得不等式f(x)f(a)对一切xD成立，就说f(x)在xa处取到最大值Mf(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有bD，使得不等式f(x)f(b)对一切xD成立，就说f(x)在xb处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点3函数的单调性(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1x2时都有f(
3、x1)f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数(2)如果函数yf(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间(3)对于函数f(x)，设h0，差式f(xh)f(x)叫作函数在区间I上的差分差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数.题型一判断或证明函数的单调性例1证明函数f(x)x在(1，)上是递增函数证明f(xh)xh，f(xh)f(x)xhxhh.h0，x1，hx2h2xh0，x(xh)0.0.即差分f(xh)
4、f(x)0，f(x)x在(1，)上是递增函数规律方法证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(xh)f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论跟踪演练1(1)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定(2)证明函数f(x)在(0，)上为单调递减函数(1)答案D解析因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1)与f(x2)的大小关系无
5、法确定，故选D.(2)证明f(xh)f(x)，x0，h0，0.即差分f(xh)f(x)0，故f(x)在(0，)上为单调递减函数题型二求函数的单调区间例2分别作出下列函数图象，写出它们的单调区间(1)yx22x；(2)y2|x|；(3)yx22|x|3.解(1)函数yx22x在(，1上是递减函数，在1，)上是递增函数如图（1）图(1)(2)y2|x|图象如图（2）.图(2)函数y2|x|在(，0上是递减函数，在0，)上是递增函数(3)f(x)图象如图（3）.图(3)函数yx22|x|3在(，1，0,1上是递增函数，在1,0，1，)上是递减函数规律方法利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是
6、，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间跟踪演练2作出函数yx|x|1的图象并写出其单调区间解由题意可知y作出函数的图象如图所示，所以原函数在(，)上为单调递增函数题型三函数单调性的应用例3已知函数f(x)是定义在1,1上的递增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围解因为f(x)是定义在1,1上的递增函数，且f(x2)f(1x)，所以有解得即x的取值范围是1x.规律方法1.单调性的应用主要
7、体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值等题型上，解题时注意采用数形结合的方法求解已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时，要求自变量首先应在定义域内，这是一个容易出现错误的地方，然后在此基础上利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解2利用函数的单调性求最值时，首先要证明或判断函数的单调性，若f(x)在a，b上单调递增，则f(x)在a，b上的最小值为f(a)，最大值为f(b)；若f(x)在a，b上单调递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)跟踪演练3(1)若函数yx22ax2在1，)上为递增函数，求实数a的取值范围；(2)求函数f(x)在2,4上的最值解(1
8、)由题意可知原函数为y(xa)22a2，其开口向上，且对称轴为xa，若使得原函数在1，)为递增函数，则只需对称轴xa在直线x1的左侧或与其重合，即满足a1即可，所以实数a的取值范围是a1.(2)f(xh)f(x)，又h0，x2，0.故f(x)在2,4上单调递增于是f(x)在2,4上的最大值是f(4)，最小值是f(2)0.课堂达标1函数yx2的单调递增区间为()A(，0 B0，)C(0，) D(，)答案A解析由图象可知，yx2的单调递增区间是(，0，选A.2函数f(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为()Af(2)，f(2) Bf()，f(1)Cf()，f() Df()，f
9、(0)答案C3设一次函数f(x)(2a1)xb是R上的递减函数，则a的取值范围为()AaBaCaDa答案B解析f(xh)f(x)(2a1)(xh)b(2a1)xb(2a1)h，依题意(2a1)h0，而h0，2a10，即a，选B.4若函数f(x)在区间I上是单调递增函数，则对任意的x1，x2I(x1x2)，必有()A(x1x2)f(x1)f(x2)0B(x1x2)f(x1)f(x2)0C(x1x2)f(x1)f(x2)0D(x1x2)f(x1f(x2)0答案B解析由于f(x)在I上单调递增，所以当x1x2时有f(x1)f(x2)；当x1x2时有f(x1)f(x2)，因此必有(x1x2)f(x1)
10、f(x2)0，选B.5若f(x)是R上的单调递减函数，且f(x1)f(x2)，则x1与x2的大小关系是_答案x1x2解析由定义知当f(x1)f(x2)时一定有x1x2.课堂小结1.函数的单调区间必须是定义域的子集因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域2研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)在(，0)和(0，)上都是递减函数，但不能说函数f(x)在定义域上是递减函数3求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性4用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：即“取值作差变形定号判断”这四个步骤若f(x)0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值作比变形与1比较判断”5求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出6运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别当函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法.