1、2019-2020学年广西南宁三中高二（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1（5分）直线xy+a0（a为常数）的倾斜角为（）A30B60C150D1202（5分）已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac3（5分）若直线l1：x+3y+m0（m0）与直线l2：2x+6y30的距离为，则m（）A7BC14D174（5分）点P（4，2）与圆x2+y2
2、4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）21B（x2）2+（y+1）24C（x+4）2+（y2）21D（x+2）2+（y1）215（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A100B150C200D2506（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A3B4C5D67（5分）等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二侧画法画出的直观图ABCD的面积为（）ABCD28（5分）将某选手的9个得分去掉
3、1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）ABC36D9（5分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O则下列说法正确的是（）AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心10（5分）一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）21相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或11（5分）已知边长为1的等边三角形
4、ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）A2BCD12（5分）两圆x2+y2+2ax+a240和x2+y24by1+4b20恰有三条公切线，若aR，BR，且ab0，则的最小值为（）ABC1D3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm14（5分）如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的
5、平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为 15（5分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（xa）2+（yb）2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为 16（5分）已知圆O：x2+y29及点C（2，1），过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l的方程为 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）求经过点P（4，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程（2）设直线yx+2a与圆C：x2+y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，求
6、圆C的面积18（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H（）求四面体ABCD的体积；（）证明：四边形EFGH是矩形19（12分）已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（cosB，cosC），（2a+c，b），且（1）求角B的大小；（2）若b，求a+c的范围20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，DC6，AD8，BC10，PAD45，E为PA的中点（1）求证：DE平面BPC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CFDB？若存在，试求出二面角FPCD的余弦值
7、；若不存在，请说明理由21（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S550，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1公比为2的等比数列，求数列bn前n项和Tn22（12分）已知直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2019-2020学年广西南宁三中高二（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）参考答案与试题解析一、
8、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1（5分）直线xy+a0（a为常数）的倾斜角为（）A30B60C150D120【分析】由直线的倾斜角与斜率k的关系，可以求出的值【解答】解：设直线xy+a0的倾斜角是，则直线的方程可化为yx+a，直线的斜率ktan，0180，60故选：B【点评】本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题，是基础题2（5分）已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（）A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac【分析】由空间
9、两直线的位置关系：平行、相交和异面，以及两直线所成角的概念，即可判断正确结论【解答】解：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，故A错误；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面，故B错误；若ab，则a，b与c所成的角相等，故C正确；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面，故D错误故选：C【点评】本题考查空间线线的位置关系和所成角的定义，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题3（5分）若直线l1：x+3y+m0（m0）与直线l2：2x+6y30的距离为，则m（）A7BC14D17【分析】直线l1即 2x+6y+2m0，根据它与直线l2：2x+6y30的距离为，可得 ，
10、由此求得m的值【解答】解：直线l1：x+3y+m0（m0），即 2x+6y+2m0，它与直线l2：2x+6y30的距离为，求得m，故选：B【点评】本题主要考查两条平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x，y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，属于中档题4（5分）点P（4，2）与圆x2+y24上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）21B（x2）2+（y+1）24C（x+4）2+（y2）21D（x+2）2+（y1）21【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y）
11、，则代入x2+y24得（2x4）2+（2y+2）24，化简得（x2）2+（y+1）21故选：A【点评】本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用5（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A100B150C200D250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量总体个数抽取比例计算n值【解答】解：分层抽样的抽取比例为，总体个数为3500+15005000，样本容量n5000100故选：A【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关
12、键6（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（）A3B4C5D6【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得S4，n1，不满足条件S6，S8，n2不满足条件n3，执行循环体，满足条件S6，S2，n3不满足条件n3，执行循环体，不满足条件S6，S4，n4此时，满足条件n3，退出循环，输出S的值为4故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7（5分）等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB
13、，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二侧画法画出的直观图ABCD的面积为（）ABCD2【分析】根据题意，求出原图形的面积，再求出它的直观图的面积即可【解答】解：如图所示，梯形ABCD的高为1，面积为，它的直观图的面积为2故选：A【点评】本题考查了斜二测画法直观图的面积与原图形面积的应用问题，是基础题目8（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）ABC36D【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的
14、个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x这组数据的平均数是 91，x4这这组数据的方差是 （16+1+1+0+0+9+9）故选：B【点评】本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差9（5分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内
15、的射影为O则下列说法正确的是（）AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心【分析】先证明PAEF，POEF，可证EF平面PAO，从而可得EFAO，同理可知：AEFO，AFEO，从而判定O为AEF的垂心【解答】解：由题意可知PA、PE、PF两两垂直，由PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，所以EF平面PAO，EFAO，同理可知：AEFO，AFEO，O为AEF的垂心故选：A【点评】本题主要考查了垂心的判定，考查了直线和平面垂直的判定和性质以及直线和直线垂直的判定在证明线线垂直时，其常用方法线证明线面垂直，再证明线线垂直，属于中档题10（5分）一条
16、光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y2）21相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A或B或C或D或【分析】点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3k（x2），利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：点A（2，3）关于y轴的对称点为A（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3k（x2），化为kxy2k30反射光线与圆（x+3）2+（y2）21相切，圆心（3，2）到直线的距离d1，化为24k2+50k+240，k或故选：D【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，
17、属于中档题11（5分）已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）A2BCD【分析】找出二面角的平面角，设球的半径为R，则R2（R）2+（）2，求出R，即可求出球的体积【解答】解：作CO面ABDE，OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角，CH，OH，CO结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，设球的半径为R，则R2（R）2+（）2，RV故选：D【点评】本小题主要考查球的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题12（5分）两圆x2+y2+2ax+a2
18、40和x2+y24by1+4b20恰有三条公切线，若aR，BR，且ab0，则的最小值为（）ABC1D3【分析】由题意可得 两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，圆心距与半径关系列出方程，化简所求的表达式，使用基本不等式求得表达式的最小值【解答】解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为 （x+a）2+y24，x2+（y2b）21，圆心分别为（a，0），（0，2b），半径分别为 2和1，故有 3，a2+4b29，1，+21，当且仅当 ，并且a2+4b29时，等号成立，故选：C【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到1，是解题的关键
19、和难点二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24株树木的底部周长小于100cm【分析】根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数样本容量频率求出底部周长小于100cm的频数【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）100.4，底部周长小于100cm的频数为600.424（株）故答案为：24【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率
20、分布直方图中频率小矩形的面积小矩形的高组距14（5分）如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为【分析】以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与GF所成的角的余弦值【解答】解：如图，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（0，2，0），D（0，0，2），G（1，0，0），F（0，2，1），（0，2，2），（1，2，1），设AD与GF所成的角为，则cos|cos|故答案为：【点评】本题考查异面直线所
21、成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用15（5分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（xa）2+（yb）2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x2）2+（y1）25【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是 ，所以圆C的方程是（x2）2+（y1）25故答案为：（x2）2+（y1
22、）25【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用考查了数形结合的思想，转化和化归的思想16（5分）已知圆O：x2+y29及点C（2，1），过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l的方程为x+y30或7x+y150【分析】分直线l的斜率存在和不存在两种情况求解，用点到直线的距离求高，用垂径定理求弦长，最后表示面积，用均值不等式求最值；【解答】解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标为（2， ），（2， ）；所以SOPQ 22 2 ；当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k（x2）（k ）；则圆心到直线PQ的
23、距离d；由平面几何知识得|PQ|；SOPQ ；当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值；因为 ，所以SOPQ的最大值为 ；由； 解得：k7，或 k1；则直线l方程为x+y30或7x+y150；故答案为：x+y30或7x+y150；【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，点到直线的距离等知识；还可以直接当三角形为直角三角形时面积最大，再转化为点到直线的距离求直线的斜率；属于中档题三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）求经过点P（4，1），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程（2）设直线yx+2a与圆C：x2+y22ay20相交于A，B两
24、点，若|AB|2，求圆C的面积【分析】（1）分直线过原点和不过原点；（2）计算出圆心到弦的距离，利用垂径定理可以得到a的值，再计算圆的面积；【解答】解：（1）设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点（0，0）和（4，1），l的方程为yx，即x4y0若a0，则设l的方程为+1，l过点（4，1），+1，a5，l的方程为x+y50故直线l的方程为x4y0或x+y50（2）圆C：x2+y22ay20，即C：x2+（ya）2a2+2，圆心为C（0，a），半径r，C到直线yx+2a的距离为d由，则，解得a22，则 圆的面积为（a2+2）4；故圆的面积为：4【点评】本题考查圆中涉及到直线与圆相交的
25、相关问题，注意垂径定理的使用，属于基础题18（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H（）求四面体ABCD的体积；（）证明：四边形EFGH是矩形【分析】（）证明AD平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（）证明四边形EFGH是平行四边形，EFHG，即可证明四边形EFGH是矩形【解答】（）解：由题意，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V；（）证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH同理EFAD，
26、HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量（cosB，cosC），（2a+c，b），且（1）求角B的大小；（2）若b，求a+c的范围【分析】（1）根据题意，由数量积的计算公式可得（2a+c）cos B+bcosC0，结合正弦定理可得2cos Bsin Asin（B+C）sin A，变形可得cosB的值，即可得答案；（2）由余弦定理可得b2（a+c）2，分析可得（a+c）24，
27、解可得a+c2，由三角形的角边关系分析可得a+c的最小值，综合即可得答案【解答】解（1）根据题意，（cos B，cos C），（2a+c，b），且，则有（2a+c）cos B+bcosC0，即cos B（2sin A+sin C）+sin Bcos C0，2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C0即2cos Bsin Asin（B+C）sin AA（0，），sin A0，cosB0B，B（2）由余弦定理得b2a2+c22accosa2+c2+ac（a+c）2ac（a+c）2（）2（a+c）2，当且仅当ac时取等号（a+c）24，故a+c2又a+cb，a+c（，2即a+
28、c的取值范围是（，2【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量数量积的计算，（2）的关键是利用基本不等式进行分析20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，DC6，AD8，BC10，PAD45，E为PA的中点（1）求证：DE平面BPC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CFDB？若存在，试求出二面角FPCD的余弦值；若不存在，请说明理由【分析】（1）取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CNAB，垂足为点N推导出四边形CDAN为平行四边形，从而CNAD8，DCAN6，AB12，推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DECM由此能证明DE平面BPC（2）
29、由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出二面角FPCD的余弦值【解答】解：（1）证明：取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CNAB，垂足为点NCNAB，DAAB，CNDA，又ABCD，四边形CDAN为平行四边形，CNAD8，DCAN6，在RtBNC中，BN6，AB12，而E，M分别为PA，PB的中点，EMAB且EM6，又DCAB，EMCD且EMCD，四边形CDEM为平行四边形，DECMCM平面PBC，DE平面PBC，DE平面BPC（2）解：由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA
30、，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A（8，0，0），B（8，12，0），C（0，6，0），P（0，0，8）假设AB上存在一点F使CFBD，设点F坐标为（8，t，0），则（8，t6，0），（8，12，0），由0得t又平面DPC的一个法向量为（1，0，0），设平面FPC的法向量（x，y，z），则（0，6，8），（8，0），由，取y12，得（8，12，9），设二面角FPCD的平面角为，则cos二面角FPCD的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知等差数列
31、an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S550，a1，a4，a13成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设是首项为1公比为2的等比数列，求数列bn前n项和Tn【分析】（）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出an2n+1（），由此利用错位相减法能求出数列bn前n项和Tn【解答】解：（）等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，且S3+S550，a1，a4，a13成等比数列，（2分）解得（4分）ana1+（n1）d3+2（n1）2n+1，an2n+1（6分）（）是首项为1公比为2 的等比数列，（7分）（9分）两式相减得：1+（2n1）2n（
32、13分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用22（12分）已知直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件直接利用点到直线的距离求出圆心的坐标最后求出圆的方程（2）利用分类讨论思想，经过定点的直线斜率存在斜率不存在，分类求出点N的坐标【解答】解：（1）直线l：4x+3y+100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方设圆心C（a，0），则，解得a0或a5（舍）所以圆C：x2+y24（2）如图：当直线ABx轴时，x轴平分ANB当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk（x1），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得到：（k2+1）x22k2x+k240，所以x1+x2，x1x2若x轴平分ANB，kANkBN，所以：，整理得：2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t0，解得：t4所以当点N为（4，0）时，能使得ANMBNM总成立【点评】本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用及相关的运算问题