1、2019-2020学年广西桂林十八中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题每小题只有一个选项符合题意每小题5分，共60分）1（5分）已知集合Ax|（x1）（x4）0，Bx|x2，则AB（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，22（5分）若是第三象限角，且tan，则cos（）ABCD3（5分）若ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则cos（A+C）（）ABCD4（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）ABCD5（5分）在ABC中，若a2，b2，A30，则B等于（）A30B30或150C
2、60D60或 1206（5分）若变量x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为（）A4B3C2D17（5分）已知cos（+），则sin2（）ABCD8（5分）设an为等差数列，其前n项和为Sn若2a86+a11，则S9（）A54B40C96D809（5分）若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围为（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）ABCD311（5分）记Sn为正项等比数列an的前n项和，若780，且正整数m，n满足a1ama2n2，则+的最小值是（）ABCD12（5分）若a，b是函数f（x）x2px+q（p0，q
3、0）的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A6B7C8D9二、填空题（本题共4小题共20分）13（5分）已知向量，若，则实数m等于 14（5分）已知P（sin，cos）为直线2xy0上一点，则的值是 15（5分）在数列an中，“an+（nN*），又bn，则数列bn的前n项和Sn为 16（5分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（b+2sinC）cosA2sinAcosC，且a2，则ABC面积的最大值为 三、计算题（本题共6题，共70分）17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
4、已知（1）求角C的大小；（2）若，且a2b，求c的值18（12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量（x万辆）1099.510.51188.5空气质量指数y78767779807375（1）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是
5、否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，19（12分）如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA平面ABCD，PA2，ABC60，E是BC中点，若H为PD上的点，AH（1）求证：EH平面PAB；（2）求三棱锥PABH的体积20（12分）设数列an的前n项和为Sn，且，等差数列bn的各项均为正数，且a4b2+6b4（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn21（12分）设f（x）x2（m+1）x+1（m0）（1）求不等式f（x）1m（m0）的解集（2）设a，b为方程f（x）0的两个根，且ab，求证：a2+b22（ab）22（12分）
6、已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）点P在直线l：2x4y+30上，过点P作圆C的切线，切点记为M，求使|PM|最小的点P的坐标2019-2020学年广西桂林十八中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题每小题只有一个选项符合题意每小题5分，共60分）1（5分）已知集合Ax|（x1）（x4）0，Bx|x2，则AB（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，2【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1x4，Bx|x2，AB（1，2故选：D【点评】考查描述法、区间的定
7、义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2（5分）若是第三象限角，且tan，则cos（）ABCD【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos 的值【解答】解：是第三象限角，且tan，sin2+cos21，cos0，且cos，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题3（5分）若ABC的三个内角A、B、C成等差数列，则cos（A+C）（）ABCD【分析】直接利用等差数列求出B，然后求出A+C的值，即可求解【解答】解：ABC的三个内角A、B、C成等差数列，所以2BA+C，由A+B+C180，所以B60，A+C120所以cos（A+C）cos
8、120故选：C【点评】本题考查两角和与差的三角函数，等差数列的应用，基本知识的考查4（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）ABCD【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可【解答】解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为故选：B【点评】本题主要考
9、查随机事件的性质，古典概型概率计算公式以及列举法的应用，属于基础题5（5分）在ABC中，若a2，b2，A30，则B等于（）A30B30或150C60D60或 120【分析】直接利用正弦定理，求出B的正弦函数值，即可求出B的值【解答】解：a2，b2，A30，由正弦定理得：sinBba，B60或120故选：D【点评】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正确利用正弦定理是解本题的关键，属于基础题6（5分）若变量x，y满足约束条件，则z2x+y的最大值为（）A4B3C2D1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：由z2
10、x+y，得y2x+z，平移直线y2x+z，由图象可知当直线y2x+z经过点C，直线y2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（2，1），此时z2213，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键7（5分）已知cos（+），则sin2（）ABCD【分析】利用诱导公式与倍角公式即可得出【解答】解：cos（+），则sin2cos，故选：D【点评】本题考查了诱导公式与倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）设an为等差数列，其前n项和为Sn若2a86+a11，则S9（）A54B40C96D80【分析】由等差数列的性质可得：2a86+a1
11、1a11+a5，解得a5再利用等差数列的性质求和公式即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得：2a86+a11a11+a5，解得a56则S99a554故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围为（）A，+）B（，+）C（，+）D，+）【分析】分子分母同时除以x，再利用基本不等式即可求解【解答】解：由x0，则x，当且仅当x1时取等号可得a故选：D【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，利用基本不等式是解决本题的关键10（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的
12、侧面的面积为（）ABCD3【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则SAED，SABCSABE，SACD，故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力11（5分）记Sn为正项等比数列an的前n项和，若780，且正整数m，n满足a1ama2n2，则+的最小值是（）ABCD【分析】根据已知可得正项等比数列an的公比
13、为q2，进而根据等比数列的性质可得m+2n15，结合基本不等式可得答案【解答】解：设正项等比数列an的公比为q，则q0，780，q67q380，解得：q2，或q1（舍去），若正整数m，n满足a1ama2n2，则m+2n15，则+（+）（）+2，当且仅当，即m3，n6时，取等号，故+的最小值是，故选：B【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，是不等式与数列的综合应用，难度中档12（5分）若a，b是函数f（x）x2px+q（p0，q0）的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A6B7C8D9【分析】由一元二次方程根与
14、系数的关系得到a+bp，abq，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案【解答】解：由题意可得：a+bp，abq，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：pa+b5，q144，则p+q9故选：D【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题二、填空题（本题共4小题共20分）13（5分）已知向量，若，则实数m等于【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出m的值【解答】解：向量，若，则2m110，解得m
15、故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理应用问题，是基础题14（5分）已知P（sin，cos）为直线2xy0上一点，则的值是3【分析】把P的坐标代入直线方程，求得tan，再由万能公式求的值【解答】解：由P（sin，cos）在直线2xy0上，得2sincos0，即tan故答案为：3【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及万能公式的应用，是基础题15（5分）在数列an中，“an+（nN*），又bn，则数列bn的前n项和Sn为【分析】运用等差数列的求和公式可得ann（n+1），可得bn4（），由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：an+n（n+1），
16、则bn4（），可得数列bn的前n项和Sn4（1+）4（1）故答案为：【点评】本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题16（5分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（b+2sinC）cosA2sinAcosC，且a2，则ABC面积的最大值为【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得：bcosA2sinB，利用正弦定理可求2sin（A+）0，结合范围A（0，），解得A，由余弦定理，基本不等式可求bc4，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（b+2sinC）cosA2sinAcosC，可得：bcosA+2（sinCcosA+si
17、nAcosC）0，bcosA+2sin（C+A）0，可得：bcosA2sinB，可得：cosA+sinA0，2sin（A+）0，又A（0，），A+（，），A+，解得：A，a2，由余弦定理可得：12b2+c2+bc2bc+bc3bc，可得：bc4，当且仅当bc时等号成立，SABCbcsinA，当且仅当bc时等号成立故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、计算题（本题共6题，共70分）17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知（1）求角C的大小；（
18、2）若，且a2b，求c的值【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理求出C的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果【解答】解：（1）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知由正弦定理得，即，化简得，由于0C，所以C（2）由题意知，所以，解得ab2由于a2b，所以a2，b1则c2a2+b22abcosC，解得c【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18（12分）进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆
19、实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如表：时间周一周二周三周四周五周六周日车流量（x万辆）1099.510.51188.5空气质量指数y78767779807375（1）根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，【分析】（1）分别求出x，y的平均数，求出回归系数a，b的值，求出回归方程即可；（2）求出残差，结合误差均不超过2，判断即可【解答】解
20、：（1）（10+9+9.5+10.5+11）10，（78+76+77+79+80）78 （2分）（xi）（yi）5，（4分）2.5，2（7分）7821058 （8分）y关于x的线性回归方程为2x+58（9分）（2）当x8时，28+5874，满足|7473|12，（10分）当x8.5时，28.5+5875满足|7575|02，（11分）所得的线性回归方程是可靠的 （12分）【点评】本题考查了回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题19（12分）如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是棱长为2的菱形，PA平面ABCD，PA2，ABC60，E是BC中点，若H为PD上的点，AH（1）求证：EH平面
21、PAB；（2）求三棱锥PABH的体积【分析】（1）推导出H为PD的中点，取PA的中点M，连结HM，MB，推导出四边形DHMB是平行四边形，从而EHBM，由此能证明EH平面PAB（2）三棱锥PABH的体积VPABHVHPABVEPABVPABE，由此能求出三棱锥PABH的体积【解答】解：（1）证明：PAAD2，AH，H为PD的中点，取PA的中点M，连结HM，MB，则HMAD，BD，HMBD，四边形DHMB是平行四边形，EHBM，又EH平面PAB，BM平面PAB，EH平面PAB（2）解：由（1）可知，EH平面PAB，三棱锥PABH的体积：VPABHVHPABVEPABVPABE三棱锥PABH的体积
22、为【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）设数列an的前n项和为Sn，且，等差数列bn的各项均为正数，且a4b2+6b4（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn【分析】（1）利用数列的递推关系式以及已知条件，列出方程组，求解数列的通项公式即可（2）化简通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】20（1）当，当，数列an是以1为首项，4为公比的等比数列即 ，设等差数列bn的公差为d，由知，所以，又易知，所以，所以，所以bn1+3（n1）3n2（2）由（1）知
23、，所以，得，【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力21（12分）设f（x）x2（m+1）x+1（m0）（1）求不等式f（x）1m（m0）的解集（2）设a，b为方程f（x）0的两个根，且ab，求证：a2+b22（ab）【分析】分析：（1）主要考察一元二次不等式解法，可直接十字相乘分解因式，进而求解；（2）由韦达定理得到ab1，然后借助基本不等式证明【解答】解：（1）由f（x）1m（m0）得：x2（m+1）x+m0，即：（xm）（x1）0（m0），所以mx1，所以不等式解集为x|mx1，m0；（2）证明：由于a，b为方程f（x）0的两个根，则ab1，由于ab0，则，当且仅当
24、，ab1，即，时等号成立，由于ab0，即ab0，所以【点评】解含参一元二次不等式时，先看能否分解因式，能的话再看两根大小，从而确定不等式的解集，第一问可直接判断两根大小，相对较易；第二问要用基本不等式需要先配凑，将含有代数式的式子放在一起配凑成积为定值，再借助不等式求解22（12分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）点P在直线l：2x4y+30上，过点P作圆C的切线，切点记为M，求使|PM|最小的点P的坐标【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设直线方程为x+ya0或ykx，由圆心C到切线的距离等于半径，求出
25、待定系数a和k的值则切线的方程可求；（2）把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过圆心C作CP垂直于直线l，过P作圆的切线，此时PM最短，先由圆心C及直线l的方程，利用点到直线的距离公式求出|CP|的长，再由圆的半径，利用勾股定理求出|PM|的长，即为所求的最小值，再求出此时直线CP的方程联立直线l，求出交点即可【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x4y+30即（x+1）2+（y2）22，表示圆心为C（1，2），半径等于的圆设斜率为1的切线方程为x+ya0，设过原点的切线方程为kxy0，则圆心C到切线的距离等于半径由，求得a1或3再由，求得k2，故所求的切线的方程为x+y30，x+y+10，y（2）x；（2）圆C：x2+y2+2x4y+30即（x+1）2+（y2）22，则圆的圆心C（1，2），半径为，连接CP，当CPl时，C到l的距离最小，由于PM为切线，则|PM|2|PC|2r2|PC|22，即有|PM|最小由C到直线l：2x4y+30的距离d，则此时|PM|的最小值为，当CPl时，直线CP：y22（x+1），即y2x，再由直线l：2x4y+30，解得交点为（，）故使|PM|取最小值的点P的坐标为（，）【点评】本题考查圆的切线方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想考查运算能力，属于中档题