1、2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）开学数学试卷（理科）（3月份）一、选择题（每小题只有一个选项符合题意每小题5分，共60分）1（5分）已知i是虚数单位，复数z满足（i1）zi，则z的虚部是（）ABCD2（5分）若，则cos（2）（）ABCD3（5分）已知平面向量（1，2），（2，m），且，则（）A（5，10）B（4，8）C（3，6）D（2，4）4（5分）已知命题p：x4，log2x2；命题q：在ABC中，若A，则sinA则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）q5（5分）在等差数列 an中，a1+3a8+a15120，则a2+a14的值为（）A.6B，12C
2、.24D.486（5分）已知函数f（x）x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD7（5分）过原点且倾斜角为的直线被圆x2+y24y10所截得的线段长为（）A1B2C3D48（5分）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A7B6C5D49（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）ABCD10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）Ak，k+，kZB2k，2k+，kZ
3、Ck，k+，kZD2k，2k+，kZ11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|F1F2|，且3|PF2|2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D12（5分）已知a、b为正实数，直线yxa与曲线yln（x+b）相切，则的取值范围是（）A（0，）B（0，1）C（0，+）D1，+）二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知x，y满足，则目标函数z2x+y的最大值为 14（5分）已知a0，1，2，b1，1，3，5，则函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数的概率是 15（
4、5分）如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球面积是 16（5分）设函数f（x），g（x），对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则正数k的取值范围是 三、解答题（共70分）（本大题共6小题，共70分）17（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若，BC边上中线，求ABC的面积18（12分）已知数列an中，a1，an+13an+2n（nN*）（1）令bnan+1an+1，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式19（12分）已知x3是f（
5、x）x3ax2+3x的极值点（1）求a；（2）若关于x的方程f（x）+m0有三个不同的实根，求实数m的取值范围20（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，AC1平面A1BC（1）证明：BCAA1；（2）若BCAC，A1AA1C，求二面角B1A1BC的余弦值21（12分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）（1）求f（x）在1，a（a1）上的最小值；（2）若关于x的不等式f
6、2（x）+mf（x）0只有两个整数解，求实数m的取值范围2018-2019学年广西桂林十八中高二（下）开学数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项符合题意每小题5分，共60分）1（5分）已知i是虚数单位，复数z满足（i1）zi，则z的虚部是（）ABCD【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（i1）zi，z的虚部是故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）若，则cos（2）（）ABCD【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简即可【解答】解：由，可得：sincos（2）cos2（12sin
7、2）2sin21故选：D【点评】本题考查了诱导公式和二倍角公式化简计算能力属于基础知识的考查3（5分）已知平面向量（1，2），（2，m），且，则（）A（5，10）B（4，8）C（3，6）D（2，4）【分析】向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法【解答】解：排除法：横坐标为2+（6）4，故选：B【点评】认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化4（5分）已知命题p：x4，log2x2；命题q：在ABC中，若A，则sinA则下列命题为真
8、命题的是（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）q【分析】先判断命题p，命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案【解答】解：命题p：x4，log2x2，为真命题；在ABC中，若A，则sinA故命题q为假命题，故命题pq，（p）（q），（p）q为假命题，命题p（q）为真命题；故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，对数函数的图象和性质，三角函数的定义等知识点，难度中档5（5分）在等差数列 an中，a1+3a8+a15120，则a2+a14的值为（）A.6B，12C.24D.48【分析】利用等差数列通项公式求出a824，a2+a142a8，由此能求出结果
9、【解答】解：在等差数列 an中，a1+3a8+a15120，由等差数列的性质可得a1+3a8+a155a8120，a824，a2+a142a848故选：D【点评】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5分）已知函数f（x）x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（）ABCD【分析】由于f（x）x2+cosx，得f（x）xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x代入f（）sin10，排除C，只有A适合【解答】解：由于f（x）x2+cosx，f（x）xs
10、inx，f（x）f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x时，f（）sin10，排除C，只有A适合，故选：A【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题7（5分）过原点且倾斜角为的直线被圆x2+y24y10所截得的线段长为（）A1B2C3D4【分析】根据题意，求出直线的方程，分析与按的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：根据题意，过原点且倾斜角为的直线的方程为yx，即xy0，圆x2+y24y10，变形可得x2+（y2）25，其圆心为（0，2），半径r，圆心到直线xy0的距离d1
11、，则直线被圆截得的线段长为24；故选：D【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题8（5分）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A7B6C5D4【分析】直接画出三视图的复原图，进一步利用体积公式求出结果【解答】解：根据三视图得知：该几何体由一个正方体，沿上边的面的对角线切去一个一半高的直三棱柱即：V，如图所示：故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用9（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）ABCD【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案
12、【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S+1+的值，由退出循环的条件为n50，故最后一次进行循环的循环变量的值：kn50，故输出的S值为，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）Ak，k+，kZB2k，2k+，kZCk，k+，kZD2k，2k+，kZ【分析】利用yAsin（x+）的图象特征，求出函数yAsin（x+）的解析式
13、，再根据yAsin（x+）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）的单调增区间【解答】解：由图可知A2，T4（），2由图可得点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2+）2，解得：2+2k+，kZ，由|，可得：，f（x）2sin（2x+）若将yf（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）2sin2（x）+2sin2x由2k2x2k+，kZ，可得kxk+，kZ，函数g（x）的单调增区间为：k，k+，kZ故选：A【点评】本题主要考查yAsin（x+）的图象变换规律，由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题11
14、（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|F1F2|，且3|PF2|2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在PMQ中有，这样即可求得d，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|2c2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1l，QQ1l，
15、分别交l于P1，Q1；，3|PF2|2|QF2|；，；过P作PMQQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；解得d；根据双曲线的定义，|PF1|PF2|2a，|PF2|2c2a；根据双曲线的第二定义，；整理成：；解得（舍去）；即该双曲线的离心率为故选：A【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系12（5分）已知a、b为正实数，直线yxa与曲线yln（x+b）相切，则的取值范围是（）A（0，）B（0，1）C（0，+）D1，+）【分析】求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可【解答】解：函数的导
16、数为y1，x1b，切点为（1b，0），代入yxa，得a+b1，a、b为正实数，a（0，1），则，令g（a），则g（a），则函数g（a）为增函数，（0，）故选：A【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知x，y满足，则目标函数z2x+y的最大值为3【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在y轴的截距最大值求z 的最大值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y2x+z经过图中的A时，z最大，由得到A（3，3），所以z23+33；故答案为：3【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确
17、画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值考查数形结合的思想14（5分）已知a0，1，2，b1，1，3，5，则函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数的概率是【分析】构成函数f（x）ax22bx的基本事件（a，b）的个数n248，由函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数，求出对称轴x1，由此利用列举法能求出函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数的概率【解答】解：a0，1，2，b1，1，3，5，构成函数f（x）ax22bx的基本事件（a，b）的个数n11+249，函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数，对称轴x1，函数f（x）ax22bx在区间（1，+
18、）上为增函数包含的基本事件（a，b）有：（0，1），（1，1），（1，1），（2，1），（2，1），共5个，函数f（x）ax22bx在区间（1，+）上为增函数的概率是p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查二次函数的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球面积是12【分析】将侧面展开，根据BP+PE的最小值可得正四面体的棱长，再计算外接球的半径，得出外接球面积【解答】解：将侧面ABC和ACD展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a，则BP+PE的
19、最小值为BEa，a2在棱锥ABCD中，设底面三角形BCD的中心为M，外接球的球心为O，F为BC的中点，则DFa，DMDF，AM设外接球的半径OAODr，则OMr，在RtOMD中，由勾股定理可得：r2（ r）2+（ ）2，解得：r外接球的表面积为：412故答案为：12【点评】本题考查了棱锥的几何特征与外接球的表面积计算，棱锥侧面距离的最值，属于中档题16（5分）设函数f（x），g（x），对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则正数k的取值范围是【分析】利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值，利用最值关系进行求解即可【解
20、答】解：对任意x1，x2（0，+），不等式恒成立，则等价为恒成立，f（x）x+22，当且仅当x，即x1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x），则g（x），由g（x）0得0x1，此时函数g（x）为增函数，由g（x）0得x1，此时函数g（x）为减函数，即当x1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1），则的最大值为，则由，得2ekk+1，即k（2e1）1，则，故答案为：【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法进行转化，结合基本不等式以及求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键考查学生的转化和计算能力三、解答题（共70分）（本大题共6小题，共70分）17（10分）在A
21、BC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若，BC边上中线，求ABC的面积【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式可得2sinBcosAsinB，结合sinB0可求，结合范围0A，即可得解A的值（2）由已知及三角形内角和定理可求C，进而利用余弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1），由正弦定理，得，2sinBcosAsin（A+C）sinB，sinB0，又0A，（2），可知ABC为等腰三角形，在ABC中，由余弦定理，得AM2AC2+MC22ACMCcos120，即，b2，ABC的面积【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函
22、数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题18（12分）已知数列an中，a1，an+13an+2n（nN*）（1）令bnan+1an+1，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式【分析】本题第（1）题可利用题中递推式an+13an+2n（nN*）得出an+23an+1+2（n+1），然后两式相减，整理可得bn+13bn即可证明数列bn是等比数列；第（2）题先写出数列bn的通项公式，然后得到an+1an的表达式，然后根据累加法即可得到数列an的通项公式【解答】解：（1）由题意，可知：当n1时，b1a2a1+13+1当n2时，an+
23、13an+2n，an+23an+1+2（n+1）两式相减，可得：an+2an+13（an+1an）+2，两边同时加1，可得：an+2an+1+13（an+1an+1），即：bn+13bn数列bn是以为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1），可知：113n2，nN*an+1an+1113n2，即：an+1an113n21，a1，a2a1113121，a3a2113221，anan1113（n1）21各项相加，可得：an+11（31+30+31+3n3）（n1）+11+数列an的通项公式为：an，nN*【点评】本题第（1）题主要考查根据递推式进行转化、构造得到数列bn递推式，然后转化为一般式；第
24、（2）题主要考查累加法求数列的通项公式本题属中档题19（12分）已知x3是f（x）x3ax2+3x的极值点（1）求a；（2）若关于x的方程f（x）+m0有三个不同的实根，求实数m的取值范围【分析】（1）求函数的导数，结合函数极值与导数之间的关系解方程f（3）0即可（2）设g（x）f（x）+m，求出函数的导数，研究函数的极值，结合方程根与极值关系建立不等式进行求解即可【解答】解：（1）f'（x）3x22ax+3（2分），由已知得f'（3）0，得276a+30得a5（4分）（2）记g（x）f（x）+mx35x2+3x+m，g'（x）3x210x+3，令g'（x）3x
25、210x+30，得x3或x，由g（x）0得x3或x，此时g（x）为增函数，由g（x）0得x3此时g（x）为减函数，即当x时，函数g（x）取得极大值，当x3时，g（x）取得极小值，即g（x）极小值g（3）f（3）+m9+m，g（x）极大值g（）m+，由g（x）的简图知，当且仅当（9分）即时，函数g（x）有三个不同零点，即关于x的方程f（x）+m0有三个不同的实根m的范围是（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数导数与极值之间的关系建立方程求出a的值，结合导数研究函数的极大值和极小值是解决本题的关键20（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，AC1平面A1BC（1）证
26、明：BCAA1；（2）若BCAC，A1AA1C，求二面角B1A1BC的余弦值【分析】（1）推导出AC1BC，BCAC，从而BC平面ACC1A1，由此能证明BCAA1（2）推导出AC1A1C，AA1AC取A1C1的中点D1，连接CD1，则CD1ACCD1BC，建立空间直角坐标系Cxyz利用向量法能求出二面角B1A1BC的余弦值【解答】证明：（1）AC1平面A1BC，AC1BCBCA90，BCAC，BC平面ACC1A1，BCAA1解：（2）AC1平面A1BC，AC1A1C，四边形ACC1A1为菱形，AA1AC又A1AA1C，A1AC与A1CC1均为正三角形取A1C1的中点D1，连接CD1，则CD1
27、AC由（1）知CD1BC，则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz设BCAC2，则A（2，0，0），B（0，2，0），设平面B1A1B的法向量为（x，y，z），则，取z1，则（，1）为平面B1A1B的一个法向量又为平面A1BC的一个法向量，cos，又二面角B1A1BC的平面角为钝角，所以其余弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点（）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同
28、的两点C、D，使得|F2C|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（）设P（x，y），则，根据x的取值范围能够得到的最大值和最小值（）假设存在满足条件的直线l由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk（x5），再把直线yk（x5）和椭圆联系方程用根的判别式求l的方程或说明理由【解答】解：（）由题意知，设P（x，y），则，当 x0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4（）假设存在满足条件的直线l由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存
29、在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk（x5）由方程组，得（5k2+4）x250k2x+125k2200依题意，当时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为R（x0，y0），则，又|F2C|F2D|F2Rl，20k220k24，而20k220k24不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|F2D|【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，难度较大，解题时要仔细审题，认真解答22（12分）已知函数f（x）（1）求f（x）在1，a（a1）上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）+mf（x）0只有两个整数解
30、，求实数m的取值范围【分析】（1）函数f（x），f（x）分别解出令f（x）0，f（x）0，可得f（x）的单调区间对a与的东西关系分类讨论，利用单调性即可得出（2）由（1）知，f（x）的递增区间为，递减区间为，且在上ln（2x）10，又x0，则f（x）0又0对m分类讨论：m0时，由不等式f2（x）+mf（x）0得f（x）0或f（x）mm0时，由不等式式f2（x）+mf（x）0得f（x）0m0时，由不等式f2（x）+mf（x）0得f（x）0或f（x）m分别解出即可得出【解答】解：（1）函数f（x），f（x）令f（x）0，解得，得f（x）的递增区间为；令f（x）0，解得x，可得f（x）的递减区间为x
31、1，a（a1），当时，f（x）在1，a上为增函数，f（x）的最小值为f（1）ln2当a时，f（x）在上为增函数，在上为减函数，又f（2）ln2f（1），若，f（x）的最小值为f（1）ln2，若a2，f（x）的最小值为f（a）综上，当1a2时，f（x）的最小值为ln2；当a2，f（x）的最小值为（2）由（1）知，f（x）的递增区间为，递减区间为，且在上ln（2x）lne10，又x0，则f（x）0又0m0时，由不等式f2（x）+mf（x）0得f（x）0或f（x）m，而f（x）0解集为，整数解有无数多个，不合题意m0时，由不等式式f2（x）+mf（x）0得f（x）0，解集，整数解有无数多个，不合题意；m0时，由不等式f2（x）+mf（x）0得f（x）0或f（x）m，f（x）0解集为无整数解，若不等式f2（x）+mf（x）0有两个整数解，则f（3）mf（1）f（2），ln2mln6综上，实数m的取值范围是【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、方程的解法、等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题