1、一、单选题（每小题5分，共60分）1（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）曲线yx32x在（1，1）处的切线方程为（）Axy20Bxy+20Cx+y20Dx+y+203（5分）函数f（x）xlnx的单调递减区间是（）A（0，1）B（0，+）C（1，+）D（，0）（1，+）4（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，则曲线C的方程为（）ABCD4x2+9y215（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为
2、x+，已知xi225，yi1600，4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A160B163C166D1706（5分）过抛物线y2mx（m0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，则m（）A6B4C10D87（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）x3+ax2+（a21）x+1（aR）的导函数yf（x）的图象，则f（1）（）A或B或C或D或8（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（ ，1），（1，e）内均有零点B在区间（ ，1），（1，e）内均无零点C在区间（ ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D在区间（ ，1），内无零点，在
3、区间（1，e）内有零点9（5分）若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是（）A（，+）B（，2）C（1，）D（1，2）10（5分）己知定义域为（1，+）的函数f（x）ex+aax，若f（x）0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A（0，e2B（0，e2）C1，e2D（1，e2）11（5分）若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A42B0C1D4+212（5分）设函数f（x）是函数f（x）（xR）的导函数，已知f（x）f（x），且f（0）2则使得f（x）2ex0成立的x的取值范围是（）A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）二、填空题（每小题5分，共
4、20分）13（5分）1854年，地质学家WK劳夫特斯在森凯莱（古巴比伦地名）挖掘出两块泥板，其中一块泥板记着：928160+2112110210060+40140112121260+121122144260+24224照此规律，582 （写成“ab”的形式）14（5分）i为虚数单位，则复数（）2019的虚部b 15（5分）在极坐标系中，直线sincos1被曲线1截得的线段长为 16（5分）已知函数f（x），则函数g（x）2f（x）23f（x）2的零点个数为 三、解答题（本题满分70分）17（10分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B
5、，C的对边，且（）求角A的大小；（）若b+c5，且ABC的面积为，求a的值18（12分）数列an的前n项和记为Sn，a12，an+1Sn+2（nN*）（）求an的通项公式；（）求数列nan的前n项和Tn19（12分）在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD60，PBPD3，PA，ACBDO（1）设平面ABP平面DCPl，证明：lAB；（2）若E是PA的中点，求三棱锥PBCE的体积VPBCE20（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄5，15）15，25）25，35）35，4
6、5）45，55）55，65）频数510151055支持“生育二胎”4512821（I）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持ac不支持bd合计（）若对年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考数据：P（K23.841）0.050，P（K26.635）0.010，P（K210.828）0.001 附：K221（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C
7、交于M，N两点，且MNF2的周长为8（1）求椭圆C的方程；（2）若直线ykx+b与椭圆C分别交于A，B两点，且OAOB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论22（12分）已知函数f（x）lnxax2+x，aR（1）令g（x）f（x）（ax1），求函数g（x）的单调区间；（2）若a2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：x1+x22018-2019学年广西南宁二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共60分）1（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可
8、得【解答】解：化简可得z1+i，z的共轭复数1i故选：B【点评】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题2（5分）曲线yx32x在（1，1）处的切线方程为（）Axy20Bxy+20Cx+y20Dx+y+20【分析】根据题意，求出曲线的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率ky|x1，结合切点的坐标计算可得答案【解答】解：根据题意，曲线的方程为yx32x，则其导数y3x22，则切线的斜率ky|x1321，则切线的方程为y1（x+1），变形可得xy+20；故选：B【点评】本题考查利用导数计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义3（5分）函数f（x）xlnx的单调递减区间是（）A（0，
9、1）B（0，+）C（1，+）D（，0）（1，+）【分析】求出函数的导数为y，再解y'0得x的范围结合函数的定义域，即可得到单调递减区间【解答】解：函数yxlnx的导数为y1，令y10，得x1结合函数的定义域，得当x（0，1）时，函数为单调减函数因此，函数yxlnx的单调递减区间是（0，1）故选：A【点评】本题给出含有对数的基本函数，求函数的减区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题4（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，则曲线C的方程为（）ABCD4x2+9y21【分析】直角坐标系中的伸缩变换只要是利用变换前的关系式，变换关系，变
10、换后的关系式，只要知道其中的两个变量就可以求出点三个变量本题知道第二、第三个变量求第一个变量【解答】解：曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，把代入得到：故选：A【点评】本题考查的知识要点：直角坐标系中的函数关系式的伸缩变换，属于基础题型5（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为x+，已知xi225，yi1600，4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A160B163C166D170【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中
11、心点，代入即可求得，将x24代入回归直线方程即可估计其身高【解答】解：由线性回归方程为4x+，则xi22.5，yi160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则4x160422.570，回归直线方程为4x+70，当x24时，424+70166，则估计其身高为166，故选：C【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题6（5分）过抛物线y2mx（m0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，则m（）A6B4C10D8【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），根据过抛物线y2mx（m0）的焦点F（，0），可
12、设直线方程为xky+，代入抛物线方程可得y2mky0，根据韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式即可求出【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），过抛物线y2mx（m0）的焦点F（，0），设直线方程为xky+，代入抛物线方程可得y2mky0，y1+y2mk，y1y2，|PQ|2（1+k2）（y1+y2）24y1y2（1+k2）（m2k2+m2）m2，（k2+1）2，k2+1，k2x1+x2k（y1+y2）+mk2+m+m23，解得m8，故选：D【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，中点坐标公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题7（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x
13、）x3+ax2+（a21）x+1（aR）的导函数yf（x）的图象，则f（1）（）A或B或C或D或【分析】由f（x）解析式求出导函数f（x）解析式，分析得到导函数图象可能为或，根据函数图象分别求出a的值，确定出f（x）解析式，即可求出f（1）的值【解答】解：由f（x）x3+ax2+（a21）x+1，得到f（x）x2+2ax+a21，可得导函数图象可能为，即对称轴为y轴，a0，解得：a0，此时f（x）x3x+1，即f（1）+2；可得导函数图象可能为，即f（0）0，a210，即a1或1，当a1时，f（x）x2+2x，不合题意；当a1时，f（x）x3x2+1，符合题意，此时f（1）1+1，综上，f（1
14、）或，故选：A【点评】此题考查了导数的运算，二次函数的图象与性质，熟练掌握导数的运算是解本题的关键8（5分）设函数f（x）xlnx（x0），则yf（x）（）A在区间（ ，1），（1，e）内均有零点B在区间（ ，1），（1，e）内均无零点C在区间（ ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D在区间（ ，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案【解答】解：由题得f（x），令f（x）0得x3；令f（x）0得0x3；f（x）0得x3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+）为增函数，在点x3处有极小值
15、1ln30；又f（1）0，f（e）10，f（）+10，故选：D【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减9（5分）若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是（）A（，+）B（，2）C（1，）D（1，2）【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可【解答】解：a1，则双曲线y21的离心率为：（1，）故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10（5分）己知定义域为（1，+）的函数f（x）ex+aax，若f（x）0恒成立，则正实数a的取值范围为（）A（0，e2B（0，e2）C1
16、，e2D（1，e2）【分析】根据题意，分析可得若f（x）0恒成立，只需 恒成立，设，求出其导数，进而分析g（x）的单调区间，即可得g（x）的最小值，据此分析可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）ex+aax，若f（x）0恒成立，只需 恒成立，设，则g（x），分析可得：在（1，2）上，g（x）0，g（x）为减函数，在（2，+）上，g（x）0，g（x）为增函数，可知当x2时，g（x）取得最小值e2，所以ae2，又因为a0，所以a的取值范围是 （0，e2）故选：B【点评】本题考查利用导数分析函数的最值以及单调性，涉及函数的恒成立问题，属于基础题11（5分）若点O和F分别为椭圆的中
17、心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A42B0C1D4+2【分析】由题意，F（1，0），设点P（x0，y0），则有+1，解得3（1），利用数量积运算性质可得+x0+3，再利用二次函数的单调性即可得出、【解答】解：由题意，F（，0），设点P（x0，y0），则有+1，解得1，（x0+，y0），（x0，y0），（x0+）x0+（x0+）x0+（1）+x0+1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x，2x02，当x0时，则的最小值为0故选：B【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）设函数f（x）是函数f（x
18、）（xR）的导函数，已知f（x）f（x），且f（0）2则使得f（x）2ex0成立的x的取值范围是（）A（2，+）B（0，+）C（1，+）D（4，+）【分析】构造函数F（x），根据条件可知函数F（x）在R上单调递减，再结合f（0）2即可得f（x）2ex0成立的x的取值范围【解答】解：设F（x），则F'（x），即函数F（x）在R上单调递减，又f（0）2，所以，即F（x）F（0），所以x0，故使得不等式f（x）2ex0成立的x的取值范围是（0，+）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想和构造法，属基础题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）1854年，地质
19、学家WK劳夫特斯在森凯莱（古巴比伦地名）挖掘出两块泥板，其中一块泥板记着：928160+2112110210060+40140112121260+121122144260+24224照此规律，582564（写成“ab”的形式）【分析】根据已知的式子归纳出规律：先求出平方、再表示成60的倍数加上一个数的形式，按照此规律即可得到答案【解答】解：由题意得，928160+21121，10210060+40140，112121260+121，122144260+24224，58233645660+4564，故答案为：564【点评】本题考查归纳推理，难点是根据已知的式子找出数之间的内在规律，考查观察、分析
20、、归纳的能力，是基础题14（5分）i为虚数单位，则复数（）2019的虚部b1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的运算性质求解【解答】解：，（）2019i2019i4504+3i3i复数（）2019的虚部b1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题15（5分）在极坐标系中，直线sincos1被曲线1截得的线段长为【分析】直线的直角坐标坐标方程为xy+10，曲线的直角坐标方程为x2+y21，圆心（0，0）到直线xy+10的距离d，从而直线sincos1被曲线1截得的线段长为：|AB|，由此能求出结果【解答】解：直线sincos1，直线的
21、直角坐标坐标方程为xy+10，曲线1，21，曲线的方程为x2+y21，圆心（0，0）到直线xy+10的距离：d，直线sincos1被曲线1截得的线段长为：|AB|2故答案为：【点评】本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题16（5分）已知函数f（x），则函数g（x）2f（x）23f（x）2的零点个数为3【分析】根据题意，分析可得解方程2f（x）23f（x）20可得f（x）2或 ，结合f（x）的解析式分析f（x）2与f（x）的解的情况，综合即可得答案【解答】解：根据题意，函数g（x）2f（x）23f（
22、x）2的零点，即方程2f（x）23f（x）20的根，解该方程可得f（x）2或 ，当x0时，f（x）4x36x2+1，可得f'（x）12x212x，令12x212x0，可得x0或x1，当x（0，1）时，f'（x）0，函数是减函数，当 x（1，+）时，f'（x）0，函数是增函数， x0时，函数取得极大值：f（0）1，x1时，函数取得极小值f（1）1，若f（x）2，函数有1个零点，若，函数有2个零点；当x0时，f（x）ex，则有f（x）ex（0，1），此时函数f（x）没有零点；综合可得：函数的零点个数为：3；故答案为：3【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，涉及分段函数的
23、性质以及应用，属于基础题三、解答题（本题满分70分）17（10分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且（）求角A的大小；（）若b+c5，且ABC的面积为，求a的值【分析】（）由正弦定理化简已知，结合sinC0，利用两角差的正弦函数公式可得sin（A）1可求范围A，进而可求A的值（）由已知利用三角形面积公式可得bc4，结合b+c5，由余弦定理可得a的值【解答】（本题满分为10分）解：（），由正弦定理得，sinC0，sinAcosA2，即sin（A）10A，A，A，A（）由：SABCbcsinAbc，bc4，b+c5，由余弦定理得：a2b2+c22bccosA（b+c）2bc21
24、，a【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题18（12分）数列an的前n项和记为Sn，a12，an+1Sn+2（nN*）（）求an的通项公式；（）求数列nan的前n项和Tn【分析】（）由a12，an+1Sn+2（nN*），anSn1+2（n2），相减利用等比数列的通项公式即可得出（）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式即可得出【解答】解：（）由a12，an+1Sn+2（nN*），anSn1+2（n2），（2分），得（n2）（4分）又由a2S1+24，得（5分）所以（n1），数列an是以2为首
25、项，2为公比的等比数列，故（6分）（）由（），得，2Tn122+233+324+n2n+1，（8分），得（10分）所以（12分）【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，BAD60，PBPD3，PA，ACBDO（1）设平面ABP平面DCPl，证明：lAB；（2）若E是PA的中点，求三棱锥PBCE的体积VPBCE【分析】（1）通过ABDC，证明AB平面PDC利用平面ABP平面DCPl，推出lAB（2）说明BO是三棱锥BPCE的高求出，利用等体积法，转化求解几何体的体积
26、即可【解答】解：（1）因为ABDC，AB平面PDC，DC平面PDC，所以AB平面PDC又平面ABP平面DCPl，且AB平面ABP，所以lAB（2）因为底面是菱形，所以BDAC因为PBPD，且O是BD中点，所以BDPO又POACO，所以BD面PAC所以BO是三棱锥BPCE的高因为AO为边长为2的等边ABD的中线，所以因为PO为等腰PBD的高线，PB3，OB1所以在POA中，所以AO2+PO2PA2，所以POAO所以，因为E是线段PA的中点，所以所以【点评】本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开
27、”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄5，15）15，25）25，35）35，45）45，55）55，65）频数510151055支持“生育二胎”4512821（I）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持ac不支持bd合计（）若对年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？参考数据：P（K23.841）0.050，P（K26.635）0.010，P（K21
28、0.828）0.001 附：K2【分析】（）根据统计数据，可得22列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率【解答】解：（）2乘2列联表年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数 合计支持a3c29 32不支持b7d11 18合 计1040 50（2分）K26.276.635（4分）所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异（5分）（）设年龄在5，15）中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d，不支持“生育
29、二胎”的人记为M，（6分）则从年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，M），（b，c），（b，d），（b，M），（c，d），（c，M），（d，M）（8分）设“恰好这两人都支持“生育二胎”为事件A，（9分）则事件A所有可能的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），P（A）（11分）所以对年龄在5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为（12分）【点评】本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题21（12分）已知椭圆C：+1（ab
30、0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且MNF2的周长为8（1）求椭圆C的方程；（2）若直线ykx+b与椭圆C分别交于A，B两点，且OAOB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论【分析】（1）由题意可知：4a8，e，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值【解答】解：（1）由题意知，4a8，则a2，由椭圆离心率e，则b23椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），
31、B（x0，x0）又A，B两点在椭圆C上，点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx+m设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120由已知0，x1+x2，x1x2，由OAOB，则x1x2+y1y20，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）0，整理得：（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m20，7m212（k2+1），满足0点O到直线AB的距离d为定值综上可知：点O到直线AB的距离d为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，
32、考查计算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）lnxax2+x，aR（1）令g（x）f（x）（ax1），求函数g（x）的单调区间；（2）若a2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：x1+x2【分析】（1）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（2）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论【解答】解：（1）g（x）f（x）（ax1）lnxax2+（1a）x+1，所以g（x）ax+（1a），当a0时，因为x0，所以g（x）0所以g（x）在（0，+）上是递增函数，当a0时，g（x），令g（x）0，得x，所以当x（0，）时，g（x）0；当x
33、（，+）时，g（x）0，因此函数g（x）在x（0，）是增函数，在（，+）是减函数综上，当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，+），无递减区间；当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+）（2）由f（x1）+f（x2）+x1x20，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x20，从而（x1+x2）2+（x1+x2）x1x2ln（x1x2），令tx1x2，则由（t）tlnt，由x10，x20，即x1+x20（t）t0可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，解得x1+x2或x1+x2又因为x10，x20，因此x1+x2成立【点评】本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型