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2018-2019学年广西南宁三中高二(下)期中数学试卷(文科)含详细解答

1、2018-2019学年广西南宁三中高二(下)期中数学试卷(文科)一、选择题(每题5分,共60分)1(5分)设集合Ay|y2x,xR,Bx|x210,则AB()A(1,1)B(0,1)C(1,+)D(0,+)2(5分)若a,b都是实数,则“”是“a2b20”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3(5分)若ab,则下列不等式正确的是()ABa3b3Ca2b2Da|b|4(5分)若实数a,b满足+,则ab的最小值为()AB2C2D45(5分)下列函数中,最小值为4的是()Ayx+Bysinx+(0x)Cyex+4exDy+6(5分)一个频率分布表(样本容量为

2、30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在20,60)上的频率为0.8,则估计样本在40,60)内的数据个数为()A14B15C16D177(5分)某家庭连续五年收入x与支出y如表:年份20122013201420152016收入(万元)8.28.610.011.311.9支出(万元)6.27.58.08.59.8画散点图知:y与x线性相关,且求得的回归方程是ybx+a,其中b0.76,则据此预计该家庭2017年若收入15万元,支出为()万元A11.4B11.8C12.0D12.28(5分)f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象最有可能的是图中的()ABCD9(5分)

3、设两个变量x和y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r,y关于x的回归直线方程的回归系数是,回归截距是,那么必有()A与r的符号相同B与r的符号相反C与r的符号相反D与r的符号相同10(5分)如图,5个(x,y)数据,去掉D(3,10)后,下列说法错误的是()A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强11(5分)下列命题,正确的是()A命题“x0R,使得x0210”的否定是“xR,均有x210”B命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”,该命题是假命题C命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是真命题D命题“若x3,则x22x30”的否命题是“若x3

4、,则x22x30”12(5分)设函数f(x)在R上存在导函数f(x),对xR,f(x)+f(x)x2,且在(0,+)上,f(x)x若有f(2a)f(a)22a,则实数a的取值范围为()A(,1B1,+)C(,2D2,+)二、填空题(每题5分,共20分)13(5分)不等式1|x+1|3的解集为 14(5分)已知a1a2,b1b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是 15(5分)已知函数f(x)|x+1|+|xa|(a0),若不等式f(x)6的解集为(,24,+),则a的值为 16(5分)已知直线l过点P(2,1),与x,y轴的正半轴相交于A,B两点,三角形AOB(O为坐标原点)

5、的内切圆半径的取值范围为 三、解答题(6小题,共70分)17(12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c向量(a,b)与(cosA,sinB)平行()求A;()若a,b2,求ABC的面积18(12分)国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地,目前德国汉堡,美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出,某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:支持不支持合计年龄不大于50岁 80年龄大于50岁10 合计 70100(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;(2)能否在犯错误的概率不超过

6、5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率附:,na+b+c+d,P(K2k)0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63519(12分)在四棱锥EABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC底面ABCD,F为BE的中点(1)求证:DE平面ACF;(2)若AB2,CE2,求三棱锥FABC的体积20(12分)已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,A为椭圆短轴上端点(1)若ABC的重心是右焦点,试求直线BC的方程;(2)若

7、,D为BC的中点,试求点D的轨迹方程21(12分)已知f(x)lnxx3+2ex2ax,aR,其中e为自然对数的底数(1)若f(x)在xe处的切线的斜率为e2,求a;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围22(10分)已知:x,y,z是正实数,且x+2y+3z1(1)求+的最小值;(2)求证:x2+y2+z22018-2019学年广西南宁三中高二(下)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每题5分,共60分)1(5分)设集合Ay|y2x,xR,Bx|x210,则AB()A(1,1)B(0,1)C(1,+)D(0,+)【分析】求解指数函数的值域化简A,求解一元二次不等式化简B,再

8、由并集运算得答案【解答】解:Ay|y2x,xR(0,+),Bx|x210(1,1),AB(0,+)(1,1)(1,+)故选:C【点评】本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题2(5分)若a,b都是实数,则“”是“a2b20”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由“”可推出“a2b20”成立,而由“a2b20”成立不能推出“”成立,从而得出结论【解答】解:由“”可得 ab0,故有“a2b20”成立,故充分性成立由“a2b20”可得|a|b|,不能推出,故必要性不成立故“”是“a2b20”的充分而不必要条件,故

9、选:A【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,不等式的基本性质的应用,属于基础题3(5分)若ab,则下列不等式正确的是()ABa3b3Ca2b2Da|b|【分析】用特殊值法,令a1,b2,代入各个选项检验可得即可得答案【解答】解:ab,令 a1,b2,代入各个选项检验可得:1,显然A不正确a31,b36,显然 B正确 a2 1,b24,显然C不正确a1,|b|2,显然D 不正确故选:B【点评】通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法4(5分)若实数a,b满足+,则ab的最小值为()AB2C2D4【分析】由+,可判断a0,b0,然后利用基础不等式即可求

10、解ab的最小值【解答】解:+,a0,b0,(当且仅当b2a时取等号),解可得,ab,即ab的最小值为2,故选:C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用,属于基础试题5(5分)下列函数中,最小值为4的是()Ayx+Bysinx+(0x)Cyex+4exDy+【分析】利用基本不等式的性质即可判断出【解答】解:A可取x0,最小值不可能为4;B0x,0sinx1,4,其最小值大于4;Cex0,yex+4ex4,当且仅当ex2,即xln2时取等号,其最小值为4,正确;D,2,当且仅当x1时取等号,其最小值为综上可知:只有C符合故选:C【点评】本题考查了基本不等式的性质,注意“一正二定三相

11、等”的使用法则,属于基础题6(5分)一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在20,60)上的频率为0.8,则估计样本在40,60)内的数据个数为()A14B15C16D17【分析】由样本中数据在20,60)上的频率为0.8,求出样本中数据在20,60)上的频数为24,由此能估计样本在40,60)内的数据个数【解答】解:一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在20,60)上的频率为0.8,样本中数据在20,60)上的频数为:300.824,估计样本在40,60)内的数据个数为:244515故选:B【点评】本题考查频数的求法,涉及到频

12、率分布表等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题7(5分)某家庭连续五年收入x与支出y如表:年份20122013201420152016收入(万元)8.28.610.011.311.9支出(万元)6.27.58.08.59.8画散点图知:y与x线性相关,且求得的回归方程是ybx+a,其中b0.76,则据此预计该家庭2017年若收入15万元,支出为()万元A11.4B11.8C12.0D12.2【分析】由表中数据计算平均数、,代入回归方程求出a,写出回归方程,把x15代入回归方程计算的值【解答】解:由表中数据,计算(8.2+8.6+10.0+11.

13、3+11.9)10,(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)8,代入回归方程可得a80.76100.4,回归方程为0.76x+0.4,把x15代入回归方程计算0.7615+0.411.8故选:B【点评】本题考查了线性回归方程与平均值的计算问题,是基础题8(5分)f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象最有可能的是图中的()ABCD【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围,进而根据当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答】解:x2时,f(x)0,则f(x)单减;2x0时,f(x)0,则f(x)单

14、增;x0时,f(x)0,则f(x)单减则符合上述条件的只有选项A故选:A【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减重点是理解函数图象及函数的单调性9(5分)设两个变量x和y之间具有线性相关关系,它们的相关系数是r,y关于x的回归直线方程的回归系数是,回归截距是,那么必有()A与r的符号相同B与r的符号相反C与r的符号相反D与r的符号相同【分析】根据相关系数知相关系数的性质:|r|1,且|r|越接近1,相关程度越大;且|r|越接近0,相关程度越小r为正,表示正相关,回归直线方程上升【解答】解:相关系数r为正,表示正

15、相关,回归直线方程上升,r为负,表示负相关,回归直线方程下降,与r的符号相同故选:A【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法,当相关系数为正时,表示两个变量正相关10(5分)如图,5个(x,y)数据,去掉D(3,10)后,下列说法错误的是()A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强【分析】由散点图知,去掉D(3,10)后,y与x的线性相关加强,由相关系数r,相关指数R2及残差平方和与相关性的关系得出选项【解答】解:由散点图知,去掉D(3,10)后,y与x的线性相关加强,且为正相关,所以r变大,R2变大,残差平方和变小故选:B【点评

16、】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量:相关系数r,相关指数R2及残差平方和,属于一道基础题11(5分)下列命题,正确的是()A命题“x0R,使得x0210”的否定是“xR,均有x210”B命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”,该命题是假命题C命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是真命题D命题“若x3,则x22x30”的否命题是“若x3,则x22x30”【分析】写出特称命题的否定判断A;举例说明B错误;写出命题的逆否命题并判断真假说明C错误;写出命题的否命题判断D【解答】解:命题“x0R,使得x0210”的否定是“xR,均有x210”,故A错误;菱形的四边相等,只有一个内角为90时为正方形

17、,存在四边相等的四边形不是正方形为真命题,故B错误;命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是“若xy,则x2y2”,该命题是假命题,如22,但22(2)2,故C错误;命题“若x3,则x22x30”的否命题是“若x3,则x22x30”,故D正确正确的命题是:D故选:D【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查命题的否定、否命题及逆否命题,是中档题12(5分)设函数f(x)在R上存在导函数f(x),对xR,f(x)+f(x)x2,且在(0,+)上,f(x)x若有f(2a)f(a)22a,则实数a的取值范围为()A(,1B1,+)C(,2D2,+)【分析】可构造函数g(x)f(x)x2,由g(x)+g

18、(x)0,可得函数g(x)为奇函数利用导数可得函数g(x)在R上是增函数,f(2a)f(a)22a,即g(2a)g(a),可得 2aa,由此解得a的范围【解答】解:f(x)+f(x)x2,f(x)x2+f(x)x20,令g(x)f(x)x2,g(x)+g(x)f(x)x2+f(x)x20,函数g(x)为奇函数x(0,+)时,f(x)xx(0,+)时,g(x)f(x)x0,故函数g(x)在(0,+)上是增函数,故函数g(x)在(,0)上也是增函数,由f(0)0,可得g(x)在R上是增函数f(2a)f(a)22a,等价于f(2a)f(a),即g(2a)g(a),2aa,解得a1故选:A【点评】本题

19、考查了利用导数研究函数的单调性,然后构造出关于a的不等式求解的思路,本题的关键是由已知条件构造出关于函数g(x)f(x),然后结合其奇偶性解题是本题的关键二、填空题(每题5分,共20分)13(5分)不等式1|x+1|3的解集为(4,2)(0,2)【分析】去掉绝对值号得到关于x的不等式组,解出即可【解答】解:1|x+1|3,解得:4x2或0x2,故答案为:(4,2)(0,2)【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,是一道基础题14(5分)已知a1a2,b1b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是a1b1+a2b2a1b2+a2b1【分析】根据已知条件,作差比较a

20、1b1+a2b2与a1b2+a2b1大小即可【解答】解:a1b1+a2b2a1b2a2b1a1(b1b2)+a2(b2b1)(a1a2)(b1b2);a1a2,b1b2;a1a20,b1b20;(a1a2)(b1b2)0;a1b1+a2b2a1b2+a2b1故答案为:a1b1+a2b2a1b2+a2b1【点评】考查比较两个式子大小的方法:作差比较15(5分)已知函数f(x)|x+1|+|xa|(a0),若不等式f(x)6的解集为(,24,+),则a的值为3【分析】依题意,f(x)|x+1|+|xa|,利用f(x)6的解集为(,24,+),即可求得a的值【解答】解:a0,故f(x)|x+1|+|

21、xa|,当x1时,解2x+a16得:x;当1xa时,f(x)1+a;当xa时,解2x+1a6得:x;又f(x)6的解集为(,24,+),2且4且1+a4,+),解得a3故答案为:3【点评】本题考查绝对值不等式的解法,通过对x范围的分类讨论,去掉f(x)|x+1|+|xa|(a0)中的绝对值符号是关键,考查运算能力,属于难题16(5分)已知直线l过点P(2,1),与x,y轴的正半轴相交于A,B两点,三角形AOB(O为坐标原点)的内切圆半径的取值范围为(,1)【分析】设出斜边方程的截距式,利用极限思想结合等积法得到半径的表达式,再结合斜边的旋转方向,得到r的范围【解答】解:根据题意,设直线l与x轴

22、、y轴的正半轴分别相交于A(a,0),B(0,b),则直线l的方程为+1,又由直线l过点P(2,1),则有当a+时,直线AB几乎与x轴平行,此时三角形AOB的内切圆近似于夹在直线y1与x轴之间,由等积法,r,因为a+,所以0,0,所以r,根据斜边的旋转方向,r,同理b+时,直线AB几乎与y轴平行,此时三角形AOB的内切圆近似于夹在直线x2与y轴之间,由等积法,r,因为b+,所以0,0,r1,根据斜边的旋转方向r1综上:,故填:(,1)【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题(6小题,共70分)17(12分)ABC的内角

23、A,B,C所对的边分别为a,b,c向量(a,b)与(cosA,sinB)平行()求A;()若a,b2,求ABC的面积【分析】()利用向量的平行,列出方程,通过正弦定理求解A;()利用A,以及a,b2,通过余弦定理求出c,然后求解ABC的面积【解答】解:()因为向量(a,b)与(cosA,sinB)平行,所以asinB0,由正弦定理可知:sinAsinBsinBcosA0,因为sinB0,所以tanA,可得A;()a,b2,由余弦定理可得:a2b2+c22bccosA,可得74+c22c,解得c3,ABC的面积为:【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力18(

24、12分)国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地,目前德国汉堡,美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出,某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率附:,na+b+c+

25、d,P(K2k)0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【分析】(1)根据条件中所给的数据,列出列联表,填上对应的数据,得到列联表(2)假设聋哑没有关系,根据上一问做出的列联表,把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值,把观测值同临界值进行比较得到结论(3)列举法确定基本事件,即可求出概率【解答】解:(1)支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100(2),所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关;(3)记5人为abcde,其中ab表示教师,从5人任意抽3人的所有等可能事件是:abc

26、,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde共10个,其中至多1位教师有7个基本事件:acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde,所以所求概率是【点评】本题考查独立性检验的应用,考查概率的计算,本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中,注意数据的位置不要出错19(12分)在四棱锥EABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC底面ABCD,F为BE的中点(1)求证:DE平面ACF;(2)若AB2,CE2,求三棱锥FABC的体积【分析】(1)利用中位线易得DE与OF平行,进而证得线面平行;(2)通过顶点转换把FABC的体积转化为EABCD的体

27、积的四分之一即可得解【解答】解:(1)证明:连接OF,由ABCD是正方形可知,点O为BD中点,又F为BE的中点,OFDE,又OF平面ACF,DE平面ACF,DE平面ACF;(2)故三棱锥FABC的体积为【点评】此题考查了线面平行,转化法求锥体体积,难度不大20(12分)已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,A为椭圆短轴上端点(1)若ABC的重心是右焦点,试求直线BC的方程;(2)若,D为BC的中点,试求点D的轨迹方程【分析】(1)根据题意,由椭圆的方程可得A、F的坐标,再设B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点D(x0,y0),则有,两式相减:,由三角形重心坐标可得2,0,解可得x0、

28、y0的值,将其代入中可得k的值,即直线的点斜式方程可得答案(2)根据题意,设D(x,y)为BC的中点,由向量数量积的性质可得x1x2+y1y24(y1+y2)+160,设BC的方程为:ykx+b,与椭圆的方程联立可得(4+5k2)x2+10bkx+5b2800,由根与系数的关系分析可得可得,变形可得答案【解答】解:(1)根据题意,椭圆中,a,b4,则c2,则A(0,4),F(2,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点D(x0,y0),则有,两式相减:又由F(2,0)为ABC的重心,2,0,解可得:x03,y02,代入得:k,则直线BC的方程为6x5y280,(2)根据题意,由(

29、1)的结论,设BC的方程为:ykx+b代入4x2+5y280,可得(4+5k2)x2+10bkx+5b2800带入得直线BC过定点,设D(x,y)为BC的中点由于B,E,D,C四点共线,所以kBCkDE,即化简得36x2+45y2+20y0,即D的轨迹方程为:36x2+45y2+20y0【点评】本题考查椭圆的几何性质,涉及直线与椭圆的位置关系,属于综合题21(12分)已知f(x)lnxx3+2ex2ax,aR,其中e为自然对数的底数(1)若f(x)在xe处的切线的斜率为e2,求a;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围【分析】(1)求出函数的导数,计算f(e),求出a的值即可;(2)求出,

30、记,根据函数的单调性求出F(x)的最大值,从而求出a的范围即可【解答】解:(1),(2)由lnxx3+2ex2ax0,得,记,则,x(e,+)时,F(x)0,F(x)递减;x(0,e)时,F(x)0,F(x)递增而x0时F(x),x+时F(x),故【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题22(10分)已知:x,y,z是正实数,且x+2y+3z1(1)求+的最小值;(2)求证:x2+y2+z2【分析】(1)将与x+2y+3z相乘,利用柯西不等式可求出的最小值;(2)将x2+y2+z2与数12+22+32相乘,利用柯西不等式进行配凑可证明x2+y2+z2【解答】(1)解:,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为;(2)证:由柯西不等式可得(12+22+32)(x2+y2+z2)(x+2y+3z)21,即14(x2+y2+z2)1,则,当且仅当时,等号成立【点评】本题考查柯西不等式,解题的关键在于对代数式进行合理的配凑,属于中等题