1、2018-2019学年广西南宁三中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，则AB（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）2（5分）若a，b都是实数，则“”是“a2b20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）若ab，则下列不等式正确的是（）ABa3b3Ca2b2Da|b|4（5分）若实数a，b满足+，则ab的最小值为（）AB2C2D45（5分）下列函数中，最小值为4的是（）Ayx+Bysinx+（0x）Cyex+4exDy+6（5分）一个频率分布表（样本容量为
2、30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.8，则估计样本在40，60）内的数据个数为（）A14B15C16D177（5分）某家庭连续五年收入x与支出y如表：年份20122013201420152016收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8画散点图知：y与x线性相关，且求得的回归方程是ybx+a，其中b0.76，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为（）万元A11.4B11.8C12.0D12.28（5分）f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）ABCD9（5分）
3、设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线方程的回归系数是，回归截距是，那么必有（）A与r的符号相同B与r的符号相反C与r的符号相反D与r的符号相同10（5分）如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强11（5分）下列命题，正确的是（）A命题“x0R，使得x0210”的否定是“xR，均有x210”B命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是真命题D命题“若x3，则x22x30”的否命题是“若x3
4、，则x22x30”12（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），对xR，f（x）+f（x）x2，且在（0，+）上，f（x）x若有f（2a）f（a）22a，则实数a的取值范围为（）A（，1B1，+）C（，2D2，+）二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）不等式1|x+1|3的解集为 14（5分）已知a1a2，b1b2，则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是 15（5分）已知函数f（x）|x+1|+|xa|（a0），若不等式f（x）6的解集为（，24，+），则a的值为 16（5分）已知直线l过点P（2，1），与x，y轴的正半轴相交于A，B两点，三角形AOB（O为坐标原点）
5、的内切圆半径的取值范围为 三、解答题（6小题，共70分）17（12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量（a，b）与（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a，b2，求ABC的面积18（12分）国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁 80年龄大于50岁10 合计 70100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过
6、5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率附：，na+b+c+d，P（K2k）0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63519（12分）在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，F为BE的中点（1）求证：DE平面ACF；（2）若AB2，CE2，求三棱锥FABC的体积20（12分）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，A为椭圆短轴上端点（1）若ABC的重心是右焦点，试求直线BC的方程；（2）若
7、，D为BC的中点，试求点D的轨迹方程21（12分）已知f（x）lnxx3+2ex2ax，aR，其中e为自然对数的底数（1）若f（x）在xe处的切线的斜率为e2，求a；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围22（10分）已知：x，y，z是正实数，且x+2y+3z1（1）求+的最小值；（2）求证：x2+y2+z22018-2019学年广西南宁三中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1（5分）设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，则AB（）A（1，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再
8、由并集运算得答案【解答】解：Ay|y2x，xR（0，+），Bx|x210（1，1），AB（0，+）（1，1）（1，+）故选：C【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题2（5分）若a，b都是实数，则“”是“a2b20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由“”可推出“a2b20”成立，而由“a2b20”成立不能推出“”成立，从而得出结论【解答】解：由“”可得 ab0，故有“a2b20”成立，故充分性成立由“a2b20”可得|a|b|，不能推出，故必要性不成立故“”是“a2b20”的充分而不必要条件，故
9、选：A【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，不等式的基本性质的应用，属于基础题3（5分）若ab，则下列不等式正确的是（）ABa3b3Ca2b2Da|b|【分析】用特殊值法，令a1，b2，代入各个选项检验可得即可得答案【解答】解：ab，令 a1，b2，代入各个选项检验可得：1，显然A不正确a31，b36，显然 B正确 a2 1，b24，显然C不正确a1，|b|2，显然D 不正确故选：B【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法4（5分）若实数a，b满足+，则ab的最小值为（）AB2C2D4【分析】由+，可判断a0，b0，然后利用基础不等式即可求
10、解ab的最小值【解答】解：+，a0，b0，（当且仅当b2a时取等号），解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题5（5分）下列函数中，最小值为4的是（）Ayx+Bysinx+（0x）Cyex+4exDy+【分析】利用基本不等式的性质即可判断出【解答】解：A可取x0，最小值不可能为4；B0x，0sinx1，4，其最小值大于4；Cex0，yex+4ex4，当且仅当ex2，即xln2时取等号，其最小值为4，正确；D，2，当且仅当x1时取等号，其最小值为综上可知：只有C符合故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相
11、等”的使用法则，属于基础题6（5分）一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.8，则估计样本在40，60）内的数据个数为（）A14B15C16D17【分析】由样本中数据在20，60）上的频率为0.8，求出样本中数据在20，60）上的频数为24，由此能估计样本在40，60）内的数据个数【解答】解：一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20，60）上的频率为0.8，样本中数据在20，60）上的频数为：300.824，估计样本在40，60）内的数据个数为：244515故选：B【点评】本题考查频数的求法，涉及到频
12、率分布表等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题7（5分）某家庭连续五年收入x与支出y如表：年份20122013201420152016收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8画散点图知：y与x线性相关，且求得的回归方程是ybx+a，其中b0.76，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为（）万元A11.4B11.8C12.0D12.2【分析】由表中数据计算平均数、，代入回归方程求出a，写出回归方程，把x15代入回归方程计算的值【解答】解：由表中数据，计算（8.2+8.6+10.0+11.
13、3+11.9）10，（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）8，代入回归方程可得a80.76100.4，回归方程为0.76x+0.4，把x15代入回归方程计算0.7615+0.411.8故选：B【点评】本题考查了线性回归方程与平均值的计算问题，是基础题8（5分）f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（）ABCD【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间【解答】解：x2时，f（x）0，则f（x）单减；2x0时，f（x）0，则f（x）单
14、增；x0时，f（x）0，则f（x）单减则符合上述条件的只有选项A故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减重点是理解函数图象及函数的单调性9（5分）设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线方程的回归系数是，回归截距是，那么必有（）A与r的符号相同B与r的符号相反C与r的符号相反D与r的符号相同【分析】根据相关系数知相关系数的性质：|r|1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小r为正，表示正相关，回归直线方程上升【解答】解：相关系数r为正，表示正
15、相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，与r的符号相同故选：A【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关10（5分）如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强【分析】由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系得出选项【解答】解：由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小故选：B【点评
16、】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属于一道基础题11（5分）下列命题，正确的是（）A命题“x0R，使得x0210”的否定是“xR，均有x210”B命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是真命题D命题“若x3，则x22x30”的否命题是“若x3，则x22x30”【分析】写出特称命题的否定判断A；举例说明B错误；写出命题的逆否命题并判断真假说明C错误；写出命题的否命题判断D【解答】解：命题“x0R，使得x0210”的否定是“xR，均有x210”，故A错误；菱形的四边相等，只有一个内角为90时为正方形
17、，存在四边相等的四边形不是正方形为真命题，故B错误；命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”，该命题是假命题，如22，但22（2）2，故C错误；命题“若x3，则x22x30”的否命题是“若x3，则x22x30”，故D正确正确的命题是：D故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定、否命题及逆否命题，是中档题12（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f（x），对xR，f（x）+f（x）x2，且在（0，+）上，f（x）x若有f（2a）f（a）22a，则实数a的取值范围为（）A（，1B1，+）C（，2D2，+）【分析】可构造函数g（x）f（x）x2，由g（x）+g
18、（x）0，可得函数g（x）为奇函数利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2a）f（a）22a，即g（2a）g（a），可得 2aa，由此解得a的范围【解答】解：f（x）+f（x）x2，f（x）x2+f（x）x20，令g（x）f（x）x2，g（x）+g（x）f（x）x2+f（x）x20，函数g（x）为奇函数x（0，+）时，f（x）xx（0，+）时，g（x）f（x）x0，故函数g（x）在（0，+）上是增函数，故函数g（x）在（，0）上也是增函数，由f（0）0，可得g（x）在R上是增函数f（2a）f（a）22a，等价于f（2a）f（a），即g（2a）g（a），2aa，解得a1故选：A【点评】本题
19、考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造出关于a的不等式求解的思路，本题的关键是由已知条件构造出关于函数g（x）f（x），然后结合其奇偶性解题是本题的关键二、填空题（每题5分，共20分）13（5分）不等式1|x+1|3的解集为（4，2）（0，2）【分析】去掉绝对值号得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：1|x+1|3，解得：4x2或0x2，故答案为：（4，2）（0，2）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题14（5分）已知a1a2，b1b2，则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是a1b1+a2b2a1b2+a2b1【分析】根据已知条件，作差比较a
20、1b1+a2b2与a1b2+a2b1大小即可【解答】解：a1b1+a2b2a1b2a2b1a1（b1b2）+a2（b2b1）（a1a2）（b1b2）；a1a2，b1b2；a1a20，b1b20；（a1a2）（b1b2）0；a1b1+a2b2a1b2+a2b1故答案为：a1b1+a2b2a1b2+a2b1【点评】考查比较两个式子大小的方法：作差比较15（5分）已知函数f（x）|x+1|+|xa|（a0），若不等式f（x）6的解集为（，24，+），则a的值为3【分析】依题意，f（x）|x+1|+|xa|，利用f（x）6的解集为（，24，+），即可求得a的值【解答】解：a0，故f（x）|x+1|+|
21、xa|，当x1时，解2x+a16得：x；当1xa时，f（x）1+a；当xa时，解2x+1a6得：x；又f（x）6的解集为（，24，+），2且4且1+a4，+），解得a3故答案为：3【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉f（x）|x+1|+|xa|（a0）中的绝对值符号是关键，考查运算能力，属于难题16（5分）已知直线l过点P（2，1），与x，y轴的正半轴相交于A，B两点，三角形AOB（O为坐标原点）的内切圆半径的取值范围为（，1）【分析】设出斜边方程的截距式，利用极限思想结合等积法得到半径的表达式，再结合斜边的旋转方向，得到r的范围【解答】解：根据题意，设直线l与x轴
22、、y轴的正半轴分别相交于A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为+1，又由直线l过点P（2，1），则有当a+时，直线AB几乎与x轴平行，此时三角形AOB的内切圆近似于夹在直线y1与x轴之间，由等积法，r，因为a+，所以0，0，所以r，根据斜边的旋转方向，r，同理b+时，直线AB几乎与y轴平行，此时三角形AOB的内切圆近似于夹在直线x2与y轴之间，由等积法，r，因为b+，所以0，0，r1，根据斜边的旋转方向r1综上：，故填：（，1）【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（6小题，共70分）17（12分）ABC的内角
23、A，B，C所对的边分别为a，b，c向量（a，b）与（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a，b2，求ABC的面积【分析】（）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（）利用A，以及a，b2，通过余弦定理求出c，然后求解ABC的面积【解答】解：（）因为向量（a，b）与（cosA，sinB）平行，所以asinB0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA0，因为sinB0，所以tanA，可得A；（）a，b2，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA，可得74+c22c，解得c3，ABC的面积为：【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力18（
24、12分）国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率附：，na+b+c+
25、d，P（K2k）0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【分析】（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表（2）假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论（3）列举法确定基本事件，即可求出概率【解答】解：（1）支持不支持合计年龄不大于50岁206080年龄大于50岁101020合计3070100（2），所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；（3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc
26、，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是【点评】本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错19（12分）在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，F为BE的中点（1）求证：DE平面ACF；（2）若AB2，CE2，求三棱锥FABC的体积【分析】（1）利用中位线易得DE与OF平行，进而证得线面平行；（2）通过顶点转换把FABC的体积转化为EABCD的体
27、积的四分之一即可得解【解答】解：（1）证明：连接OF，由ABCD是正方形可知，点O为BD中点，又F为BE的中点，OFDE，又OF平面ACF，DE平面ACF，DE平面ACF；（2）故三棱锥FABC的体积为【点评】此题考查了线面平行，转化法求锥体体积，难度不大20（12分）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，A为椭圆短轴上端点（1）若ABC的重心是右焦点，试求直线BC的方程；（2）若，D为BC的中点，试求点D的轨迹方程【分析】（1）根据题意，由椭圆的方程可得A、F的坐标，再设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中点D（x0，y0），则有，两式相减：，由三角形重心坐标可得2，0，解可得x0、
28、y0的值，将其代入中可得k的值，即直线的点斜式方程可得答案（2）根据题意，设D（x，y）为BC的中点，由向量数量积的性质可得x1x2+y1y24（y1+y2）+160，设BC的方程为：ykx+b，与椭圆的方程联立可得（4+5k2）x2+10bkx+5b2800，由根与系数的关系分析可得可得，变形可得答案【解答】解：（1）根据题意，椭圆中，a，b4，则c2，则A（0，4），F（2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），BC的中点D（x0，y0），则有，两式相减：又由F（2，0）为ABC的重心，2，0，解可得：x03，y02，代入得：k，则直线BC的方程为6x5y280，（2）根据题意，由（
29、1）的结论，设BC的方程为：ykx+b代入4x2+5y280，可得（4+5k2）x2+10bkx+5b2800带入得直线BC过定点，设D（x，y）为BC的中点由于B，E，D，C四点共线，所以kBCkDE，即化简得36x2+45y2+20y0，即D的轨迹方程为：36x2+45y2+20y0【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，属于综合题21（12分）已知f（x）lnxx3+2ex2ax，aR，其中e为自然对数的底数（1）若f（x）在xe处的切线的斜率为e2，求a；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），求出a的值即可；（2）求出，
30、记，根据函数的单调性求出F（x）的最大值，从而求出a的范围即可【解答】解：（1），（2）由lnxx3+2ex2ax0，得，记，则，x（e，+）时，F（x）0，F（x）递减；x（0，e）时，F（x）0，F（x）递增而x0时F（x），x+时F（x），故【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题22（10分）已知：x，y，z是正实数，且x+2y+3z1（1）求+的最小值；（2）求证：x2+y2+z2【分析】（1）将与x+2y+3z相乘，利用柯西不等式可求出的最小值；（2）将x2+y2+z2与数12+22+32相乘，利用柯西不等式进行配凑可证明x2+y2+z2【解答】（1）解：，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为；（2）证：由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）（x+2y+3z）21，即14（x2+y2+z2）1，则，当且仅当时，等号成立【点评】本题考查柯西不等式，解题的关键在于对代数式进行合理的配凑，属于中等题