1、2018-2019学年广西南宁市高二（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）已知集合P0，1，2，Qx|x2，则PQ（）A0B0，1C1，2D0，22（3分）已知i是虚数单位，则（2+i）i（）A1+2iB1+2iC12iD12i3（3分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如表所示：根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值4（3
2、分）若等比数列an的各项均为正数，a23，4a32a1a7，则a5（）ABC12D245（3分）若x，y满足约束条件，则zxy的最大值为（）ABC5D66（3分）易经是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）ABCD7（3分）函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+20D4x+y208（3分）根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）A1BeCe1De29（3分）下列三个数：aln，blog3，c（），大小顺序正确的是（）AcabBcbaCbacDabc10
3、（3分）在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直其中正确的两个命题是（）A、B、C、D、11（3分）如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（）Af（x）x2ln|x|Bf（x）xlnxCD12（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若，则OPQ的面积为（）ABCD二、填空题：把答案填答题卷相应题中横线.13（3分）设向量（x，1），（4，2），且
4、，则实数x的值是 14（3分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a37，a513，S7 15（3分）若角满足sin+2cos0，则tan2 ；16（3分）双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17ABC的三个内角A、B、C对应的三条边长分别是a、b、c，且满足（1）求角C的大小；（2）若b2，求a18手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布
5、表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数4575906030（）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P（K2k0）0.100.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828参考公式：K2，其中na+b+c+d19如图所示，已知ABC
6、D是直角梯形，ABC90，ADBC，AD2，ABBC1，PA平面ABCD（1）证明：PCCD；（2）若E是PA的中点，证明：BE平面PCD；（3）若PA3，求三棱锥BPCD的体积20已知椭圆C：（ab0）的离心率为，且经过点Q（2，）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|4，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值及此时直线l的方程21已知函数（a为实数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）（a+1）x2+2xlnx+2在1，e上的恒成立，求a的范围；22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，
7、两坐标系取相同的长度单位曲线C的极坐标方程为2+2cos+4sin+40（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值23已知函数f（x）|x+1|+|xa|（1）当a2时，求不等式f（x）5的解集；（2）若f（x）2的解集为R，求a的取值范围2018-2019学年广西南宁市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（3分）已知集合P0，1，2，Qx|x2，则PQ（）A0B0，1C1，2D0，2【分析】利用集合的基本运算定义即可得出答案【解答】解：已知集合P0，1，2，Qx|x2
8、，利用集合的基本运算定义即可得：PQ0，1，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题2（3分）已知i是虚数单位，则（2+i）i（）A1+2iB1+2iC12iD12i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（2+i）i2i+i21+2i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（3分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如表所示：AQI05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图：根据统计图判
9、断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【分析】从整体上看AQI指数变化图越来越低，空气质量越来越好，从数据的集中程度来看，后半个月比前半个月集中些，从数据大小来看，前半个月数据大于后半个月数据【解答】解：从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于
10、后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确故选：C【点评】本题考查了函数的表示方法，属中档题4（3分）若等比数列an的各项均为正数，a23，4a32a1a7，则a5（）ABC12D24【分析】由4a32a1a7，利用等比中项的性质，求出q，代入等比数列的通项公式即可求出a5【解答】解：数列an是等比数列，各项均为正数，4a32a1a7，所以，所以q2所以a532324故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，属于基础题5（3分）若x，y满足约束条件，则zxy的最大值为（）ABC5D6【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：变
11、量x，y满足约束条件条件的可行域如图：目标函数zxy经过可行域的B点时，目标函数取得最大值，由可得A（4，1），目标函数zxy的最大值为：5故选：C【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用6（3分）易经是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（）ABCD【分析】利用列举法求出抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有8中，其中出现两正一反的共有3种，由此能求出出现两枚正面一枚反面的概率【解答】解：抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出
12、现两正一反的共有3种，故出现两枚正面一枚反面的概率为：故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查计算能力，是基础题7（3分）函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+20D4x+y20【分析】首先求出函数f（x）在点x1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【解答】解：f（x）x3+xf（x）3x2+1容易求出切线的斜率为4当x1时，f（x）2利用点斜式，求出切线方程为4xy20故选：B【点评】本题比较简单，主要应用导数的几何意义，求出切线方程8（3分）根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值
13、等于（）A1BeCe1De2【分析】模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出y的值【解答】解：模拟算法的运行过程，如下；输入x3，计算x321，x0；执行循环，计算x121，x0；终止循环，计算ye1，所以该程序运行后输出ye1故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题9（3分）下列三个数：aln，blog3，c（），大小顺序正确的是（）AcabBcbaCbacDabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：0ln1alnblog3log3，c（）0，cab故选：A【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是
14、基础题10（3分）在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直其中正确的两个命题是（）A、B、C、D、【分析】我们可以从正方体去观察理解，从空间两条直线的位置关系判断由线面垂直的性质定理判断；从两平面的位置关系判断；由射影的条数判断【解答】解：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质定理知正确；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，可能平行，也可能相交，不正确；过平面的一条斜线有且
15、只有一个平面与平面垂直正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面故选：B【点评】本题主要考查了两直线的位置关系，两平面的位置关系及线面垂直的性质定理，斜线，垂线，射影等概念，作为客观题要多借助空间几何体来判断11（3分）如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（）Af（x）x2ln|x|Bf（x）xlnxCD【分析】据题意可知f（x）是奇函数，从而可以排除A，B；当x0时，从而排除选项D，只能选C【解答】解：f（x）的图象关于原点对称；函数f（x）是奇函数；f（x）x2ln|x|为偶函数，f（x）xlnx是非奇非偶函数，A，B都错误；x0时，D错误故选：
16、C【点评】考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义，奇函数图象的对称性，以及指数函数的值域12（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若，则OPQ的面积为（）ABCD【分析】设直线l的方程为xky+1，将xky+1代入y24x，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），利用韦达定理以及向量的关系，转化求解三角形的面积即可【解答】解：因为抛物线C：y24x的焦点为F，所以，设直线l的方程为xky+1，将xky+1代入y24x，可得y24ky40，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），则yP+yQ4k，yPyQ4，因为，所以yP3yQ，
17、所以yP6k，yQ2k，所以12k24，即k2，所以|yPyQ|8k|，所以OPQ的面积，故选：C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查二、填空题：把答案填答题卷相应题中横线.13（3分）设向量（x，1），（4，2），且，则实数x的值是2【分析】根据平面向量的共线定理列方程求得x的值【解答】解：向量（x，1），（4，2），且，则2x140，解得x2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题14（3分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a37，a513，S770【分析】法一：结合等差数列的性质可求公差d，a1，然后利用等差数列的求和公式可求；法二，
18、结合等差数列的性质及求和公式可直接求解【解答】解，由等差数列的性质可得，d3，a11，s77a1+21d7+21370；法二：a31，a519，a1+a7a3+a520，由等差数列的求和公式可得，s770故答案为：70【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题15（3分）若角满足sin+2cos0，则tan2；【分析】解法一由题意知，tan2，再利用二倍角的正切公式求解即可；解法二由题意知，sin2cos，再切化弦求解即可【解答】解：解法一由题意知，tan2，则tan2；解法二由题意知，sin2cos，则tan2故答案为：【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函
19、数的诱导公式的应用，是基础题16（3分）双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是【分析】假设P在第一象限，则只能是PF2F1120，PF2F1F2，2c，再根据余弦定理以及离心率可得【解答】解：假设P在第一象限，则只能是PF2F1120，PF2F1F2，2c，PF1PF2+2a2c+2a，在三角形PF1F2中由余弦定理得：（2c+2a）2（2c）2+（2c）222c2c（），即 a2+2ac2c20，1+2e2e20，解得e故答案为：【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17AB
20、C的三个内角A、B、C对应的三条边长分别是a、b、c，且满足（1）求角C的大小；（2）若b2，求a【分析】（1）利用正弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出tanC的值，根据C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c，b及cosC的值代入计算即可求出a的值【解答】解：（1）由正弦定理，得csinAasinC，由已知得csinAasinCacosC，即tanC，0C，C；（2）由余弦定理c2a2+b22abcosC，得（）2a2+224acos，即a22a30，解得：a3或a1，负值舍去，则a3【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦
21、定理是解本题的关键18手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数4575906030（）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P（K2k0
22、）0.100.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828参考公式：K2，其中na+b+c+d【分析】（）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；（）求出K2，与临界值比较，即可得出结论【解答】解：（）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 （4分）（）22列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500K25.2082.706，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关【点评】本题考查频率分布
23、直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19如图所示，已知ABCD是直角梯形，ABC90，ADBC，AD2，ABBC1，PA平面ABCD（1）证明：PCCD；（2）若E是PA的中点，证明：BE平面PCD；（3）若PA3，求三棱锥BPCD的体积【分析】（1）要证明PCCD，只需证明CD平面PAC即可，即证明ACCD，PACD；（2）E是PA的中点，取AD的中点为F，连接BF，EF；要证明：BE平面PCD，只需证明平面BEF平面PCD即可（3）PA3，求三棱锥BPCD的体积，就是求PBCD的体积，求出三角形BCD的面积，即可求解几何体的体积【
24、解答】解：（1）由已知易得，（1分）AC2+CD2AD2，ACD90，即ACCD（2分）又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD（3分）PAACA，CD平面PAC（4分）PC平面PAC，CDPC（5分）（2）取AD的中点为F，连接BF，EFAD2，BC1，BCFD，且BCFD，四边形BCDF是平行四边形，即BFCD（6分）BF平面PCD，BF平面PCD（7分）E，F分别是PA，AD的中点，EFPDEF平面PCD，EF平面PCD（9分）EFBFF，平面BEF平面PCD（10分）EF平面BEF，BE平面PCD（11分）（3）由已知得，（12分）所以，（14分）【点评】本题主要考查线线垂直、线
25、面平行、求锥体体积等立体几何知识，以及分析问题与解决问题的能力20已知椭圆C：（ab0）的离心率为，且经过点Q（2，）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|4，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值及此时直线l的方程【分析】（1）由题意列出关于a，b，c的方程组求解，得出a，b的值，直接写出椭圆方程即可；（2）根据题意设出直线l的方程和椭圆方程联立方程组，由根与系数关系表示，求解，又由|AB|4列出方程解得参数间的关系，继而求面积的最大值和直线l的方程【解答】解：（1）由题意解得：故椭圆C的方程为，（2）因为|AB|42b，若直线l的斜率不存在，则直线l过原点，A
26、，O，B 不能构成三角形，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为ykx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m280，所以由韦达定理可知：，因为|AB|4，所以，即，得k2（4m2）m22，显然m24，所以，又（4km）24（2k2+1）（2m28）0，得m22，4），点O到直线l的距离为d，因为AOB的面积，所以2m2（4m2）2（m22）2+8，所以当m22时，S2有最大值8，即S的最大值为，此时k0，所以直线l的方程为综上所述，S的最大值为，此时直线l的方程为【点评】此题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，弦长公式等内容，总体上说是较难的
27、题21已知函数（a为实数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）（a+1）x2+2xlnx+2在1，e上的恒成立，求a的范围；【分析】（），可得f'（x）x22（a+1）x+4a（x2）（x2a），令f'（x）0，解得x2，2a对a分类讨论即可得出单调性（II）依题意有（a+1）x2+2xlnx+2在1，e上恒成立，分离参数可得在1，e上的恒成立，设，x1，e，则有ag（x）max，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：（），f'（x）x22（a+1）x+4a（x2）（x2a）令f'（x）0，解得x2，2a当a1时，有2a2，有f'（x
28、）（x2）20，故f（x）在R上单调递增；当a1时，有2a2，f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：x（，2a）2a（2a，2）2（2，+）g'（x）+00+g（x）单调递增 极大单调递减 极小 单调递增由上表可知f（x）在（，2a）和（2，+）上单调递增，在（2a，2）上单调递减；同当a1时，有2a2，有f（x）在（，2）和（2a，+）上单调递增，在（2，2a）上单调递减；综上，当a1时，f（x）在（，2）和（2a，+）上单调递增，在（2，2a）上单调递减；当a1时，f（x）在R上单调递增；当a1时，f（x）在（，2a）和（2，+）上单调递增，在（2a，2）上单调递减（I
29、I）依题意有（a+1）x2+2xlnx+2在1，e上恒成立，即在1，e上的恒成立，故在1，e上的恒成立，设，x1，e，则有ag（x）max（*）易得，令g'（x）0，有x2+30，g（x），g'（x）随x的变化情况如下表：x1eg'（x）+0g（x） 单调递增极大 单调递减由上表可知，又由（*）式可知，故a的范围为【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位曲线C
30、的极坐标方程为2+2cos+4sin+40（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值【分析】（1）运用代入法，即可得到直线l的直角坐标方程；由xcos，ysin，p2x2+y2，即可得到C的直角坐标方程；（2）求出圆心（1，2）到直线x+y10距离为d，则M到直线l距离的最大值为d+r【解答】解：（1）x+y10，2x2+y2，xcos，ysin，x2+y2+2x+4y+40，即（x+1）2+（y+2）21；（2）由（1）知曲线C是以（1，2）为圆心，r1为半径的圆圆心（1，2）到直线x+y10距离为d，点M到直线l距离的最大值为【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的运用，求最值，考查运算能力，属中档题