1、2018-2019学年广西南宁市“4+ N”高中联合体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1（5分）已知集合Mx|（x+2）（x1）0，Nx|x+10，则MN（）A（1，1）B（2，1）C（2，1）D（1，2）2（5分）函数ycos2（x+）是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数3（5分）已知x，y的取值如下表所示：如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为：x+，则（）ABCD4（5分）已知向量，满足|1，1，则（2）（）A4B3C2D05（5分）某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查在抽取的样
2、本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数为（）A10B12C18D206（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S的值是（）A1BC2D17（5分）某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD18（5分）在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是（）A1BC1或D1或9（5分）下列叙述中错误的个数是（）ab“是“ac2bc2的必要不充分条件；命题“若m0，则方程x2+xm0有实根的否命题为真命题；若命题”p”与命题“pq“都是真命题，那么命题q一定是真命题；对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10A1B2
3、C3D410（5分）已知双曲线（a0，b0）右顶点与抛物线y28x焦点重合且离心率e，则该双曲线方程为（）ABCD11（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图所示，则点P所走的图形可能是（12（5分）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）ABCD二、填空题：本題共4个小題，毎小题5分，共20分.把答案填答題卷相应題中横线上13（5分）已知sin，且是第二象限角，则cos 14（5分）若x，y满
4、足条件，目标函数z3x+2y的最小值为 15（5分）已知函数f（x），则ff（） 16（5分）圆心在抛物线yx2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为 三、解答题：本大題共6小題，共0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）等差数列an中，a3+a44，a5+a76（1）求an的通项公式（2）记Sn为an的前项和，若Sm12，求m18（12分）某赛季甲、乙两位运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示：（）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（）试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两位运动员的测
5、试成绩进行分析19（12分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a2csin A（1）确定角C的大小；（2）若c，且ABC的面积为，求a+b的值20（12分）已知抛物线C：y24x与直线y2x4交于A，B两点（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且ABP的面积为12，求点P的坐标21（12分）如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1，AE3（）求证：平面CFG平面ACE（）求平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值22（12分）如图，椭圆E：+1（ab0）经过点A（0，1）
6、，且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值2018-2019学年广西南宁市“4+ N”高中联合体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）已知集合Mx|（x+2）（x1）0，Nx|x+10，则MN（）A（1，1）B（2，1）C（2，1）D（1，2）【分析】由题意Mx|（x+2）（x1）0，Nx|x+10，解出M和N，然后根据交集的定义和运算法则进行计算【解答】解：集合Mx|（x+2）（x1）0，Mx|2x1，Nx|x+10，Nx|x1，MNx|2x1故选：C【点
7、评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分2（5分）函数ycos2（x+）是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论【解答】解：函数ycos2（x+）sin2x，故它是奇函数，且它的最小正周期为，故选：A【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的周期性，属于基础题3（5分）已知x，y的取值如下表所示：x234y546如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为：x+，则（）ABCD【分析】根据所给的三
8、组数据，求出平均数，得到数据的样本中心点，再根据线性回归直线过样本中心点，即可求出系数的值【解答】解：根据表中数据，计算3，5，且线性回归方程x+过点（，），所以故选：D【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的语言问题，是基础题4（5分）已知向量，满足|1，1，则（2）（）A4B3C2D0【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量，满足|1，1，则（2）22+13，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5（5分）某学校的教师配置及比例如图所示，为了调查各类教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查在抽取的样本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师
9、人数为（）A10B12C18D20【分析】设该样本中的老年教师人数为x，由分层抽样的特点列方程能求出结果【解答】解：设该样本中的老年教师人数为x，由分层抽样的特点得，解得x12故选：B【点评】本题考查样本中的老年教师人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S的值是（）A1BC2D1【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论【解答】解：模拟程序的运行，可得：S2，k2015满足条件k2018，执行循环体，S1，k2016，满足条件k2018，执行循环体，S，k2017，满足条
10、件k2018，执行循环体，S2，k2018，不满足条件k2018，退出循环，输出S的值为2故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题7（5分）某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD1【分析】先根据三视图判断出几何体的形状及长度关系，然后利用棱锥的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图知，该几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，一条侧棱垂直底面，几何体的高为1，该几何体的体积为VSh121故选：B【点评】解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用
11、几何体的面积及体积公式解决8（5分）在等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是（）A1BC1或D1或【分析】根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出公比q的值【解答】解：在等比数列an中，a37，S321，化简得2q2q10，解得q1或，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及方程思想，若利用等比数列的前n项和公式遗忘q1的情况，属于基础题9（5分）下列叙述中错误的个数是（）ab“是“ac2bc2的必要不充分条件；命题“若m0，则方程x2+xm0有实根的否命题为真命题；若命题”p”与命题“pq“都是真命题，那么命题q一定是真命题；对于命题p：xR，使得x2+x+1
12、0，则p：xR，均有x2+x+10A1B2C3D4【分析】直接利用简易逻辑中的命题的否定，四个条件和四个命题之间的转换的应用求出结果【解答】解：“ab”不可以推出“ac2bc2”，“ac2bc2”可以推出是“ab”，所以“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，所以该命题是真命题；命题“若m0，则方程x2+xm0有实根”的否命题为“若m0，则方程x2+xm0没有实根”，1+4m不一定小于零，所以该命题是假命题；若命题“p”与命题“pq”都是真命题，那么命题q一定是真命题，所以该命题是真命题；对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10，所以该命题是假命题故选：B【点评
13、】本题考查的知识要点：命题的否定，四个命题和四个条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10（5分）已知双曲线（a0，b0）右顶点与抛物线y28x焦点重合且离心率e，则该双曲线方程为（）ABCD【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的离心率转化求解双曲线方程即可【解答】解：抛物线y28x焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a2，双曲线（a0，b0）的离心率e，可得c3，则b，所以双曲线方程为：故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力11（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周
14、，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图所示，则点P所走的图形可能是（ABCD【分析】由图象判断点P所走的图形不具有半路程对称性，再由路程一半时y最大得答案【解答】解：由O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系式的图象可知，图形不具有半路程的对称性，可排除A、B，又当路程一半时，y最大，可知点P所走的图形可能是C故选：C【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力，是基础题12（5分）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A
15、BCD【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由ABF2是锐角三角形知，tanAF2F11，e22e10，解不等式求出e 的范围【解答】解：在双曲线中，令xc 得，y，A，B两点的纵坐标分别为 由ABF2是锐角三角形知，AF2F1，tanAF2F1tan1，1，c22aca20，e22e10，1e1+又 e1，1e1+，故选：D【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断AF2F1，tanAF2F11，是解题的关键二、填空题：本題共4个小題，毎小题5分，共20分.把答案填答題卷相应題中横线上13（5分）已知sin，且是第二象限角，则cos【分析】由sin的值且为第二象限角，利用
16、同角三角函数间基本关系求出cos的值即可【解答】解：sin，且是第二象限角，cos故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14（5分）若x，y满足条件，目标函数z3x+2y的最小值为1【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线yx结合图象可得【解答】解：作出条件所对应的可行域（如图ABC），变形目标函数可得yx+z，平移直线yx可知当直线经过点A时，直线的截距最小，解方程组可解得A（1，1）此时目标函数z取最小值z3+21故答案为：1【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题15（5分）已知函数f（x），则ff（）【分析】由函
17、数f（x），知f（）ln1，由此能求出ff（）的值【解答】解：函数f（x），f（）ln1，ff（）f（1）e1故答案为：【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答16（5分）圆心在抛物线yx2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x1）2+（y）21【分析】由题意设出圆心坐标，由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可【解答】解：由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y，与抛物线的准线及y轴相切，|t|t2+，t1圆的标准方程为（x1）2+（y）21故答案为：（x1）2+（y）21【点评】本题考查了求圆的标准方程，利用圆与直线
18、相切的条件：圆心到直线的距离等于半径，求出圆心坐标和半径，是基础题三、解答题：本大題共6小題，共0分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）等差数列an中，a3+a44，a5+a76（1）求an的通项公式（2）记Sn为an的前项和，若Sm12，求m【分析】（1）结合等差数列的通项公式及已知条件可求a1，d，进而可求an，（2）由（1）结合等差数列的求和公式Sn，结合已知可求m【解答】解：（1）等差数列an的公差为d，a3+a44，a5+a76，解方程可得，a11，d，an；（2）由（1）可知，Snn，由Sm12，可得，m6或m10（舍）故m6【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式
19、及求和公式的简单应用，属于基础试题18（12分）某赛季甲、乙两位运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示：（）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（）试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两位运动员的测试成绩进行分析【分析】（）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，利用列举法能求出甲的成绩比乙的成绩高的概率（）先分别求出甲、乙运动员的运动成绩的平均数的方差，由此能求出甲运动员比乙运动员发挥稳定【解答】解：（）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件，则从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，共包含以下基本事件：（79，75），（
20、79，83），（79，84），（79，91），（79，92），（82，75），（82，83），（82，84），（82，91），（82，92），（85，75），（85，83），（85，84），（85，91），（85，92），（88，75），（88，83），（88，84），（88，91），（88，92），（91，75），（91，83），（91，84），（91，91），（91，92），基本事件总数n25，设“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A，则事件A包含以下基本事件：（79，75），（82，75），（85，75），（85，83），（85，84），（88，75），（88，83），（88，84），（91，
21、75），（91，83），（91，84），共11个，甲的成绩比乙的成绩高的概率P（A）（）（79+82+85+88+91）85，（75+83+84+91+92）85，甲得分的方差：S（7985）2+（8285）2+（8585）2+（8885）2+（9185）218，乙得分的方差：S（7585）2+（8385）2+（8485）2+（9185）2+（9285）238，甲运动员比乙运动员发挥稳定【点评】本题考查概率的求法，考查平均数、方差的求法及应用，考查古典概型、列举法、平均数、方差等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题19（12分）在锐角三角形ABC
22、中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a2csin A（1）确定角C的大小；（2）若c，且ABC的面积为，求a+b的值【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sin C，结合ABC是锐角三角形，可求C的值（2）由已知利用面积公式可求ab6，由余弦定理得，a2+b2ab7，联立即可解得a+b的值【解答】解：（1）由a2csin A及正弦定理得，因为sin A0，所以sin C因为ABC是锐角三角形，所以C（2）因为c，C，由面积公式得：absin，即ab6（i）由余弦定理得，a2+b22abcos7，即a2+b2ab7（ii）由（ii）变形得（a+b）23ab+7（iii）将（i）代入（i
23、ii），得（a+b）225，可得：a+b5【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（12分）已知抛物线C：y24x与直线y2x4交于A，B两点（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且ABP的面积为12，求点P的坐标【分析】（1）把y2x4代入抛物线C：y24x，得y22y80，求出A（1，2），B（4，4），由此能求出弦AB的长度|AB|（2）设P（，y），点P到直线AB的距离d，ABP的面积为12，由SABP12，能求出点P的坐标【解答】解：（1）抛物线C：y24x与直线y2x4交于A，B两点把y2x4代入
24、抛物线C：y24x，得y22y80，解得y12，y24，A（1，2），B（4，4），弦AB的长度|AB|3（2）设P（，y），点P到直线AB的距离d，ABP的面积为12，SABP12，解得|y22y8|16，解得y4或y6P（4，4）或P（9，6）【点评】本题考查直弦长的求法，考查点的坐标的求法，考查抛物线、弦长公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题21（12分）如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1，AE3（）求证：平面CFG平面ACE（）
25、求平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值【分析】（）欲证明平面CGF平面ACE，可通过证明GF平面ACE，需证明ACGF，AEGF，结合GEAB，EFAD进行证明；（）方法一：构造平面ECG与平面ABCD所成二面角的平面角EBA，则BE，cosEBA，即可求得答案；方法二：建立空间直角坐标系，分别求得平面CEG与平面ABCD的法向量，利用cos，即可求得平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（）GEAB，EFAD，GEEF1，ABAD2，AMAN1，GFMN且GFMNMNBD，GFBDAE平面ABCD，AEBD，AEGF又在正方形ABCD中，ACBD，ACGFAC
26、AEA，GF平面ACE，平面CGF平面ACE解：（）解法一：由EGAD，则EGBC，平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角即为EBCG与平面ABCD所成的锐二面角，连接BE，由AEABCD，ABBC，则BEBC，则EBA为平面ECG与平面ABCD所成二面角的平面角，由AE3，AB2，则BE，cosEBA，平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值方法二：建立如图坐标系Axyx，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0）E（0，0，3），G（0，1，3），则（0，0，3），为平面ABCD的一个法向量，设（x，y，z）为平面CEG的一个法向量，则，即，令y0，则z2，（3，0，2）
27、，设平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角，则cos，平面CEG与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用22（12分）如图，椭圆E：+1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值【分析】（I）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（II）把直线PQ的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【解答】（I）解：椭圆E经过点A（0，1），且离心率为，b1，c1，a椭圆E的方程为：+y21（II）证明：由题设知，直线PQ的方程为yk（x1）+1（k2），代入+y21，得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）0由条件可知0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x20，则x1+x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和为：kAP+kAQ+2k+（2k）2k+（2k）2k2（k1）2所以直线AP、AQ斜率之和为定值2【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题