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2018-2019学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1(5分)焦点坐标为(1,0)的抛物线的标准方程是()Ay24xBy24xCx24yDx24y2(5分)若ab,xy,则下列不等式正确的是()Aa+xb+yBaxbyCaxbyD3(5分)等差数列an中,a26,a48,则a6()A4B7C10D144(5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2b2c2+bc,则角A()A120B30C150D605(5分)已知命题p:xR,x2+2x+30,则p是()AxR

2、,x2+2x+30BxR,x2+2x+30CxR,x2+2x+30DxR,x2+2x+306(5分)设x,y满足约束条件,则zx+y的最大值为()A0B1C2D37(5分)设xR,则“x3”是“1x3”的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件8(5分)如果椭圆+1的弦被点(1,1)平分,则这条弦所在的直线方程是()Ax+2y30B2xy30C2x+y30Dx+2y+309(5分)已知命题p:xR,2mx2+mx0,命题q:2m+11若“pq”为假,“pq”为真,则实数m的取值范围是()A(3,1)0,+)B(3,10,+)C(3,1)(0,+)D(3,1(0,

3、+)10(5分)在数列an中,a12,anan1+ln(1+)(n2),则an()A2+nlnnB2+(n1)lnnC2+lnnD1+n+lnn11(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的右项点为A,过A作双曲线C的一条渐近线的平行线,且该直线与另一条渐近线交于点M,若(+)0,则C的离心率为()ABC2D12(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,bc,则()AB2C3D二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)函数,x0的最小值是 14(5分)正项等比数列an,若3a1,2a2成等差数列,则an的公比q 15(5分)一货轮航行到M处,测得灯塔S在

4、货轮的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45,则货轮的速度为 海里/时16(5分)已知点A(0,1),B(0,1),以点P(m,4)为圆心,|PB|为半径作圆,圆在B处的切线为直线l,过点A作圆的一条切线与l交于点M,则|MA|+|MB| 三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤)17(10分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a53,S3(1)求an的通项公式;(2)若Sm27,求m18(12分)在ABC中,已知BC7,AB3,A60(1)求cosC的值(2)求ABC的面积19(12分)

5、设抛物线C:y24x焦点为F,直线l与C交于A,B两点(1)若1过F且斜率为1,求|AB|;(2)若不过坐标原点O,且OAOB,证明:直线l过定点20(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(1)求A;(2)若D为边BC上一点,且2,b6,AD2,求a21(12分)已知数列an满足a12,an+12(Sn+n+1)(nN*),令bnan+1(1)求数列bn的通项公式;(2)证明:22(12分)设点A,B的坐标分别为(2,0),(2,0)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是(1)求点M的轨迹E的方程;(2)设直线l:ykx与E交于C,D两点,F1(1,0),F2(1

6、,0),若E上存在点P,使得SPCD2S,求实数k的取值范围2018-2019学年广西桂林市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1(5分)焦点坐标为(1,0)的抛物线的标准方程是()Ay24xBy24xCx24yDx24y【分析】由题意设抛物线方程为y22px(p0),结合焦点坐标求得p,则答案可求【解答】解:由题意可设抛物线方程为y22px(p0),由焦点坐标为(1,0),得,即p2抛物的标准方程是y24x故选:B【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的简单性质,是基础

7、题2(5分)若ab,xy,则下列不等式正确的是()Aa+xb+yBaxbyCaxbyD【分析】根据不等式的同向相加性质可知选A【解答】解:ab,xy,根据不等式同向相加性质可得a+xb+y,故选:A【点评】本题考查了不等式的基本性质,属基础题3(5分)等差数列an中,a26,a48,则a6()A4B7C10D14【分析】利用等差数列通项公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出第6项【解答】解:等差数列an中,a26,a48,解得a15,d1,a6a1+5d5+510故选:C【点评】本题考查等差数列的第6项的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题4(5分)设ABC的内角A

8、,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2b2c2+bc,则角A()A120B30C150D60【分析】原式可变形为,由余弦定理可得cosA,由此可求A【解答】解:a2c2b2+bc,可化为b2+c2a2bc,两边同除以2bc,得,由余弦定理,得cosA,A120,故选:A【点评】该题考查余弦定理及其应用,对余弦定理的内容要熟练,会“正用、逆用、变形用”5(5分)已知命题p:xR,x2+2x+30,则p是()AxR,x2+2x+30BxR,x2+2x+30CxR,x2+2x+30DxR,x2+2x+30【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,

9、所以命题p:xR,x2+2x+30,则p是:xR,x2+2x+30故选:A【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题6(5分)设x,y满足约束条件,则zx+y的最大值为()A0B1C2D3【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:,则zx+y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,由解得A(3,0),所以zx+y 的最大值为:3故选:D【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查约束条件的可行域,判断目标函数的最优解是解题的关键7(5分)设xR,则“x3”是“1x3”的()A充分必要条件B充分不必要条

10、件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:当x2满足x3,但“1x3”不成立,即充分性不成立,当“1x3”时,x3成立,即“x3”是“1x3”的必要不充分条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关键8(5分)如果椭圆+1的弦被点(1,1)平分,则这条弦所在的直线方程是()Ax+2y30B2xy30C2x+y30Dx+2y+30【分析】由题意可知:将E,F代入椭圆方程,由中点坐标公式,做差求得直线EF的斜率公式,由直线的点斜式方程,即可求得条弦所在的直线方程【解答】解:设过点

11、A(1,1)的直线与椭圆相交于两点,E(x1,y1),F(x2,y2),由中点坐标公式可知:,则,两式相减得:+0,直线EF的斜率k,直线EF的方程为:y1(x1),整理得:2y+x30,故选:A【点评】本题考查直线的点斜式方程,中点坐标公式,考查计算能力,属于中档题9(5分)已知命题p:xR,2mx2+mx0,命题q:2m+11若“pq”为假,“pq”为真,则实数m的取值范围是()A(3,1)0,+)B(3,10,+)C(3,1)(0,+)D(3,1(0,+)【分析】根据不等式的解法分别求出命题p,q为真命题 的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可【解答】解:当m0时,2mx2+mx0

12、等价为0,则不等式恒成立,当m0时,要使2mx2+mx0恒成立,则,即,得3m0,综上3m0,即p:3m0,由2m+11得m+10,得m1,即q:m1若“pq”为假,“pq”为真,则p,q一个为真命题一个为假命题,若p真q假,则,得3m1,若p假q真,则,即m0,综上3m1或m0,即实数m的取值范围是(3,1(0,+),故选:D【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用,求出命题p,q为真命题的等价条件是解决本题的关键注意要对p,q的真假进行分类讨论10(5分)在数列an中,a12,anan1+ln(1+)(n2),则an()A2+nlnnB2+(n1)lnnC2+lnnD1+n+lnn【分析

13、】根据条件,即anlnnan1ln(n1),故anlnn是常数数列,所以anlnna1ln12,即an2+lnn【解答】解:,(n2)anan1+lnnln(n1),(n2)anlnnan1ln(n1),(n2)anlnn是常数数列,anlnna1ln12,an2+lnn故选:C【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质,属于基础题11(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的右项点为A,过A作双曲线C的一条渐近线的平行线,且该直线与另一条渐近线交于点M,若(+)0,则C的离心率为()ABC2D【分析】可得M(,),由(+)0,可得OMOAa,b23a2,可得离心率【解答】解:过A

14、作双曲线C的一条渐近线的平行线,则该平行线的方程为:y联立,可得M(,)(+)0,则OMOAa,b23a2,则C的离心率为故选:C【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查方程思想和化简整理的运算能力,属于中档题12(5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,bc,则()AB2C3D【分析】根据题意,由余弦定理,分析可得ac0,变形可得:a2b2c2bc0,又由a2,进而可得()2()+10,结合bc,解可得的值,即可得答案【解答】解:根据题意,ABC中,则有ac0,变形可得:a2b2c2bc0,又由a2,则有2b2+2c25bc0,即可得:()2()+10,解可得:2或,又由

15、bc,则2;故选:B【点评】本题考查三角形中的几何计算,关键是运用余弦定理变形二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)函数,x0的最小值是2【分析】注意到两项的积为定值,且为正数,故考虑利用基本不等式即可解决【解答】解:,当且仅当x1 取等号故函数,x0的最小值是2故答案为:2【点评】本题考查函数的最值,解题时要注意基本不等式的应用14(5分)正项等比数列an,若3a1,2a2成等差数列,则an的公比q3【分析】利用等比数列的通项公式、等差数列的性质列出方程,由此能求出an的公比【解答】解:正项等比数列an,3a1,2a2成等差数列,解得q3an的公比q3故答案为:3【

16、点评】本题考查公比的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题15(5分)一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东45,则货轮的速度为20海里/时【分析】根据正弦定理求出MN,再得出货轮的速度【解答】解:由题意可知SMN15+90105,SNM45,SM20,NSM30,在SMN中,由正弦定理可得:,即,解得:MN10,货轮的速度为20海里/时故答案为:20【点评】本题考查了解三角形的应用,正弦定理,属于基础题16(5分)已知点A(0,1),B(0,1),以点P(m,4)为圆

17、心,|PB|为半径作圆,圆在B处的切线为直线l,过点A作圆的一条切线与l交于点M,则|MA|+|MB|4【分析】根据条件作出图象,结合两条切线交点的性质,转化为|MA|+|MB|AC|,利用勾股定理进行求解即可【解答】解:设过点A作圆的一条切线与圆相切于C点,M是两条切线的交点,MBMC,即|MA|+|MB|MA|+|MC|AC|,圆是以点P(m,4)为圆心,|PB|为半径半径|PC|PB|,|PA|,则|AC|4,则|MA|+|MB|4,故答案为:4【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质的应用,利用数形结合转化为直角三角形,利用勾股定理是解决本题的关键考查学生的转化能力三、解答题(本大题共6

18、小题,共70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤)17(10分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a53,S3(1)求an的通项公式;(2)若Sm27,求m【分析】(1)设等差数列an的公差为d,利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组,求出a11,d,由此能求出an的通项公式(2)求出Sm27,由此能求出m【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d,则,解得a11,d,(n+1)(2)由(1)得Sm27,整理,得m2+3m1080,由mN*,解得m9【点评】本题考查等差数列的通项公式、实数值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题18(12分)在ABC中,

19、已知BC7,AB3,A60(1)求cosC的值(2)求ABC的面积【分析】(1)由已知及正弦定理可得sinC的值,利用大边对大角可求C为锐角,根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值(2)利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可求sinB的值,根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】(本题满分为12分)解:(1)BC7,AB3,A60由正弦定理可得:sinC,3分BCAB,C为锐角,4分cosC,6分(2)A+B+C,A60,sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC+,9分SABCBCABsinB612分【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,同角三角函数基本关系式

20、,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题19(12分)设抛物线C:y24x焦点为F,直线l与C交于A,B两点(1)若1过F且斜率为1,求|AB|;(2)若不过坐标原点O,且OAOB,证明:直线l过定点【分析】(1)由题意写出直线l的方程,与抛物线方程联立消去y,得关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系和抛物线的定义求出|AB|的值;(2)可设直线l的方程为xmy+a(a0),A(x1,y1),B(x2,y2);由得关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的坐标运算法则求出a的值,再判断直线l恒过定点【解答

21、】解:(1)抛物线C:y24x的焦点为F(1,0),直线l过点F且斜率为1,则l的方程为yx1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,消去y,得x26x+10,又(6)2411320,且x1+x26,|AB|x1+x2+28;(2)直线l的斜率不为0时,可设直线l的方程为xmy+a(a0),A(x1,y1),B(x2,y2);由,消去x,得y24my4a0,则y1y24a;又x1,x2,x1x2a2,又OAOB,x1x2+y1y20,即a24a0,又a0,a4;直线l:xmy+4恒过定点M(4,0)【点评】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题,也考查了方程与平面向量的应用问题,是中档题20

22、(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(1)求A;(2)若D为边BC上一点,且2,b6,AD2,求a【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得2sinCcosAsinC,又sinC0,即可得cosA,即可求得A的大小(2)过点D作DEAC交AB与E,可求DEA,DEAC2,在ADE中,由余弦定理可解得AE,可求AB,在ABC中,由余弦定理可得BC的值【解答】(本题满分为12分)解:(1),可得:(2cb)cosAacosB,(2sinCsinB)cosAsinAcosB,2sinCcosAsinBcosAsinAcosB,2sinCcosAsin(A+B)sinC,在AB

23、C中,sinC0cosA,A (5分)(2)过点D作DEAC交AB与E,则DEA,则DEAC2,8分在ADE中,由余弦定理可得:AD2AE2+DE22AD,12AE2+222AE,即:AE2+2AE80,解得:AE2,AB3,10分在ABC中,由余弦定理可得:BC2AB2+AC22AB,BC232+62227,BC312分【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,考查了数形结合思想的应用,属于中档题21(12分)已知数列an满足a12,an+12(Sn+n+1)(nN*),令bnan+1(1)求数列bn的通项公式;(2)证明:【分析】(1)运用数

24、列的递推式和等比数列的通项公式,可得所求;(2)由an+13n,可得(),再由裂项相消求和,结合不等式的性质可得证明【解答】解:(1)a12,an+12(Sn+n+1)n1时,a22(2+1+1)8,n2时,an2(Sn1+n)相减整理可得an+13an+2,可得an+1+13(an+1),n1时,上式也成立,即有bn+13bn,bnb13n13n;(2)证明:由an+13n,可得(),即有+(+)+()+【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等比数列的通项公式,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查不等式的性质,属于中档题22(12分)设点A,B的坐标分别为(2,0),

25、(2,0)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是(1)求点M的轨迹E的方程;(2)设直线l:ykx与E交于C,D两点,F1(1,0),F2(1,0),若E上存在点P,使得SPCD2S,求实数k的取值范围【分析】(1)设M(x,y),由题意得kAMkBM(x2),由此能求出点M的轨迹E的方程(2)设C(x1,y1),P(2cos,),则22|y1|,点P到直线l的距离d,|CD|22|y1|,k0,从而SPCD|y1|从而只需4|y1|y1|,由此能求出k的取值范围【解答】解:(1)设M(x,y),由题意得:kAMkBM(x2),化简,得点M的轨迹E的方程为,(x2)(2)设C(x1,y1),P(2cos,),2,点P到直线l的距离d,|CD|22|y1|,k0,SPCD|y1|y1|E上存在点P,使得,只需4|y1|y1|,解得k2k0,k的取值范围是)(0,【点评】本题考查点的轨迹方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,考查直线方程、椭圆、点到直线的距离公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题