1、2018-2019学年广西玉林市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（5分）已知命题p：若xN，则xZ，命题q：xR，则下列命题为真命题的是（）A（p）（q）B（p）（q）C（p）qDpq3（5分）已知椭圆C：16x2+4y21，则下列结论正确的是（）A长轴长为B焦距为C短轴长为D离心率为4（5分）若将长为6的一条线段分成长度为正整数的三条线段，则这三条线段可以构
2、成三角形的概率为（）ABCD5（5分）在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（）ABCD6（5分）已知函数f（x）x2ex，x1，1，则f（x）的单调增区间是（）A0，+）B（0，1）C（，2）D（1，0）7（5分）某集团公司青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数是（）A280B320C400D10008（5分）执行下面的程序框图，输出的S（）A25B9C17D209（5分）甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（）
3、A，乙比甲成绩稳定B，甲比乙成绩稳定C，乙比甲成绩稳定D，甲比乙成绩稳定10（5分）已知f（x）为函数yf（x）的导函数，当x（x）是斜率为k的直线的倾斜角时，若不等式f（x）f（x）k0恒成立，则（）ABCf（）f（）0Df（）f（）011（5分）在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（ab0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）ABCD12（5分）过点H（1，1）作抛物线x24y的两条切线HA，HB，切点为A，B，则ABH的面积为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分
4、20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知一组数据从小到大排列为1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，则这组数据的众数为 14（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是 15（5分）设抛物线C：y23x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|FA|3，则直线FA的倾斜角为 16（5分）若函数f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知集合M（x，y）|x0
5、，2，y1，1（1）若x，yM，且x，y为整数，求x+y0的概率；（2）若x，yM，求x+y0的概率18命题p：关于x的不等式x2+2ax+40，对一切xR恒成立命题q：抛物线y24ax的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围192017年11月、12月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期第一周第二周第三周第四周第五周第六周昼夜温差x（C）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方
6、案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验（）求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率；（）若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据，求出y关于x的线性回归方程bx+a；（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：b，a）参考数据：1125+1329+1226+8161092，112+132+122+8249820已知函数f（x）+lnx，其中aR，且曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线yx（1）
7、求a的值及在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值21已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且|F1F2|2（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：有公共点时，求MF1F2面积的最大值22已知函数f（x）lnxa2x2+ax（a1）（1）证明：函数f（x）在区间（1，+）上是减函数；（2）当a1时，证明：函数f（x）只有一个零点2018-2019学年广西玉林市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
8、项是符合题目要求的.1（5分）钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】“好货”“不便宜”，反之不成立即可判断出结论【解答】解：“好货”“不便宜”，反之不成立：“好货”是“不便宜”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）已知命题p：若xN，则xZ，命题q：xR，则下列命题为真命题的是（）A（p）（q）B（p）（q）C（p）qDpq【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：若xN，则xZ成立，即命题p是真命题，
9、xR，（）x20恒成立，即xR，为假命题，即q是假命题，则（p）（q）是真命题，其余为假命题，故选：A【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键3（5分）已知椭圆C：16x2+4y21，则下列结论正确的是（）A长轴长为B焦距为C短轴长为D离心率为【分析】化简椭圆的方程为标准方程，然后求解即可【解答】解：椭圆C：16x2+4y21，可得，焦点坐标在y轴上；可得a，b，可得c，可得离心率为：故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查4（5分）若将长为6的一条线段分成长度为正整数的三条线段，则这三条线段可以构成三角形的概率为（）ABCD【分
10、析】本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率【解答】解：若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为1、1、4；4、1、1；1、4、1；1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；2、2、2；3、1、2；3、2、1；一共有10种等可能情况，所以构成三角形的概率P故选：B【点评】本题考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，比较基础5（5分）在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（）ABCD【分析】根据题意，由双曲线
11、的离心率公式可得ca，进而可得ba，分2种情况讨论双曲线焦点的位置，将P的坐标代入双曲线的方程，求出a的值，即可得双曲线的方程，综合2种情况即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为，即e，即ca，则ba，若双曲线的焦点在x轴上，则双曲线的方程为1，又由双曲线经过点，则有1，解可得a21，则此时双曲线的方程为1，若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的方程为1又由双曲线经过点，则有1，解可得：a22，（舍）故双曲线的方程为1，故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用6（5分）已知函数f（x）x2ex，x1，1，则f（x）的单调增区间是（）
12、A0，+）B（0，1）C（，2）D（1，0）【分析】先利用导数的四则运算求函数f（x）的导函数f（x），再解不等式f（x）0即可得函数的单调增区间；【解答】解：f（x）x2exf（x）2xex+x2ex（x2+2x）ex，由f（x）0x0或x2故f（x）单调增区间为（0，+）和（，2）函数的定义域为：1，1，所以公式的单调增区间：（0，1）故选：B【点评】本题主要考查了导数在函数单调性中的重要应用，导数四则运算，转化化归的思想方法7（5分）某集团公司青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数是（）A280B32
13、0C400D1000【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，和从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职工中抽出的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【解答】解：由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200名职员作为样本，要从该单位青年职工中抽出 80，每人被抽取的概率为0.2，该单位青年职工共有 400，故选：C【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一8（5分）执行下面的程序框图，输
14、出的S（）A25B9C17D20【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：按照程序框图依次执行为S1，n0，T0；S9，n2，T0+44；S17，n4，T4+1620S，退出循环，输出S17故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况9（5分）甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列
15、叙述正确的是（）A，乙比甲成绩稳定B，甲比乙成绩稳定C，乙比甲成绩稳定D，甲比乙成绩稳定【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果【解答】解：甲的平均成绩（73+78+79+87+93）82，甲的成绩的方差（7382）2+（7882）2+（7982）2+（8782）2+（9382）250.4，乙的平均成绩（79+89+89+92+91）88，乙的成绩的方差（7988）2+（8988）2+（8988）2+（9288）2+（9188）221.6，乙比甲成绩稳定故选：C【点评】本题考查甲、乙二人的平均成绩及稳定性的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用10（5分）
16、已知f（x）为函数yf（x）的导函数，当x（x）是斜率为k的直线的倾斜角时，若不等式f（x）f（x）k0恒成立，则（）ABCf（）f（）0Df（）f（）0【分析】构造函数g（x），根据函数单调性和三角形函数值即可判断【解答】解：ktanx，f（x）f（x）k0，x）cosxf（x）sinxf（x）0，设g（x），g（x），不等式f（x）f（x）k0恒成立，g（x）0恒成立，g（x）在（0，）上单调递增，g（）g（1）g（）g（），f（）f（），2f（），f（）f（），f（）f（）A，C，D错误，B正确，故选：B【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题11（5分）在
17、直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1（ab0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）ABCD【分析】利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可【解答】解：可令F（c，0），由xc，可得yb，由题意可设P（c，），B（a，0），可得BP的方程为：y（xa），x0时，y，E（0，），A（a，0），则AE的方程为：y（x+a），则M（c，），M是线段PF的中点，可得2（），即2a2ca+c，即a3c，可得e故选：C【点评】本题
18、考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力12（5分）过点H（1，1）作抛物线x24y的两条切线HA，HB，切点为A，B，则ABH的面积为（）ABCD【分析】求出x24y即y的导数，可得过点A的切线方程，H（1，1）代入可得x12y1+20，同理x22y2+20，从而得到直线AB的方程，与抛物线：x24y联立，可得AB的长，以及H到AB的距离，进而得到HAB的面积【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线x24y，yx，过点A的切线方程为yy1x1（xx1），即x1x2y2y10H（1，1）代入可得x12y1+20，同理x22y2+20，A（x1，y1），B（x2，y2）
19、都满足方程x2y+20，即为直线AB的方程，与抛物线：x24y联立，可得x22x40，解得x11+，x21，|AB|x1x2|5，H到直线AB的距离为d，可得HAB的面积为5故选：B【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，求出直线AB的方程是关键二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知一组数据从小到大排列为1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，则这组数据的众数为6【分析】根据从小到大排列为1，0，4，x，6，15，这组数据的中位数是5，列出，得到x6，得到这组数据是1，0，4，6，6，15，看出众数【解答】解：从小到大排列为1，0，4
20、，x，6，15，这组数据的中位数是5，x6，这组数据是1，0，4，6，6，15，这组数据的众数为6故答案为：6【点评】本题考查中位数和众数，本题解题的关键是求出这组数据的未知数据，得到乙组完整的数据，看出这组数据中哪一个数字出现的次数最多，得到结论即可14（5分）在区间（0，1）中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是【分析】由几何概型中的面积型，作图象，再求出相应的面积之比，得解【解答】解：设区间（0，1）中随机取出两个数x、y，则x（0，1），y（0，1），“两数之和小于“，即“x+y“，记事件A为“x+y“，由几何概型中的面积型可得：P（A），故答案为：【点评】本题考查了几何概型中的面积
21、型，属简单题15（5分）设抛物线C：y23x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|FA|3，则直线FA的倾斜角为或【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角【解答】解：设该A坐标为（x，y），抛物线C：y23x的焦点为F（，0），根据抛物线定义可知x+3，解得x，代入抛物线方程求得y，故A坐标为：（，），AF的斜率为：，则直线FA的倾斜角为：或故答案为：或【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决16（5分）若函数
22、f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为3【分析】推导出f（x）2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）2x（3xa）0，f（0）1，f（x）在（0，+）上没有零点；当a0时，f（x）2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，由f（x）只有一个零点，解得a3，从而f（x）2x33x2+1，f（x）6x（x1），x1，1，利用导数性质能求出f（x）在1，1上的最大值与最小值的和【解答】解：函数f（x）2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）2x（3xa），x（0，+），当a
23、0时，f（x）2x（3xa）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（x）2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又f（x）只有一个零点，f（）+10，解得a3，f（x）2x33x2+1，f（x）6x（x1），x1，1，f（x）0的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）4，f（0）1，f（1）0，f（x）minf（1）4，f（x）maxf（0）1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min4+13【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运
24、算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知集合M（x，y）|x0，2，y1，1（1）若x，yM，且x，y为整数，求x+y0的概率；（2）若x，yM，求x+y0的概率【分析】（1）由古典概型，一一列举出基本事件即可得解（2）由几何概型中的面积型，结合图象求面积之比即可得解【解答】解：（1）满足x，yM，且x，y为整数的基本事件有：（0，1），（0，0），（0，1），（1，1），（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（2，1）共9个，满足x+y0的基本事件有：（0，0），（0，1），（1
25、，1），（1，0），（1，1），（2，1），（2，0），（2，1）共8个，由古典概型可知：x+y0的概率为：；（2）设事件A为：x，yM，x+y0由几何概型中的面积型，结合图象可知：P（A）1【点评】本题考查了古典概型及几何概型，属中档题18命题p：关于x的不等式x2+2ax+40，对一切xR恒成立命题q：抛物线y24ax的焦点在（1，0）的左侧，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围【分析】先分别求出p，q为真时实数a的取值范围，再由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假，从而解得【解答】解：设g（x）x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立，
26、故4a2160，2a2又抛物线y24ax的焦点在（1，0）的左侧，a1a0又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假（1）若p真q假，则1a2；或a0（2）若p假q真，则a2综上可知，所求实数a的取值范围为1a2，或a2或a0【点评】本题考查了复合命题的真假性的应用，属于基础题192017年11月、12月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期第一周第二周第三周第四周第五周第六周昼夜温差x（C）1011131286就诊人数y（个）222529261612该
27、兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验（）求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率；（）若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据，求出y关于x的线性回归方程bx+a；（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：b，a）参考数据：1125+1329+1226+8161092，112+132+122+82498【分析】（）利用列举法，结合古典概型的概率公式进行即可即可求选取的2组数据恰好是相
28、邻两个星期的概率；（）根据数据求出，以及，的值，即可求出y关于x的线性回归方程bx+a；（）分别计算出1月份和6月份对应的预测值，和22作差，进行比较即可得到结论【解答】解：（）将连续六组数据分别记为A，B，C，D，E，F，从六组中任意选取两组，其基本事件为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15种情况其中两组是相邻的为AB，BC，CD，DE，EF，共5种情况设抽到相邻两个星期的数据为事件M，则抽到相邻两个星期的数据的概率为（）由表中2月至5月份的数据，得（11+13+12+8）11，（25+29+26+16）24，故有（xi）（yi）0
29、1+25+12+（3）（8）36，（xi）202+22+12+（3）214，由参考公式得，由得，即y关于x的线性回归方程x+x（）由1月份数据得当x10时，10|22|2，由6月份数据得当x6时，6|22|2，则该小组所得线性回归方程是理想的【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算以及线性回归方程的求解，考查学生的运算能力20已知函数f（x）+lnx，其中aR，且曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线yx（1）求a的值及在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线方程，可得a，进而得到切线方程；（2）
30、求得函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，即可得到极值【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f（x），曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为a，由于切线垂直于直线yx，即有a2，解得a，则f（x）+lnx，f（1）+0，则在点（1，0）处的切线方程为y2（x1），即为2x+y20；（2）f（x）+lnx，（x0），导数f（x），由f（x）0，解得x5；由f（x）0，解得0x5则f（x）的增区间为（5，+），减区间为（0，5），即有f（x）的极小值为f（5）ln5，无极大值【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查运算能力，属于中档题21已知
31、椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且|F1F2|2（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：有公共点时，求MF1F2面积的最大值【分析】（1）根据焦距为2求出c的值，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，则椭圆方程可求；（2）先设M的坐标为（x0，y0），得到，再表示出直线l的方程，由圆M与l有公共点可得到M到l的距离4x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0150，再由消去y0，求出x0的取值范围，再表示出MF1F2面积即可求出最大值【解答】解：（1）2c2，且，c1，a2则b23椭圆C的标准方程为
32、；（2）设点M的坐标为（x0，y0），则F1（1，0），直线l的方程为x4由于圆M与l有公共点，M到l的距离4x0小于或等于圆的半径RR2MF12（x0+1）2+y02，（4x0）2（x0+1）2+y02，即y02+10x0150又3（1），3+10x0150解得x012又，x02，当x0时，|y0|，MF1F2面积的最大值2【点评】本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题，考查计算能力，是中档题22已知函数f（x）lnxa2x2+ax（a1）（1）证明：函数f（x）在区间（1，+）上是减函数；（2）当a1时，证明：函数f（x）只有一个零点【分析】（1）求出函数的导数，结合a，x的范围得到函
33、数的单调性，从而证明结论；（2）代入a的值，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证明结论即可【解答】证明：（1）显然函数f（x）lnxa2x2+ax的定义域为（0，+）a1，x1，2ax+10，ax10，f'（x）0，所以函数f（x）在（1，+）上是减函数（2）当a1时，f（x）lnxx2+x，其定义域是（0，+），令f'（x）0，即，解得或x1x0，舍去当0x1时，f'（x）0；当x1时，f'（x）0函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，当x1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）ln112+10，当x1时，f（x）f（1），即f（x）0，函数f（x）只有一个零点【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道中档题