1、2.3.2向量数量积的运算律基础过关1设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1.()A若确定，则|a|唯一确定B若确定，则|b|唯一确定C若|a|确定，则唯一确定D若|b|确定，则唯一确定答案B解析|bta|2b22abtt2a2|a|2t22|a|b|cost|b|2.因为|bta|min1，所以|b|2(1cos2)1.所以|b|2sin21，所以|b|sin1，即|b|.即确定，|b|唯一确定2已知向量a，b，其中|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是()A. B. C. D答案A解析由题意知(ab)aa2ab2ab0，ab2，设a与b的夹角为
2、，则cos，.3已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|5，则|3ab|等于()A7 B6 C5 D4答案A解析|3ab|7.故选A.4在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca等于()A B 0 C. D3答案A解析ab|cos60.同理bc，ca，abbcca.5若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_答案解析|a|3|b|a2b|，|a|29|b|2(a2b)2|a|24|b|24ab，ab|b|2，cosab.6已知ab2i8j，ab8i16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么ab_.答案637已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(a
3、b)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解(1)(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2；又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos，cos，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos|b|2，|ab|.能力提升8设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D0答案B解析设a与b的夹角为，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S，则S
4、有以下三种情况：S2a22b2；S4ab；S|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos，中S5|a|24|a|2cos.易知最小，即8|a|2cos4|a|2，cos，可求，故选B.9在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_答案解析因为E为CD的中点，所以.，因为1，所以()221，即12|cos601，所以2|0，解得|.10已知向量与的夹角为120，且|3，|2，若，且，则实数的值为_答案解析向量与的夹角为120，且|3，|2，所以|cos120323.由得，0，即()()0，所以22(1)0，即493(1)0，解得
5、.11设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n夹角是，mn|m|n|cos11.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos.又0，故a与b的夹角为.12已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：(ab)c；(2)若|kabc|1(kR)，求k的取值范围(1)证明因为|a|b|c|1，且a、b、c之间的夹角均为120，所以(ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200，所以(ab)c.(2)解因为|kabc|1，所以(kabc)21，即k2a2b2c22kab2kac2bc1，所以k2112kcos1202kcos1202cos1201.所以k22k0，解得k2.所以实数k的取值范围为k|k2创新突破13.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_答案22解析由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.