1、2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律一、选择题1.已知|a|3，|b|4，且a与b的夹角150，则ab等于()A.6 B.6 C.6 D.6答案C2.已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为()A.45 B.135 C.120 D.150答案B解析cos ，又0180，135.3.已知|a|2，|b|3，|ab|，则|ab|等于()A. B. C. D.答案A解析因为|ab|219，所以a22abb219，所以2ab19496.于是|ab|.4.若|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的正射影的数量等
2、于()A.3 B.2 C.2 D.1答案D解析向量a在向量b方向上的正射影的数量是|a|cos 2cos 1201.5.已知平面上三点A，B，C，满足|3，|4，|5，则的值等于()A.7 B.7 C.25 D.25考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案D解析由条件知ABC90，所以原式045cos(180C)53cos(180A)20cos C15cos A201516925.6.已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析a24|a|b|cos (为向量a与b的夹角)，若方程有实根，则有0，
3、即a24|a|b|cos 0，又|a|2|b|，4|b|28|b|2cos 0，cos .又0，.7.已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A. B. C. D.答案B解析如图所示，()|2|2111.故选B.8.定义：ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则ab等于()A.8 B.8 C.8或8 D.6答案B解析由|a|2，|b|5，ab6，得cos ，sin ，ab|a|b|sin 258.二、填空题9.已知向量a在向量b方向上的正射影的数量是，|b|3，则ab的值为_.
4、答案2解析ab|a|b|cosa，b|b|a|cosa，b32.10.已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.答案解析|a|3，|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，cos .11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.则向量a在向量ab方向上的正射影的数量为_.考点向量的投影题点求向量的投影答案解析(2a3b)(2ab)4a23b24ab416394ab61，解得ab6，|ab|2a2b22ab1691213，a(ab)a2ab10，|ab|，设a与ab的夹角为，cos ，则a在
5、ab方向上的投影为|a|cos 4.三、解答题12.已知非零向量a，b，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.解由向量垂直，得即化简得cosa，b.又a，b0，a与b的夹角为.13.在ABC中，已知|5，|4，|3，求：(1)；(2)在方向上的正射影的数量；(3)在方向上的正射影的数量.解|5，|4，|3，ABC为直角三角形，且C90.cos A，cos B.(1)5416.(2)|cos，.(3)|cos，4.14.已知在ABC中，ABAC4，8，则ABC的形状是_.考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用答案等边三角形解析|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC，因为0BAC180，所以BAC60.又ABAC，故ABC是等边三角形.15.已知向量a，b，c满足abc0，且|a|3，|b|5，|c|7.(1)求a与b的夹角；(2)是否存在实数使ab与a2b垂直？解(1)abc0，abc，|ab|c|.(ab)2c2，即a22abb2c2，ab.又ab|a|b|cos ，35cos ，cos ，60.(2)(ab)(a2b)，(ab)(a2b)0，a22b22abab0，922520，.存在，使得ab与a2b垂直.