1、2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1.已知向量a(5,6)，b(6,5)，则a与b()A.垂直 B.不垂直也不平行C.平行且同向 D.平行且反向答案A解析ab56650，ab.2.已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A.1 B. C.2 D.4答案C解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，n23，|a|2.3.若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A. B. C. D.答案C解析2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3
2、.设所求两向量的夹角为，则cos ，又0，.4.若a(2，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为()A.(3,2)B.C.或D.以上都不对答案C解析设与a垂直的单位向量坐标为(x，y)，1，即x2y21.又(x，y)表示的向量垂直于a，2x3y0.由得或5.已知平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于()A.2 B.1 C.1 D.2答案D解析因为a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m4,2m2)，所以acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以，即，所以，解得m2，故选D.6
3、.已知(2,1)，(0,2)且，则点C的坐标是()A.(2,6) B.(2，6)C.(2，6) D.(2,6)答案D解析设C(x，y)，则(x2，y1)，(x，y2)，(2,1)，2(x2)0，2xy20，由可得C(2,6).7.已知向量a(1,1)，b(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在内变动时，实数m的取值范围是()A.(0,1) B.C.(1，) D.(1，)考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数答案C解析如图，作a，则A(1,1).作，使AOB1AOB2，则B1Ox，B2Ox，故B1，B2(1，).又a与b的夹角不为0，故m1.由图可知实数m的取值范
4、围是(1，).二、填空题8.已知a(3，)，b(1,0)，则(a2b)b_.答案1解析a2b(1，)，(a2b)b1101.9.已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_.答案1解析由题意知(3,0)，(0，)，则(3，).(3,0)(3，)9，cosAOC，21，又C在第二象限，1.10.已知a(1,3)，b(2，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.答案解析由a与b的夹角为锐角，得ab230，5.当ab时，(2)310，.故的取值范围为5且.11.已知点A(1，2)，若向量与a(2,3)同向，且|2，则点B的坐标为_.答案(5,4)解
5、析设(2，3)(0)，则|2，1321322，2，(4,6).(1，2)(4,6)(5,4).点B的坐标为(5,4).三、解答题12.已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m与n的夹角的大小.解(1)ab，a(3,4)，b(9，x)，x12，即b(9,12)，ac，ac344y0，y3，即c(4，3).(2)m2ab(3，4)，nac(7,1)，|m|5，|n|5，mn374125，cosm，n，又m，n0，m，n，即m与n的夹角大小为.13.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4).(1)求证：ABAD；
6、(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.(1)证明A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3).又1(3)130，即ABAD.(2)解，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，解得C点坐标为(0,5).由于(2,4)，(4,2)，所以88160.又|2 ，|2 ，设与的夹角为，则cos 0，矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.14.已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.答案解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.由解得x，y.15.平面内有向量(1,7)，(5,1)，(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cosAQB的值.解(1)设(x，y)，Q在直线OP上，向量与共线.又(2,1)，x2y0，x2y，(2y，y).又(12y,7y)，(52y,1y)，(12y)(52y)(7y)(1y)5y220y125(y2)28.故当y2时，有最小值8，此时(4,2).(2)由(1)知：(3,5)，(1，1)，8，|，|，cosAQB.