1、1.2.2单位圆与三角函数线学习目标1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.知识点一单位圆(1)单位圆把半径为1的圆叫做单位圆.(2)单位圆中角的坐标角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.知识点二三角函数线当角的终边在x上时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM1或1.当角的终边在y轴上时，正弦线MP1或1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在.思考三角函数线的方向是如何规定的？答案方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.1.正弦线也可写成.()提示三角
2、函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.2.三角函数线都只能取非负值.()提示三角函数线表示的值也可取负值.3.当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.()4.当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.()题型一三角函数线例1作出的正弦线、余弦线和正切线.解如图所示，sinMP，cosOM，tanAT.即的正弦线为，余弦线为，正切线为.反思感悟(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T或T，即可得到正切线或.跟踪训练1
3、在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合.解已知角的正弦值，可知MP，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的取值集合为.题型二利用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较sin 和sin ，cos 和cos ，tan 和tan 的大小.解如图，sin MP，cos OM，tan AT，sin MP，cos OM，tan AT.显然|，符号皆正，sin sin ；|cos ；|，符号皆负，tan |，且符号皆正，sin 1 155sin(1 654).题型三利用三角函数线解不等式(组)例3在单位圆中画出
4、适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合.(1)sin ；(2)cos .解(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.故满足要求的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为.反思感悟用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即02内满足条件的角的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间.跟踪训练3求函数ylg的
5、定义域.解由题意知，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，函数的定义域为.三角函数线的应用典例如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()答案C解析P0(，)，P0Ox.按逆时针转时间t后得POP0t，POxt，此时P点纵坐标为2sin，d2.当t0时，d，排除A，D；当t时，d0，排除B.素养评析本题中点P到x轴距离即正弦线的长度，借助正弦线可以感知函数图象的变化，这正是数学核心素养直观想象的运用体现.1.下列四个命题中：当一定时 ，单位圆中的正弦线一定；在单位圆中，有相同正弦线的
6、角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.则错误命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析由三角函数线的定义知正确，不正确.2.如图在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是()A.正弦线为，正切线为B.正弦线为，正切线为C.正弦线为，正切线为D.正弦线为，正切线为答案C3.如果，那么下列不等式成立的是()A.cos sin tan B.tan sin cos C.sin cos tan D.cos tan sin 答案A解析方法一(特值法)令，则cos ，tan ，sin ，故cos sin tan .方法二如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线，余弦
7、线，正切线，则OMMPAT，即cos sin tan .4.函数y的定义域为_.答案5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角的区域，并写出角的集合：(1)cos ；(2)tan ；(3)|sin |.解(1).(2).(3)|sin |，即sin ，.1.三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.2.三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出，.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更加容易.