1、1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(二)学习目标1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.知识点一正切函数的图象(1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如图所示.(2)正切函数的图象特征正切曲线是由通过点(kZ)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.知识点二正切函数的性质函数ytan x的图象与性质见下表：解析式ytan x图象定义域域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间(kZ)内都是增函数1.函数ytan x在其定义域上是增函数.()提示ytan x在开区间(kZ)上是增函数，但在其定义域上不是增函数.2.函数ytan x图象
2、的对称中心是(k，0)(kZ).()提示ytan x图象的对称中心是(kZ).3.正切函数ytan x无单调递减区间.()4.正切函数在区间上单调递增.()提示正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x时，ytan x无意义.题型一正切函数的定义域例1求下列函数的定义域.(1)y；(2)ylg(tan x).解(1)要使函数y有意义，必须且只需所以函数的定义域为.(2)因为tan x0，所以tan x.又因为当tan x时，xk(kZ)，根据正切函数图象，得kxk(kZ)，所以函数的定义域是.反思感悟求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函
3、数线.跟踪训练1求函数ylg(1tan x)的定义域.解由题意，得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又ytan x的周期为，所以函数的定义域是(kZ).题型二正切函数的单调性及其应用命题角度1求正切函数的单调区间例2求函数ytan的单调区间及最小正周期.解ytantan，由kxk(kZ)，得2kx0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解kxk，kZ即可.当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间.跟踪训练2求函数ytan的单调区间.解ytan x在x(kZ)上是增函数，k2xk，kZ，即x，kZ.函数ytan的单调递增区间是(kZ).命题角度2利用正切函数的单调性比较大
4、小例3(1)比较大小：tan 32_tan 215；tan_tan.(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为_.(用“”连接)答案(1)(2)tan 2tan 3tan 1解析(1)tan 215tan(18035)tan 35，当0x90时，ytan x单调递增，3235，tan 32tan 35tan 215.tantantan，tantantan，ytan x在上单调递增，且，tantan，即tantan.(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，231，且ytan x在上单调递增，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3解析tantantan
5、 ，tantantan .又0，ytan x在内单调递增，tan tan ，tantan.题型三正切函数的奇偶性与对称性问题例4(1)判断下列函数的奇偶性.y；yxtan 2xx4.解由得xk且xk(kZ)，即定义域为，不关于原点对称，故该函数既不是奇函数，也不是偶函数.函数定义域为，关于原点对称.令f(x)xtan 2xx4，则f(x)(x)tan 2(x)(x)4xtan 2xx4f(x)，故该函数是偶函数.(2)求y3tan的图象的对称中心.解由2x(kZ)，得x(kZ).故所求函数图象的对称中心为点(kZ).反思感悟(1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优
6、先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与f(x)的关系.(2)求函数ytan(x)的图象的对称中心，方法是把x看作一个整体，由x(kZ)解出的x的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零.跟踪训练4判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)tan x；(2)f(x)lg|tan x|.解(1)要使函数有意义，需满足tan x0且tan x有意义，即x，kZ，可知定义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x，都有f(x)tan xf(x)，故函数f(x)为奇函数.(2)由得所以函数f(x)的定义域为，kZ，定义域关于原点对称.又对任意x，kZ，都有f(x)lg|tan(x)|lg|t
7、an x|lg|tan x|f(x)，故函数f(x)是偶函数.题型四正切函数的图象及应用例5画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.解由y|tan x|，得y其图象如图所示.由图象可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，周期为.反思感悟(1)作出函数y|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：保留函数yf(x)图象在x轴上方的部分；将函数yf(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.跟踪训练5设函数f(x)tan.(1)求
8、函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.解(1)，周期T2.令(kZ)，得xk(kZ)，f(x)的对称中心是(kZ).(2)令0，则x；令，则x；令，则x.函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得到函数yf(x)在一个周期内的简图(如图).正切函数的图象典例已知函数f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求证：f(x1)f(x2)f.证明如图所示，不妨设0x1x2CC1，f(x1)f(x2)f.素养评析通过作出函数图象，将代数式大小比较转化为线段长度的大小比较，从而使问题得解，这正是数学核心
9、素养直观想象的具体体现.1.函数ytan的最小正周期是()A. B.2 C. D.答案C解析最小正周期为T.2.在下列函数中同时满足：在上单调递增；以2为周期；是奇函数的是()A.ytan x B.ycos xC.ytan D.ytan x答案C3.函数f(x)tan的单调递增区间为()A.，kZB.(k，(k1)，kZC.，kZD.，kZ答案C4.比较大小：tan 1_tan 4.答案解析由正切函数的图象易知，tan 10，tan 4tan(4)，而041，函数ytan x在上为增函数，所以tan 1tan(4)tan 4.5.函数ytan x的值域是_.答案(，11，)解析函数ytan x在上单调递增，在上也单调递增，所以函数的值域是(，11，).1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.2.正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是，值域是R.(2)正切函数ytan x的最小正周期是，函数yAtan(x)(A0)的周期为T.(3)正切函数在(kZ)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.