1、3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一二倍角公式sin22sin cos ，(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2， (C2)tan 2. (T2)知识点二二倍角公式的变形(1)公式的逆用2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos2sin2cos 2，tan 2.(2)二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式升幂公式1cos 22cos2，1cos 22sin2，1cos 2cos2,1cos
2、2sin2 .降幂公式cos2，sin2.1.sin 2sin cos .()2.cos 4cos22sin22.()3.对任意角，tan 2.()提示公式中所含各角应使三角函数有意义.如及，上式均无意义.4.cos2.()题型一给角求值例1求下列各式的值.(1)cos 36cos 72；(2)cos215；(3)；(4).解(1)cos 36cos 72.(2)cos215(2cos2151)cos 30.(3)222.(4)4.反思感悟对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个
3、非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos cos cos ；(2).解(1)原式.(2)原式4.题型二条件求值例2(1)若sin cos ，则sin 2 .答案解析(sin cos )2sin2cos22sin cos 1sin 22sin 212.(2)若tan ，则cos22sin 2等于()A. B. C.1 D.答案A解析cos22sin 2.把tan 代入，得cos22sin 2.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin cos
4、，求sin 2.解由题意，得(sin cos )2，12sin cos ，即1sin 2.sin 2.反思感悟(1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢.对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin cos )21sin 2.跟踪训练2已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值.解(1)tan3.(2)1.题型三利用倍角公式化简例3化简：.解方法一原式1.方法二原式1.反思感悟(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：能求出值的应求出值.使三角函数种数尽量少.使三角函
5、数式中的项数尽量少.尽量使分母不含有三角函数.尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角.降幂或升幂.跟踪训练3化简下列各式：(1)若，则 ；(2)若为第三象限角，则 .答案(1)sin cos (2)0解析(1)，sin cos ，sin cos .(2)为第三象限角，cos 0，sin 0，0.利用二倍角公式化简求值典例等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .答案解析设A是等腰ABC的顶角，则cos B，sin B.所以sin Asin(1802B)sin 2B2sin Bcos B2. 素养评析在实际问题中，提炼出等腰三角形的底角
6、、顶角之间的关系，再利用二倍角公式化简或求值，这正是数学核心素养数学抽象的体现.1.sin cos 的值等于()A. B. C. D.答案B解析原式sin .2.sin4cos4等于()A. B. C. D.答案B解析原式cos .3. .答案1解析tan 151.4.设sin 2sin ，则tan 2的值是 .答案解析sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0，2cos 10，即cos ，sin ，tan ，tan 2.5.求证：cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B.证明左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，所以等式成立.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN).2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：1cos 22cos2；cos2；1cos 22sin2；sin2.