1、2.1.4数乘向量学习目标1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算.知识点一数乘向量的定义(1)定义：实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a的长|a|a|.a(a0)的方向当0或a0时，0a0或00.(2)a中的实数，叫做向量a的系数.数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.知识点二向量数乘的运算律向量数乘运算律(1)(a)()a.(2)()aaa.(3)(ab)ab.知识点三向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算.题型一数乘向量概念的理解例1已知a，b是
2、两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)2a的方向与5a的方向相反，且2a的模是5a的模的；(3)2a与2a是一对相反向量；(4)ab与(ba)是一对相反向量.解(1)正确.20，2a与a同向，且|2a|2|a|.(2)正确.50，5a与a同向，且|5a|5|a|.20时，a与a同向，模是|a|的倍；当0时，a与a反向，模是|a|的倍；当0时，a0.跟踪训练1设a是非零向量，是非零实数，则下列结论正确的是()A.a与a的方向相反 B.|a|a|C.a与2a的方向相同 D.|a|a答案C解析当0时，a与a方向相同，故A错；当
3、|1时，|a|a|，故B错；|a|a|，故D错；0，20，a与2a的方向相同，故选C.题型二向量的线性运算例2(1)化简：2(2a4b)4(5a2b).解2(2a4b)4(5a2b)(4a8b20a8b)(16a16b)4a4b.(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.解因为由32，得x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，即y4a3b.所以x3a2b，y4a3b.反思感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在实数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”
4、、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练2(1)计算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.(2)若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.答案abc解析因为2(cb3y)b0，3yabc0，所以yabc.题型三用已知向量表示其他向量例3在ABC中，若点D满足2，则等于()A. B.C. D.答案D解析示意图如图所示，由题意可得().反思感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放
5、在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练3如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.解3a，2b，2b3a.又D，E为边AB的两个三等分点，ba，3aba2ab，3a3a(2b3a)ab.1.已知a5e，b3e，c4e，则2a3bc等于()A.5e B.5e C.23e D.23e答案C解析2a3bc25e3(3e)4e23e.2.在ABC中，M是BC的中点，则等于()A. B. C.2 D.答案C解析如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，由题意知，2，故选C.3.若3x2(xa)0，则向量x等于()A.2a B.2a C.a D.a答案B4.如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A. B.C. D.答案B解析.5.如图所示，已知，用，表示.解().1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如a，a是没有意义的.2.a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍.