1、1.3.3已知三角函数值求角学习目标1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角.知识点一已知正弦值，求角一般地，对于正弦函数ysin x，如果已知函数值y(y1,1)，那么在上有唯一的x值和它对应，记为xarcsin y，即arcsin y(|y|1)表示上正弦等于y的那个角.知识点二已知余弦值，求角一般地，对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1,1，那么在0，上有唯一的x值和它对应，记作xarccos y(1y1,0x).知识点三已知正切值，求角一般地，如果正切函数ytan x(yR)且
2、x，那么对每一个正切值，在开区间内有且只有一个角x，使tan xy，记作xarctan y.题型一已知正弦值，求角例1已知sin，求x.解设xt，则有sin t.当t时，tarcsin，又sin t，所以t是第三、四象限角，且t1arcsin是第四象限角.又sinsin，且arcsin是第三象限角，所以t2arcsin.由正弦函数周期性可知t2kt1或t2kt2(kZ)时，sin x.所以t2karcsin(kZ)，或t2karcsin(kZ).因此x的集合为，.反思感悟方程ysin xa，|a|1的解集可写为x|x2karcsin a，或(2k1)arcsin a，kZ，也可化简为x|xk(
3、1)karcsin a，kZ.跟踪训练1已知sin x.(1)当x时，求x的取值集合；(2)当x0,2时，求x的取值集合；(3)当xR时，求x的取值集合.解(1)ysin x在上是增函数，且sin .满足条件的角只有x.x的取值集合为.(2)sin x0，x为第一或第二象限角且sin sin.在0,2上符合条件的角x或x.x的取值集合为.(3)当xR时，x的取值集合为.题型二已知余弦值，求角例2已知cos x.(1)当x0，时，求x；(2)当x0,2时，求x；(3)当xR时，求x的取值集合.解(1)cos x，且x0，xarccosarccos .(2)x0,2且cos x0.x为第二象限角或
4、第三象限角.xarccos 或arccos .(3)当xR时，x与arccos 终边相同或者与arccos 终边相同.x2karccos 或x2karccos (kZ).x的取值集合是.反思感悟方程cos xa，|a|1的解集可写成x|x2karccos a，kZ.跟踪训练2若cos 2x，其中x，则x的值为()A. B. C. D.答案B解析x，x.题型三已知正切值，求角例3(1)已知tan 2，且，求；(2)已知tan 2，且0,2，求；(3)已知tan 2，R，求.解(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan 2的角只有一个，故arctan(2).(2)tan 20，是第二或
5、第四象限角.又0,2，由正切函数在区间，上是增函数，知符合tan 2的角有两个，tan()tan(2)tan 2且arctan(2).arctan(2)或2arctan(2).(3)R，则karctan(2)(kZ).反思感悟方程tan xa，aR的解集为x|xkarctan a，kZ.跟踪训练3已知tan x1，求x，并写出在区间2，0内满足条件的x.解因为tan x1，所以满足条件的x的解集为x|xkarctan(1)，kZ，在xk中，令k0或1，得x或x，即在2，0内正切值为1的角x有2个：与.1.若sin x，x，则x等于()A.arcsin B.arcsin C.arcsin D.a
6、rcsin 答案B2.若cos x，x，则x .答案arccos 3.arcsin(1)arctan .答案解析arcsin(1)arctan .4.sin .答案解析arccos ，sinsin .5.直线2xy10的倾斜角是 .(用反正切表示)答案arctan(2)解析2xy10，y2x1.设直线y2x1的倾斜角为，则tan 2，为钝角，.arctan(2)，arctan(2).1.理解符号arcsin x、arccos x、arctan x的含义每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x为例来说明.(1)arcsin x表示一个角；(2)这个角的范围是；(3)这个角的正弦值是x，所以|x|1.例如：arcsin 2，arcsin都是无意义的.2.已知三角函数值求角的大致步骤(1)由三角函数值的符号确定角的象限；(2)求出0,2)上的角；(3)根据终边相同的角写出所有的角.