1、2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理(1)平面向量基本定理如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.(2)基底把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2.a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式.知识点二直线的向量参数方程式(1)直线的向量参数方程式
2、已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式(1t)t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应.向量等式(1t)t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数.(2)线段中点的向量表达式在向量等式(1t)t中，若t，则点P是AB的中点，且()，这是线段AB的中点的向量表达式.1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.()提示只有不共线的两个向量才可以作为基底.2.零向量可以作为基向量.()提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量.3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()提示基
3、底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量.()题型一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使得e1e20，则0.A. B. C. D.答案B解析由平面向量基本定理可知，正确；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意
4、一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个，故选B.反思感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1e2，e2e1 B.2e1e2，e1e2C.2e23e1，6e14e2 D.e1e2，e1e2答案D解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2e1)，则e1e2，e2e1为共线向量；选项B中，2e1e22，为共线向量；选项C中，6e14e22(
5、2e23e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.题型二平面向量基本定理的应用例2如图所示，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a，b，试以a，b为基底表示，.解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，2，2，b，a.babab，ba.引申探究若本例中其他条件不变，设a，b，试以a，b为基底表示，.解取CF的中点G，连接EG.E，G分别为BC，CF的中点，b，ab.又，ab.又，bab.反思感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，
6、利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2如图所示，在AOB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与相交于点P，用基底a，b表示.解，.设m，n，则mm()am(1m)amb，nn()bn(1n)bna.a，b不共线，即ab.平面向量基本定理的应用典例如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若m2m，则_.答案解析与共线，存在实数，使m2m.，m2m(m1)2m().与不共线，解得.素养评析(1)利用平面向量基本定理解决问题时，要抓住用基底表示向量时系数1，2的唯一性.(2)本题主要考查利用平面向量基本定理，建立方程运算求出未知向量，体现了数学运算的核
7、心素养.1.下列关于基底的说法正确的是()平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；基底中的向量可以是零向量；平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A. B. C. D.答案C解析零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确.2.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于()A.abB.abC.abD.ab答案B解析()ab.3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e1(3x4y)e26e13e2，则x_，y_.答案1512解析向量e1，e2不共线，解得4.设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若1
8、2(1，2为实数)，则12的值为_.考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案解析()，又与不共线，1，2，12.5.已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试用a，b为基底表示，.解如图，连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DCFB，且DCFB，四边形DCBF为平行四边形.依题意，b，ab，bba.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.