1、2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算学习目标1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.知识点一平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0.由数乘向量的定义可知，a|a|a0或a0.知识点二轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标名称定义轴规定了方向和长度单位的直线叫做轴轴的基向量取单位向量，使其方向与轴同方
2、向，则该单位向量为轴的基向量a在轴l上的坐标如果axe，则x叫做向量a在轴l上的坐标(或数量)(2)轴上向量的坐标运算法则(或公式)文字语言符号语言轴上两个向量相等的法则轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等设ax1e，bx2e，则abx1x2轴上求两个向量的和的法则轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e轴上向量的坐标公式轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标ABx2x1，|AB|x2x1|1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.()提示由向量共线定理可知其正确.3.若a0
3、，则a0.()提示若a0，则a0或0.题型一轴上向量的坐标运算例1已知A，B，C为数轴上三点，且xA2，xB6，试求符合下列条件的点C的坐标.(1)AC10；(2)|10；(3)|3|.解(1)AC10，xCxA10，xCxA108.(2)|10，AC10或AC10，当AC10时，xCxA10，xCxA108；当AC10时，xCxA10，xCxA1012.(3)|3|，3或3.当3时，xCxA3(xCxB)，xC(3xBxA)10；当3时，xCxA3(xCxB)，xC(3xBxA)4.反思感悟轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量
4、的坐标；(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度.跟踪训练1已知数轴上A，B两点的坐标x1，x2，根据下列各题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x23，AB5；(2)x25，|AB|2.解(1)ABx2x15，x1x252.(2)|AB|x2x1|2，x2x12或2.x1x2(2)3或x1x227.题型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量e1，e2不共线.(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线.解b6a，a与b共线.(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线.证明e1e2，2e18e
5、23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.反思感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用平行向量基本定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点.跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_.答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.命题角度2利用向量共线求参数值例3
6、已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值.解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.又e1与e2不共线，k1.反思感悟利用平行向量基本定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练3已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，则xy_.答案1解析由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由平行向量基本定理可知，一定存在实数使得，即()，(1).x1，y，xy1.向量共线的判定与应用典例如图，设O是ABC内一点，且满足230，则ABC与AOC的面积之比为
7、_.答案3解析如图所示，分别取BC，AC边的中点D，E，则2，2，由2可得232(2).又因为230，所以20，即2，所以，共线，且|2|.所以SAOC2SCOE2SCDE2SABCSABC，所以3.素养评析本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1.已知数轴上两点A，B的坐标分别是4，1，则AB与|分别是()A.3,3 B.3,3 C.3，3 D.6,6答案B解析AB1(4)3，|3|3.2.数轴上三点A，B，C的坐标分别为1,2,5，则()A.AB3 B.BC3 C.6 D.3答案B3.设e1，e2是两个不共线
8、的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则()A.k0 B.k1 C.k2 D.k答案D解析当k时，me1e2，n2e1e2.所以n2m，此时，m，n共线.4.已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且，则()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上答案D解析，2，P在AC边上.5.已知e1，e2是不共线的向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？解若a与b共线，则存在R，使ab，即3e14e2(6e18e2)，所以(36)e1(48)e20.因为e1与e2不共线，所以所以不存在，所以a与b不共线.1.平行向量基本定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题.2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.