1、23.2向量数量积的运算律学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abbaabba正确结合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)错误分配律(ab)cacbc(ab)cacbc正确消去律abbc(b0)acabbc(b0)ac错误知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22
2、abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(abc)2a2b2c22ab2bc2ca梳理与多项式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“”1向量的数量积运算满足(ab)ca(bc)()2已知a0，且acab，则bc.()3(ab)ab.()类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论：若a0，ab0，则b0；若abbc，则ac；(ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0，其中正确结论的序号是_答案解析因为当两个非零向量a，b垂直时，ab0，故不正确；当a0，bc时，abbc
3、0，但不能得出ac，故不正确；向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确；ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确反思与感悟向量的数量积ab与实数a，b的乘积ab有联系，同时有许多不同之处例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律跟踪训练1设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：(ab)c(ca)b0；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的是_(填序号)答案解析(ab)c表示与向量c共线的向量，(ca)b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以错误；由(bc)a(ca
4、)bc0知，(bc)a(ca)b与c垂直，故错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以正确类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1已知向量垂直求参数值例2已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，且bc，则t_.答案2解析由题意，将bcbta(1t)b0整理，得tab(1t)0，又ab，所以t2.反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：abab0.跟踪训练2已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数解由已知得ab32cos 603.若cd，则cd0，cd(3a5b)(ma
5、3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即当m时，c与d垂直命题角度2由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角， 则k的取值范围为_答案(0,1)(1，)解析e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.反思与感悟由两向量夹角的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a，b，ab0，ab0.跟踪训练3设两个
6、向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解设向量2te17e2与e1te2的夹角为.根据题意，得cos 0，(2te17e2)(e1te2)0.化简，得2t215t70，解得7t.当时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角设2te17e2(e1te2)，0，则实数t的取值范围是.1下面给出的关系式中正确的个数是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4答案C解析正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2，故选
7、C.2已知|a|1，|b|，且(ab)与a垂直，则a与b的夹角是()A60 B30 C135 D45答案C解析(ab)aa2ab0，aba21，cosa，b.a，b135.3已知平面向量a，b满足|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，若(amb)a，则实数m的值为()A1 B0 C2 D3答案D解析由题意得(amb)a0，a2mab，m3，故选D.4已知正三角形ABC的边长为1，设c，a，b，那么abbcca的值是()A. B. C D答案C解析abc0，(abc)20，即|a|2|b|2|c|22(abbcca)0，32(abbcca)0，abbcca.5已知|a|2，|b|1，(2a3b
8、)(2ab)9.(1)求a与b之间的夹角；(2)求向量a在ab上的正射影的数量解(1)(2a3b)(2ab)4a24ab3b29，即164ab39，ab1，cos .又0，.(2)|ab|2a22abb27，即|ab|.设a与ab的夹角为，则向量a在ab上的正射影的数量为|a|cos |a|.1数量积对结合律不一定成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等2在实数中，若ab0，则a0或b0，但是在数量积中，即使ab0，也不能推出a0或b0，因为其中cos 有可能为0.3在实数中，若abbc，b0，则ac，在向量中，abbc，b0ac.