1、2020年江苏省无锡市中考数学模拟试卷四一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1方程x24x的根是（）Ax4Bx0Cx10，x24Dx10，x242若，则的值是（）ABCD3如果O的半径是4，线段OP的长为3，则点P（）A在O上B在O内C在O外D在O上或O内4如图，A，B，C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（）A2BCD65以2和4为根的一元二次方程是（）Ax2+6x+80Bx26x+80Cx2+6x80Dx26x806如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA5，则PCD的周长为（）A5B7C8D107若
2、ABCDEF，且ABC与DEF的面积比是，则ABC与DEF对应中线的比为（）ABCD8如图，O中，弦AB、CD相交于点P，若A30，APD70，则B等于（）A30B35C40D509如图，抛物线yax2+bx+c交x轴于（1，0）、（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（）A图象的对称轴是直线x1B当x1时，y随x的增大而减小C一元二次方程ax2+bx+c0的两个根是1和3D当1x3时，y010如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中ACB90连接CD，当CD的长度最大时，此时CAB的大小是（）A75B45C30D15二填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11若
3、关于x的方程是一元二次方程，则a的值是 12已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为 13如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 S2（填“”“”或“”）14已知关于x的函数y（m1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m 15如图，AB是O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE2，则图中阴影部分的面积为 16如图，已知A（3，0），B（2，3），将OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到OAB，则顶点B的对应点B的坐标为 17边长为4的正六边形内接于
4、M，则M的半径是 18如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当ODAD3时，这两个二次函数的最大值之和等于 三解答题（共10小题，满分84分）19（8分）解方程（1）（2x+3）2810；（2）y27y+6020（8分）已知一元二次方程x24x+k0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k0与x2+mx10有一个相同的根，求此时m的值21（6分）已知ABC，（1）用无刻度
5、的直尺和圆规作ABD，使ADBACB且ABD的面积为ABC面积的一半，只需要画出一个ABD即可（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2）在ABC中，若ACB45，AB4，则ABC面积的最大值是 22（8分）如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F求证：（1）ADFEDB；（2）CD2DEDF23（6分）数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上（如图所示）同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；在同一时刻测量旗杆影
6、子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度24（8分）如图，四边形ABCD内接于O，BAD90，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且DECBAC，（1）求证：DE是O的切线；（2）当ABAC时，若CE2，EF3，求O的半径25（6分）某农户承包荒山种植某产品种蜜柚已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？26
7、（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/千克）506070销售量y（千克）1008060（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由27（12分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，BAF的平分线交O于点E，交O的切线BC于点C，过点E
8、作EDAF，交AF的延长线于点D（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE3，CE2，求的值；若点G为AE上一点，求OG+EG最小值28（12分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）抛物线yx2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQCP，连接PQ，设CPm，CPQ的面积为S求S关于m的函数表达式；当S最大时，在抛物线yx2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试
9、题解析一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1【分析】原式利用因式分解法求出解即可【解答】解：方程整理得：x（x4）0，可得x0或x40，解得：x10，x24，故选：C【点评】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键2【分析】将原式转化为mn，代入即可求得其值【解答】解：，mn，故选：A【点评】本题考查了比例的性质，属于基础题，相对比较简单3【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断【解答】解：O的半径是4，线段OP的长为3，即点P到圆心的距离小于圆的半径，点P在O内故选：B【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：点
10、P在圆外dr；点P在圆上dr；点P在圆内dr4【分析】根据三角形的内角和是180和扇形的面积公式进行计算【解答】解：A+B+C180，阴影部分的面积2故选：A【点评】考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可5【分析】根据已知两根确定出所求方程即可【解答】解：以2和4为根的一元二次方程是x26x+80，故选：B【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键6【分析】由切线长定理可得PAPB，CACE，DEDB，由于PCD的周长PC+CE+ED+PD，所以PCD的周PC+CA+BD+PDPA+PB2PA，故可求
11、得三角形的周长【解答】解：PA、PB为圆的两条相交切线，PAPB，同理可得：CACE，DEDBPCD的周长PC+CE+ED+PD，PCD的周长PC+CA+BD+PDPA+PB2PA，PCD的周长10，故选：D【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用7【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可【解答】解：ABCDEF，ABC与DEF的面积比是，ABC与DEF的相似比为，ABC与DEF对应中线的比为，故选：D【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应
12、中线的比、对应角平分线的比都等于相似比8【分析】欲求B的度数，需求出同弧所对的圆周角C的度数；APC中，已知了A及外角APD的度数，即可由三角形的外角性质求出C的度数，由此得解【解答】解：APD是APC的外角，APDC+A；A30，APD70，CAPDA40；BC40；故选：C【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质熟练掌握定理及性质是解题的关键9【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点问题，以及二次函数与一元二次不等式的关系对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、对称轴为直线x1，正确，故本选项错误；B、当x1时，y随x的增大而减小，正确，故本选
13、项错误；C、一元二次方程ax2+bx+c0的两个根是1和3正确，故本选项错误；D、应为当1x3时，y0，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键10【分析】利用圆周角定理结合点到直线的距离得出C在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，进而得出答案【解答】解：如图所示：AB长一定，只有C点距离AB距离最大，则CD的长度最大，只有C点在C位置，即C在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，故此时ACBC，CAB的大小是45故选：B【点评】此题主要考查了圆周角定理以及点到直线的距离，得出C点位置是解题关键二填空题（共8小题，满分
14、16分，每小题2分）11【分析】根据一元二次方程的一般形式即可求解【解答】解：根据题意得：，解得：a1故答案是：1【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c0（且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点12【分析】由四条线段a，2，6，a+1成比例，根据成比例线段的定义解答即可【解答】解：四条线段a，2，6，a+1成比例，解得：a13，a24（舍去），所以a3，故答案为：3【点评】此题考查了成比例线段的定义此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义13【分析】根据黄金分割的定义得到PA2P
15、BAB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1PA2，S2PBAB，即可得到S1S2【解答】解：P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，PA2PBAB，又S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，S1PA2，S2PBAB，S1S2故答案为：【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点14【分析】分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m的值【解答】解：（1）当m10时
16、，m1，函数为一次函数，解析式为y2x+1，与x轴交点坐标为（，0）；与y轴交点坐标（0，1）符合题意（2）当m10时，m1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，于是44（m1）m0，解得，（m）2，解得m或m将（0，0）代入解析式得，m0，符合题意（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，这时：44（m1）m0，解得：m故答案为：1或0或【点评】此题考查了一次函数和二次函数的性质，解题时必须分两种情况讨论，不可盲目求解15【分析】连接DE、OE、OD，可得OAE、ODE、OBD、CDE都是等边三角形，由此可求出扇形O
17、BE的圆心角的度数和圆的半径长；由于AOEBOD，则ABDE，SODESBDE；根据阴影部分的面积S扇形OAESOAE+S扇形ODE求解即可【解答】解：连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，AOEEODDOB60OAOEODOBOAE、ODE、OBD、CDE都是等边三角形，ABDE，SODESBDE；图中阴影部分的面积S扇形OAESOAE+S扇形ODE222故答案为【点评】本题考查了扇形面积公式的运用关键是将阴影部分面积转化为规则图形的面积的和或差16【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k进行解答【解答】解：以原点O为位似中心，相似比
18、为2：1，将OAB放大为OAB，B（2，3），则顶点B的对应点B的坐标为（4，6）或（4，6），故答案为（4，6）或（4，6）【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k17【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解【解答】解：正六边形的中心角为360660，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，边长为4的正六边形外接圆半径是4故答案为4【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形18【分析】过B作
19、BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BFDECM，求出AEOE2，DE，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OFPFx，推出OBFODE，ACMADE，得出，代入求出BF和CM，相加即可求出答案【解答】解：过B作BFOA于F，过D作DEOA于E，过C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM，ODAD3，DEOA，OEEAOA2，由勾股定理得：DE，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OFPFx，BFDECM，OBFODE，ACMADE，AMPM（OAOP）（42x）2x，即，解得：BFx，CMx，BF+C
20、M故答案为：【点评】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题三解答题（共10小题，满分84分）19【分析】（1）先变形为（2x+3）281，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程【解答】解：（1）（2x+3）281，2x+39，所以x13，x26；（2）（y1）（y6）0，y10或y60，所以y11，y26【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这
21、样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了直接开平方法解一元二次方程20【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；（2）根据解方程，可得x24x+k0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案【解答】解：由一元二次方程x24x+k0有两个不相等的实数根，得b24ac（4）24k0，解得k4；（2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k0，得x24x+30，解得x11，x23，一元二次方程x24x+k0与x2+mx10有一个相同的根，当x1时，把
22、x1代入x2+mx10，得1+m10，解得m0，当x3时，把x3代入x2+mx10，得9+3m10，解得m，综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k0与x2+mx10有一个相同的根，【点评】本题考查了根的判别式，利用了根的判别式，同解方程21【分析】（1）先作出ABC的外接圆，再作AB边上的高，继而作出此高的中垂线，与外接圆的交点即为所求；（2）作以AB为弦且AB所对圆心角为90的O，则垂直于弦AB的直径与优弧的交点即为使三角形面积最大的点C，根据作图得出AB边上的高可得答案【解答】解：（1）如图1所示，ABD即为所求（2）如图2所示，作以AB为弦，且AB所对圆心角为9
23、0的O，C点轨迹为圆上不与AB重合的任一点，当C在C位置上时，高最长，故面积最大，AB4，APBPOP2，则OCOA2，PC2+2，ABC的面积为ABPC4（2+2）4+4，故答案为：4+4【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键判断出点C是以AB为弦的圆上、圆的确定及线段的中垂线的尺规作图等知识点22【分析】（1）根据题意可得B+A90，A+F90，则BF，从而得出ADFEDB；（2）由（1）得BF，再CD是RtABC斜边AB上的中线，得出CDDB，根据等边对等角得DCEF，则可证明CDEFDC，从而得出，化为乘积式即可CD2DFDE【解答】证明：（1）在RtABC中，B+A90DFAB
24、BDEADF90A+F90，BF，ADFEDB；（2）由（1）可知ADFEDBBF，CD是RtABC斜边AB上的中线CDADDB，DCEB，DCEF，CDEFDC，CD2DFDE【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半23【分析】作DHAB于H，如图，利用四边形BCDH为矩形得到BHCD2，DHBC9，再根据在同一时刻物高与影长的比相等，则可计算出AH，然后计算AH+BH即可得到旗杆的高度【解答】解：作DHAB于H，如图，易得四边形BCDH为矩形，BHCD2，DHBC9，小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米，AH5.94，ABAH+BH5.94+
25、27.94答：旗杆的高度为7.94m【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决24【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BDDE，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到FEDF，根据等腰三角形的性质得到DEEF3，根据勾股定理得到CD，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）如图，连接BD，BAD90，点O必在BD上，即：BD是直径，BCD90，DEC+CDE90，DECBAC，BAC+CDE90，BACBDC，BDC+CDE90，BDE90，
26、即：BDDE，点D在O上，DE是O的切线；（2）BAFBDE90，F+ABCFDE+ADB90，ABAC，ABCACB，ADBACB，FEDF，DEEF3，CE2，BCD90，DCE90，CD，BDE90，CDBE，CDECBD，BD，O的半径【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC8是解本题的关键25【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，利用待定系数法求出y与x的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出x的取值范围；（2）设每天获得的利润为w元，根据销售利润每千克的利润销售数量，即可得出w与x的函数关系式，再利用二次
27、函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为ykx+b，将点（10，200），（15，150）代入ykx+b，得：，解得：，y10x+300当y0时，10x+3000，解得：x30y与x的函数关系式为y10x+300（8x30）（2）设每天获得的利润为w元，根据题意得：wy（x8）（10x+300）（x8）10x2+380x240010（x19）2+1210a100，当x19时，w取最大值，最大值为1210答：当蜜柚定价为19元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润是1210元【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，解题
28、的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题26【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况（3）求得W1350时x的值，再根据二次函数的性质求得W1350时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案【解答】解：（1）设ykx+b，将（50，100）、（60，80）代入，得：，解得：，y2x+200 （40x80）；（2）W（x40）（2x+200）2x2+280x80002（x70）2+1800，当x70时，W取得最大值为1800，答：售价
29、为70元时获得最大利润，最大利润是1800元（3）当W1350时，得：2x2+280x80001350，解得：x55或x85，该抛物线的开口向下，所以当55x85时，W1350，又每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40x80，该商品每千克售价的取值范围是55x80【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质27【分析】（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OEDE（2）观察DE所在的ADE与CE所在的BCE的关系，由等角的余角相等易证ADEBEC，即得的值先利用的值和相似求出圆的直径，发现BAC3
30、0；利用30所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30的直角三角形，把EG转化到EP，再从P出发构造PQOG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型【解答】（1）证明：连接OEOAOEOAEOEAAE平分BAFOAEEAFOEAEAFOEADEDAFD90OED180D90OEDEDE是O的切线（2）解：连接BEAB是O直径AEB90BEDD90，BAE+ABE90BC是O的切线ABCABE+CBE90BAECBEDAEBAEDAECBEADEBECDE3，CE2过点E作EHAB于H，过点G作GPAB交EH于P，过点P作PQOG交AB于QEPPG，四边形OGPQ是平行四边形EPG9
31、0，PQOG设BC2x，AE3xACAE+CE3x+2BECABC90，CCBECABCBC2ACCE 即（2x）22（3x+2）解得：x12，x2（舍去）BC4，AE6，AC8sinBAC，BAC30EGPBAC30PEEGOG+EGPQ+PE当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PEEH最短EHAE3OG+EG的最小值为3【点评】本题考查了等腰三角形和平行线性质，切线的判定和性质，相似的判定和性质，最短路径问题第（1）题为常规题型较简单；第（2）题关键是发现DE、CE所在三角形的相似关系；是求出所有线段长后发现30角，利用30构造，考查了转化思想28【分析】（1）将A、C两点坐
32、标代入抛物线yx2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；（2）先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得，解得：，抛物线的解析式为yx2+x+8；（2）OA8，OC6，AC10，过点Q作QEBC与E点，则sinACB，QE（10m），SCPQEm（10m）m2+3m；SCPQEm（10m）m2+3m（m5）2+，当m5时，S取最大值；在抛物线对称轴l上存在点F，使FDQ为直角三角形，抛物线的解析式为yx2+x+8的对称轴为x，D的坐标为（3，8），Q（3，4），当FDQ90时，F1（，8），当FQD90时，则F2（，4），当DFQ90时，设F（，n），则FD2+FQ2DQ2，即+（8n）2+（n4）216，解得：n6，F3（，6+），F4（，6），满足条件的点F共有四个，坐标分别为F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6）【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题