1、1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论基础过关1.已知点A,直线a,平面,以下命题表述正确的个数是()Aa,aA;Aa,aA;Aa,aA;Aa,aA.A.0B.1C.2D.3答案A解析不正确,如aA;不正确,“a”表述错误;不正确,如图所示,Aa,a,但A;不正确,“A”表述错误.2.在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A解析A.不是公理,是个常用
2、的结论,需经过推理论证;B.是平面的基本性质2;C.是平面的基本性质1;D.是平面的基本性质3.3.已知、为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是()A.Aa,A,Ba,BaB.M,M,N,NMNC.A,AAD.A、B、M,A、B、M,且A、B、M不共线、重合答案C解析A,A,A.由基本性质可知为经过A的一条直线而不是A.故A的写法错误.4.空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线答案B解析如图(1)(2)所示,A、C、D均不正确,只有B正确,如图(1)中A、B、D不共线.5.设平面与平面相交于l
3、,直线a,直线b,abM,则M_l.答案解析因为abM,a,b,所以M,M.又因为l,所以Ml.6.平面平面l,点M,N,点P,且Pl,又MNlR,过M,N,P三点所确定的平面记为,则_.答案直线PR解析如图,MN,RMN,R.又Rl,l,R.又P,P,PR.7.已知ABC在平面外,直线ABP,直线ACR,直线BCQ,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.证明直线ABP,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.则由基本性质3可知,点P在平面ABC与平面的交线上.同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上.故P,Q,R三点共线于平面ABC与平面的交线.能力提升8.如图所示,在正方体ABCD
4、-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面答案D解析在题图中,连接A1C1,AC,则ACBDO,A1C平面C1BDM.三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,选项A,B,C均正确,D不正确.9.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2对B.3对C.6对D.12对答案C解析如图所示,在长方体AC1中,与对角线AC1成异面直线位置关系的是:A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、
5、DC,所以组成6对异面直线.10.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D解析构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1.当取l4为B1C1时,l1l4,当取l4为BB1时,l1l4,故排除A、B、C,选D.11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为A1A的中点,求证:(1)E,F,D1,C四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.证明(1)分别连接EF,A
6、1B,D1C.E,F分别是AB和AA1的中点,EF綉A1B.又A1D1綉B1C1綉BC,四边形A1D1CB为平行四边形.A1BCD1,EFCD1.EF与CD1确定一个平面,E,F,D1,C四点共面.(2)EF綉CD1,直线D1F和CE必相交.设D1FCEP,如图.D1F平面AA1D1D,PD1F,P平面AA1D1D.又CE平面ABCD,PEC,P平面ABCD.P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.又平面ABCD平面AA1D1DAD,PAD,CE,D1F,DA三线共点.创新突破12.如图,直角梯形ABDC中,ABCD,ABCD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC
7、的交线.解很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.由于ABCD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,EAC,AC平面SAC,E平面SAC.同理,可证E平面SBD.点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.13.在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是AA1、D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出交线l;(2)设lA1B1P,求PB1的长;(3)求点D1到l的距离.解(1)如图,延长DM交D1A1的延长线于点Q,则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN,则直线QN就是两平面的交线l. (2)M是AA1的中点,MA1DD1,A1是QD1的中点.又A1PD1N,A1PD1N.N是D1C1的中点,A1PD1C1,PB1A1B1A1Pa.(3)过点D1作D1HPN于点H,则D1H的长就是点D1到l的距离.QD12A1D12a,D1N,D1Ha.即点D1到l的距离是a.