1、2.1.2平面直角坐标系中的基本公式基础过关1.若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5,3)到原点的距离相等.则点M的坐标为()A.(2,0) B.(1,0)C.D.(,0)答案D解析设M(x,0) (x0),则由已知x2523234,而x0,x,M(,0).2.已知ABC的顶点A(2,3),B(1,0),C(2,0),则ABC的周长是()A.2B.32C.63D.6答案C解析由题意知|AB|3,|AC|3,|BC|3.|AB|AC|BC|63.3.已知A(3,1),B(2,4),C(1,5),且点A关于点B的对称点为D,则|CD|等于()A.2B.4C.D.答案A解析由题意知,设D(x,y),
2、D(1,7).|CD|2,故选A.4.已知ABC的三个顶点A(1,0),B(1,0)和C,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.斜三角形答案C解析d(A,B)2.d(B,C)1.d(A,C),则|AC|2|BC|2|AB|2,ABC为直角三角形.5.与两点A(2,2),B(2,4)等距离,且在坐标轴上的点的坐标是_.答案和(0,3)6.已知A(1,2),B(3,b)两点的距离等于4,则b_.答案6或2解析由两点间距离公式4,得b6或b2.7.已知四边形ABCD的顶点A(4,3),B(2,5),C(6,3),D(3,0),E、F分别为边AB、BC的中点,求CE、DE、
3、AF、DF的长度.解设线段AB的中点为E(x,y),则x1,y4,则d(E,C)5,d(E,D)2.即CE,DE的长度分别为5,2；设线段BC的中点为F(m,n),则m4,n4,则d(F,A),d(F,D).即AF,DF的长度都为.二、能力提升8.已知点A(1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,ACB90,则满足条件的点C的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析若点C在x轴上,设C(x,0),由ACB90,得|AB|2|AC|2|BC|2(13)2(31)2(x1)232(x3)212,解得x0或x2.若点C在y轴上,设C(0,y),由|AB|2|AC|2|BC|2,可得y0或y4.所
4、得点C共有3个.9.已知A(5,2a1),B(a1,a4),当|AB|取最小值时,实数a的值是()A.B.C.D.答案C解析|AB|,a时,|AB|最小.10.已知ABCD的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则顶点D的坐标为_.答案(x1x3x2,y1y3y2)解析先求出AC的中点坐标,然后再由中点坐标公式求D点坐标.11.已知A(7,0),B(3,2),C(1,6).(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的外心的坐标.解(1)因为|AB|,|BC|,|AC|,所以|AB|2|BC|2|AC|2.所以ABC是以B为直角的直角三角形.(2)因为ABC为直角三角形,所以
5、其外心为斜边AC的中点,其坐标为,即(3,3).三、探究与创新12.已知AO是ABC中BC边的中线,证明：|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2).证明取BC边所在直线为x轴,边BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.设B(a,0),C(a,0),A(m,n)(其中a0),则|AB|2|AC|2(ma)2n2(ma)2n22(m2a2n2)|AO|2|OC|2m2n2a2|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2).13.求函数y的最小值.解原函数化为y,设A(0,2),B(1,1),P(x,0),借助于几何图形可知它表示x轴上的点P到两个定点A、B的距离的和,当A、P、B三点共线时,函数取得最小值.ymin|AB|.