1、2.3.2圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程知识点圆的一般方程1圆的一般方程当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0称为圆的一般方程2方程x2y2DxEyF0表示的图形条件图形D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆思考方程x2y22x4y10，x2y22x4y60分别表示什么图形？答案对方程x2y22x4y10配方，得(x1)2(y2)24，表示以(1，2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2y22x4y60配方，得(x1)2(y2)21，不表
2、示任何图形1圆的一般方程可以化为圆的标准方程()2二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程()3若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.()4任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程()题型一圆的一般方程的概念例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径解由表示圆的条件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解跟踪训练1(1)若方程x2y2xym0表示圆，则实数
3、m的取值范围是()AmCm0，所以m.(2)圆x2y24x2y40的半径和圆心坐标分别为()Ar1，(2,1) Br2，(2,1)Cr2，(2，1) Dr1，(2，1)考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案D解析x2y24x2y40可化为(x2)2(y1)21，所以半径和圆心分别为r1，(2，1)题型二求圆的一般方程例2已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)(1)求ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在ABC的外接圆上，求a的值解(1)设ABC外接圆的一般方程为x2y2DxEyF0，由题意，得解得即ABC的外接圆的一般方程为x2y28x2y120.(2)由(1)
4、知，ABC的外接圆的方程为x2y28x2y120，点M(a,2)在ABC的外接圆上，a2228a22120，即a28a120，解得a2或a6.引申探究若本例中将“点C(3，1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线yx对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？解kAB，AB的中点坐标为，AB的垂直平分线方程为y3.联立方程得即圆心C的坐标为，r ，圆C的方程为22.反思感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用
5、待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程解方法一(待定系数法)设圆的一般方程方程为x2y2DxEyF0，将P，Q点的坐标分别代入上式，得令x0，得y2EyF0，由已知，得|y1y2|4，其中y1，y2是方程的根，|y1y2|2(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.联立，解得或故圆的一般方程为x2y22x120或x2y210x8y40.方法二(几何法)由题意，得线段PQ的垂直平分线方程为xy10，所求圆的圆心C在直线xy10上，设其坐标为(a，a1)又圆C的半径r|CP|.由已知得圆C截y轴所得的线段长
6、为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，r2a22，代入整理得a26a50，解得a1或a5，r或r.故圆的方程为(x1)2y213或(x5)2(y4)237.求动点的轨迹方程典例已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程考点与圆有关的轨迹问题题点有关点的轨迹的其他问题解(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，又P(x0，y0)在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O
7、为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.素养评析(1)求与圆有关的轨迹问题的方程直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现.1方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()Am2 Bm Cm0，得(1)2124m0，即m.2圆x2y24x6y30的圆心和半径分别为()A(4，6)，16 B(2，3)
8、，4C(2,3)，4 D(2，3)，16考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案C3圆x2y22x6y80的面积为()A8 B4C2 D答案C解析原方程可化为(x1)2(y3)22，半径r，圆的面积为Sr22.4若点M(3,0)是圆x2y28x4y100内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()Axy30Bxy30C2xy60D2xy60答案C解析圆x2y28x4y100的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长由k2可知，C正确5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程解设
9、点B坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4，3，于是有x08x ，y06y.因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标满足方程(x1)2y24，即(x01)2y4，把代入，得(8x1)2(6y)24，整理，得(x9)2(y6)24.所以点B的轨迹方程为(x9)2(y6)24.1判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆此时判断D2E24F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数2待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D，E，F.3求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设动点M的坐标(x，y)(2)列出点M满足条件的集合(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)0.(4)将上述方程化简(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点