1、第2课时两条直线垂直的条件学习目标1.掌握两条直线垂直的条件.2.会利用两条直线的垂直关系，求参数或直线方程.3.能解决一些简单的对称问题知识点两条直线垂直的条件对坐标平面内的任意两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，有l1l2A1A2B1B20.如果B1B20，则l1的斜率k1，l2的斜率k2.又可以得出l1l2k1k21.1如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.()2已知直线l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20，(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()3若点A，B关于直线l：ykxb(k0)
2、对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()题型一两条直线垂直的判定例1判断下列各题中l1与l2是否垂直(1)l1经过点A(3，4)，B(1,3)，l2经过点M(4，3)，N(3，1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)考点两条直线垂直题点两条直线垂直的判定解(1)k1，k2，k1k21，l1与l2不垂直(2)k110，k2，k1k21，l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴；k20，则l2x轴，l1l2.反思感悟(1)若所给的直线方程都是一般式方程，
3、则运用条件：l1l2A1A2B1B20判断(2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1l2k1k21判断(3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断跟踪训练1(1)下列直线中与直线2xy10垂直的是()A2xy10 Bx2y10Cx2y10 Dxy10答案B解析由斜率之积为1，得B正确(2)已知定点A(1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标解设C(x,0)，由题意知CACB，则kCAkCB1，即1，解得x1或x2，C(1,0)或C(2,0)题型二两条直线垂直关系的应用例2(1)与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的
4、斜截式方程是()Ayx4 By2x4Cy2x4 Dyx4(2)直线(2m)xmy30与直线xmy30垂直，则m的值为_答案(1)D(2)2或1解析(1)因为所求直线与y2x1垂直，所以设直线方程为yxb.又因为直线在y轴上的截距为4，所以直线的斜截式方程为yx4.(2)由直线方程可知，当一条直线的斜率不存在时，不存在m使两直线垂直，所以两直线的斜率都存在由k1k21，可得1，解得m2或m1.反思感悟(1)与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0(m为参数)(2)与直线ykxm平行的直线方程可设为ykxb(bm)；与它垂直的直线方程可设为yxn(k0)跟踪训练2求与直线4x3y50垂直
5、，且与两坐标轴围成的AOB的面积为3的直线方程解设与直线4x3y50垂直的直线方程为3x4ym0.令x0，得y，则A；令y0，得x，则B.因为SAOB3，所以|OA|OB|3.所以m272，所以m6.故所求直线方程为3x4y60或3x4y60.题型三对称问题命题角度1中心对称问题例3(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P的坐标；(2)求直线3xy40关于点(2，1)的对称直线l的方程解(1)根据题意可知点A(a，b)为PP的中点，设点P的坐标为(x，y)，则根据中点坐标公式，得所以所以点P的坐标为(2ax0,2by0)(2)方法一设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关
6、于点(2，1)的对称点为M1(4x，2y)，且M1在直线3xy40上，所以3(4x)(2y)40，即3xy100.所以所求直线l的方程为3xy100.方法二在直线3xy40上取两点A(0，4)，B(1，1)，则点A(0，4)关于点(2，1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，1)关于点(2，1)的对称点为B1(3，1)可得直线A1B1的方程为3xy100，即所求直线l的方程为3xy100.反思感悟(1)点关于点的对称问题若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P是线段AB的中点，并且(2)直线关于点的对称问题若两条直线l1，l2关于点P对称，则：l1上任意一点关于
7、点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；若l1l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点跟踪训练3与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()A3x2y20 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80答案D解析由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x3y60平行，则可设所求直线方程为2x3yC0.在直线2x3y60上任取一点(3,0)，关于点(1，1)的对称点为(1，2)，则点(1，2)必在所求直线上，2(1)3(2)C0，解得C8.所求直线方程是2x3y80.命题角度2轴对称问题
8、例4求点P(3,4)关于直线xy20的对称点Q的坐标解设对称点的坐标为(a，b)，由题意，得解得即Q(2,5)反思感悟(1)点关于直线的对称问题求P(x0，y0)关于AxByC0的对称点P(x，y)，利用可以求点P的坐标(2)直线关于直线的对称问题若两条直线l1，l2关于直线l对称，则：l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点跟踪训练4求直线m：2xy40关于直线n：3x4y10对称直线l的方程解方法一设直线l上的动点P(x，y)，直线m上的点Q(
9、x0,42x0)，且P，Q两点关于直线n：3x4y10对称，则有消去x0，得2x11y160.方法二由直线m：2xy40知A(2,0)，B(0,4)为直线m上的点，设A，B关于直线n的对称点为A(a，b)，B(a，b)，则有解得即A.解得即B.kl，所求直线l的方程为y，即2x11y160.垂直与平行的综合应用典例已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5,2)，D(1,2)若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标(A，B，C，D按逆时针方向排列)考点两条直线平行和垂直的综合应用题点已知四边形的形状求点的坐标解若AD90，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1)若AB9
10、0，如图(2)设A(a，b)，则kBC3，kAD，kAB.由ADBC，得kADkBC，即3；由ABBC，得kABkBC1，即(3)1.由得故A.综上所述，A点坐标为(1，1)或.素养评析(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形(3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查.1若直线l1的斜率k1，直线l2经过点A(3a，2)，B(0，a21)，且l1l2，则实数a的
11、值为()A1 B3 C0或1 D1或3答案D解析l1l2，k1k21，即1，解得a1或a3.2直线(m1)xmy10与直线(m1)x(m1)y100垂直，则m的值为()A1 B.C D1或答案D解析由两直线垂直，可得(m1)(m1)m(m1)0，解得m1或.3直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80答案A解析与2x3y40垂直的直线方程是3x2ym0，把(1,2)代入直线方程得m1.l的方程是3x2y10.4已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_答案xy10解析线段PQ的垂直平分线就
12、是直线l，则klkPQkl1，得kl1又PQ的中点坐标为(2,3)，直线l的方程为y3x2，即xy10.5一条光线从点A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(1,6)，则反射光线所在直线的斜率为_答案2解析如图所示，作点A关于x轴的对称点A，所以点A在直线MB上由对称性可知A(3，2)，所以光线MB所在直线的斜率为kAB2.故反射光线所在直线的斜率为2.1判断两直线垂直：(1)如果斜率都存在，只判断k1k21；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；(2)利用A1A2B1B20判断2求点关于直线的对称点：(1)设P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，若点P关于l的对称点为Q(x，y)，则l是PQ的垂直平分线，即PQl；PQ的中点在l上，解方程组可得出点Q的坐标(2)点A(x，y)关于直线xyC0的对称点A的坐标为(yC，xC)，关于直线xyC0的对称点A的坐标为(yC，xC)