1、第2课时直线的两点式和一般式方程学习目标1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法知识点一直线方程的两点式直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b，且a0，b01斜率存在且不为0，不过原点知识点三直线的一般式方程直线的一般式方程形式AxByC0条件A2B20知
2、识点四直线方程五种形式的比较名称已知条件标准方程适用范围点斜式点P1(x1，y1)和斜率kyy1k(xx1)不垂直于x轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb不垂直于x轴的直线两点式点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)不垂直于x，y轴的直线截距式在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零1不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线一般式两个独立的条件AxByC0A，B不全为零1不经过原点的直线都可以用方程1表示()2能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示()3能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示()4当A，B同时为零时，方程AxByC0也可表示为一条直线()5任何一
3、条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化()题型一直线的两点式方程例1在ABC中，已知点A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程解(1)BC边过点B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y100(0x5)(2)设BC的中点为M(a，b)，则a，b3，所以M.又BC边的中线过点A(3,2)，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程是10x11y80.反思感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程在斜率存
4、在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标跟踪训练1过点A(2,1)，B(3，3)的直线方程为()A4x5y130 B4x5y30C5x4y50 D5x4y80考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析因为直线过点(2,1)和(3，3)，所以，所以，化简得4x5y30.题型二直线的截距式方程例2求过点A(5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解方法一(1)当直线l在坐标轴
5、上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0；(2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya.又l过点A(5,2)，52a，解得a3.l的方程为xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.方法二由题意知，直线的斜率一定存在设直线的点斜式方程为y2k(x5)，当x0时，y25k；当y0时，x5.根据题意，得25k.解得k或1.当k时，直线方程y2(x5)，即2x5y0；当k1时，直线方程为y21(x5)，即xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.反思感悟(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可(2)
6、在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直跟踪训练2(1)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()Ayx Bxy5Cyx和xy5 Dyx和xy5考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案C解析设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当ab0时，直线方程为1，1，a5，xy5，当ab0时，k，yx，综上所述，yx和xy5.(2)(2018株州高一检测)已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程解设l：1(a0，b0)，则a24a40，解得a2，所以b4.直
7、线l：1，所以l：2xy40.题型三直线的一般式方程例3根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为2；(3)经过点A(1,5)，B(2，1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为3，1；(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解(1)由点斜式，得直线方程为y3(x5)，即xy530.(2)由斜截式，得直线方程为y4x2，即4xy20.(3)由两点式，得直线方程为，即2xy30.(4)由截距式，得直线方程为1，即x3y30.(5)y20.反思感悟在求直线方程时，设一
8、般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式跟踪训练3根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：(1)斜率是，且经过点A(8，6)；(2)在x轴和y轴上的截距分别是和3；(3)经过点P1(3，2)，P2(5，4)考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解(1)由点斜式，得直线方程为x2y40.(2)由斜截式，得直线方程为2xy30.(3)由两点式，得直线方程为xy10.直线方程的灵活应用典例(2018临沂高一检测)已知ABC的一个顶点是A(3，1)，ABC，ACB的平分线方程分别为x0，yx.(1)求直线BC的方程；(2)求直
9、线AB的方程解如图(1)因为ABC，ACB的平分线分别是x0，yx，所以AB与BC关于x0对称，AC与BC关于yx对称A(3，1)关于x0的对称点A(3，1)在直线BC上，A关于yx的对称点A(1,3)也在直线BC上由两点式求得直线BC的方程为，即2xy5 0.(2)因为直线AB与直线BC关于x0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为2，又因为点A的坐标为(3，1)，所以直线AB的方程为y(1)2(x3)，即2xy50.素养评析(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x0的对称点A在BC上，A关于y
10、x的对称点A也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养(3)分别求出A，A两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养1在x轴，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是()A.1 B.1C.1 D.1考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案A2经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为()Ax2 By2 Cx3 Dx6考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.3在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是()A30 B60 C150 D120考点直线的一般式方程与直线的性质题
11、点由一般式方程求倾斜角和斜率答案C解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.4已知点A(3,2)，B(1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_答案2xy10解析AB的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程，可得，即2xy10.5若直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角是45，求实数m的值解由已知得m3.1求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系2截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直(3)要注意截距式直线方程的逆向应用3(1)直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式一般式化斜截式的步骤移项，ByAxC；当B0时，得yx.(2)在一般式AxByC0(A2B20)中，若A0，则y，它表示一条与y轴垂直的直线；若B0，则x，它表示一条与x轴垂直的直线