1、22.3两条直线的位置关系第1课时两条直线相交、平行与重合的条件学习目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程知识点两条直线相交、平行与重合的条件两条直线相交、平行与重合的判定方法(1)代数法两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的位置关系，可以用方程组的解进行判断(如表所示)：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2A2B10且B1C2B2C10(A2C1A1C20)或(A2B2C20)有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10或(A2B20)有无数个
2、解重合无数个交点A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)(2)几何法设直线l1：yk1xb1；l2：yk2xb2，则：l1与l2相交k1k2；l1l2k1k2且b1b2；l1与l2重合k1k2且b1b2.1若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解()2无论m为何值，xy10与x2my30必相交()3若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交()题型一两条直线位置关系的判定例1判断下列各组中两条直线的位置关系(1)l1：y3x4，l2：2x6y10；(2)l1：2x6y40，l2：y；(3)l1：(1)xy3，l2：x(1)y2；(4)l1：x5，l2：
3、x6.解(1)A13，B11，C14；A22，B26，C21.因为，所以l1与l2相交(2)A12，B16，C14；把l2化为x3y20，所以A21，B23，C22.因为，所以l1与l2重合(3)A11，B11，C13；A21，B21，C22.因为，所以l1与l2平行(4)A11，B10，C15；A21，B20，C26，因为A1B2A2B10，而A2C1A1C20，所以l1与l2平行反思感悟两条直线位置关系的判定方法设两条直线的方程分别为l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)若A1B2A2B10或(A2，B20)，则两直线相交(2)若A1B2A2B10且A1C2A2C10(
4、或B1C2B2C10)；或(A2B2C20)，则两直线平行跟踪训练1已知两直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？解因为直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，所以A11，B1m，C16，A2m2，B23，C22m.(1)若l1与 l2相交，则A1B2A2B10，即13m(m2)0，即m22m30，所以(m3)(m1)0，解得m3且m1.故当m3且m1时，直线l1与l2相交(2)若l1l2，则有即即解得所以m1.故当m1时，直线l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有即解得所以m3.故当m3时，直线l1
5、与l2重合题型二两条直线平行的应用例2(1)求过点A(1，4)且与直线2x3y50平行的直线方程；(2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(2，1)的直线平行的直线方程解(1)方法一已知直线的斜率为，所求直线与已知直线平行，所求直线方程的斜率为.由点斜式，得所求直线的方程为y4(x1)，即2x3y100.方法二设与直线2x3y50平行的直线l的方程为2x3y0(5)l经过点A(1，4)，213(4)0，解得10，所求直线方程为2x3y100.(2)经过点A(0,1)，B(2，1)的直线的斜率为k1.所求直线经过点P(3,2)，所求直线方程为y2x3即xy10.反思感悟(1)求与直线y
6、kxb平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为ykxm(mb)，然后通过待定系数法，求参数m的值(2)求与直线AxByC0平行的直线方程时，可设方程为AxBym0(mC)，代入已知条件求出m即可其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论跟踪训练2若直线l与直线2x3y50平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程解设直线l的方程为2x3yC0，令x0，得y，令y0，得x.由题意，得，解得C1.所以直线的方程为2x3y10.题型三求相交直线的交点坐标例3求经过点(2,3)且经过直线l1：x3y40与l2：5x2y60的交点的直线方程考点题点解联立解得所以直线l1与l2的交点为(2,2
7、)由两点式可得所求直线的方程为，即x4y100.反思感悟求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组跟踪训练3(1)已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点是()A. B.C. D.考点题点答案B(2)经过直线2xy40与xy50的交点，且平行于直线x2y0的直线方程是()Ax2y110 Bx2y110Cx2y110 Dx2y110考点题点答案A1直线Ax4y10与直线3xyC0重合的条件是()AA12，C0BA
8、12，CCA12，CDA12，C答案D解析由l1与l2重合，则，从而A12，C.2直线2xyk0和直线4x2y10的位置关系是()A平行 B不平行C平行或重合 D既不平行也不重合答案C解析当k时，两直线重合，当k时，两直线平行3已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为()A8 B0C2 D10答案A解析由2，得m8(此时A，B不已知直线上)4过点(1，3)且与直线2xy10平行的直线方程为_答案2xy50解析设所求直线方程为2xyC0，将点(1，3)代入方程，2(1)3C0，得C5.直线方程为2xy50.5求斜率为2，且过两条直线3xy40和xy40交点的直线方
9、程考点过两条直线交点的直线方程题点直接求过两直线交点的直线方程解设所求直线方程为3xy4(xy4)0，即(3)x(1)y440，k2，解得5.所求直线方程为2xy40.两条直线相交、平行与重合的条件两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的位置关系，可以用方程组的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2A2B10且B1C2B2C10(A2C1A1C20)或(A2B2C20)有唯一解相交有一个交点A1B2A2B10或(A2B20)有无数个解重合无数个交点A1A2，B1B2，C1C2(0)或(A2B2C20)