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2.4.1 空间直角坐标系 学案(含答案)

1、2.4空间直角坐标系24.1空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标知识点空间直角坐标系1空间直角坐标系(1)定义:为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合这时,我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点(2)坐标平面:每两条坐标轴分别确定的平面yOz,xOz,xOy,叫做坐标平面(3)卦限:三个坐标平

2、面把空间分为八部分,每一部分都称为一个卦限2空间中点的坐标过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴),这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的x坐标过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴),这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴),这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z就叫做点P的z坐标这样,我们对空间中的一个点,定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,记作P(x,y,z)其中x,y,z也可称为点P的坐标分量1空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定

3、是(0,b,c)的形式()2空间直角坐标系中,在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式()3关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变,横坐标相反()4空间直角坐标系中,点(1,2)关于yOz平面的对称点为(1,2)()题型一确定空间中任意一点的坐标例1已知棱长为2的正方体ABCDABCD,建立如图所示不同的空间直角坐标系,试分别写出正方体各顶点的坐标解对于图,因为点D是坐标原点,A,C,D分别在x轴,y轴,z轴的正半轴上又正方体的棱长为2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2)因为点B在xDy平面上,它在x轴,y轴上的投影分别为A,C,所

4、以B(2,2,0)同理,A(2,0,2),C(0,2,2)因为B在xDy平面上的投影是B,在z轴上的投影是D,所以B(2,2,2)对于图,A,B,C,D都在xDy平面的下方,所以其z坐标都为负,A,B,C,D都在xDy平面上,所以其z坐标都为零因为D是坐标原点,A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,D在z轴的负半轴上,且正方体的棱长为2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2)同,得B(2,2,0),A(2,0,2),C(0,2,2),B(2,2,2)反思感悟(1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上(

5、2)对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点坐标的关键跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且|CG|CD|,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E,F,G,H的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上,它的横坐标、纵坐标均为0,而E为DD1的中点,故其坐标为.过F作FMAD,FNDC,由平面几何知识,得|FM|,|FN|,故F点坐标为.点G在y轴上

6、,其x,z坐标均为0,又|DG|,故点G坐标为,过点H作HKCG于K,由于H为C1G的中点,故K为CG的中点,即点H的坐标为.题型二空间中点的位置的确定例2在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6)解方法一第一步:从原点出发沿x轴正方向移动5个单位第二步:沿与y轴平行的方向向右移动4个单位第三步:沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示),即得点P.方法二以O为顶点构造长方体,使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴,y轴,z轴的正半轴上,且棱长分别为5,4,6,则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三

7、次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的位置(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点P.跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 DyOz平面上答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0,此点是xOz平面上的点,故选C.题型三空间点的对称问题例3求点A(1,2,1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标解过点A作AM平面xOy于M,并延长到点C,使|AM|CM|,则点A与点C关于坐标平面xOy对称,且C(1,2,1)过点A作ANx轴交x轴于N,并延长到点B,使|AN|NB|,则A与B关于x轴对称且B(

8、1,2,1),A(1,2,1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1),关于x轴对称的点为B(1,2,1)反思感悟以下几条对称规律要在理解的基础上熟记:(1)点A(x,y,z)关于x轴的对称点为A1(x,y,z),关于y轴的对称点为A2(x,y,z),关于z轴的对称点为A3(x,y,z)(2)点A(x,y,z)关于原点的对称点为A4(x,y,z)(3)点A(x,y,z)关于xOy平面的对称点为A5(x,y,z),关于xOz平面的对称点为A6(x,y,z),关于yOz平面的对称点为A7(x,y,z)关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变,其余的相反”跟踪训练3已知点

9、P(2,3,1),求:(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标;(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标;(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标解(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P,则点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同,而点P在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数所以,点P关于xOy坐标平面的对称点P的坐标为(2,3,1)同理,点P关于yOz,xOz坐标平面的对称点的坐标分别为(2,3,1),(2,3,1)(2)设点P关于x轴的对称点为Q,则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同,而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数所以,点P关于

10、x轴的对称点Q的坐标为(2,3,1)同理,点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(2,3,1),(2,3,1)(3)点P(2,3,1)关于坐标原点的对称点的坐标为(2,3,1)1点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A. B|a| C|b| D|c|答案D解析点P在xOy平面的投影的坐标是P(a,b,0),所以|PP|c|.2以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为()A. B.C. D.答案B解析由题图,得A(0,0,0),B1(1,0,1),所以对角线的交点即为AB1的

11、中点由中点坐标公式,可得对角线的交点坐标为.3.如图所示,点P在x轴的正半轴上,且|OP|2,点P在xOz平面内,且垂直于x轴,|PP|1,则点P的坐标是_答案(2,0,1)4点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_;点P1关于z轴的对称点P2的坐标为_答案(1,1,1)(1,1,1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1,1),点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(1,1,1)5如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中,|AA1|2|AB|4,点E在CC1上且|C1E|3|EC|.试建立适当的坐标系,写出点B,C,E,A1的坐标解

12、以点D为坐标原点,射线DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设知,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)1空间中确定点M坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy,垂足为M1,求出M1的横坐标和纵坐标,再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标(2)构造以OM为体对角线的长方体,由长方体的三个棱长结合点M的位置,可以确定点M的坐标(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面或点M在坐标轴或坐标平面上,则利用这一条件,再作轴的垂线即可确定点M的坐标2求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称谁保持不变,其余坐标相反”这个结论