1、2.4空间直角坐标系24.1空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标知识点空间直角坐标系1空间直角坐标系(1)定义：为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点(2)坐标平面：每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy，叫做坐标平面(3)卦限：三个坐标平
2、面把空间分为八部分，每一部分都称为一个卦限2空间中点的坐标过点P作一个平面平行于平面yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标这样，我们对空间中的一个点，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作P(x，y，z)其中x，y，z也可称为点P的坐标分量1空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定
3、是(0，b，c)的形式()2空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式()3关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反()4空间直角坐标系中，点(1，2)关于yOz平面的对称点为(1，2)()题型一确定空间中任意一点的坐标例1已知棱长为2的正方体ABCDABCD，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标解对于图，因为点D是坐标原点，A，C，D分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)因为点B在xDy平面上，它在x轴，y轴上的投影分别为A，C，所
4、以B(2,2,0)同理，A(2,0,2)，C(0,2,2)因为B在xDy平面上的投影是B，在z轴上的投影是D，所以B(2,2,2)对于图，A，B，C，D都在xDy平面的下方，所以其z坐标都为负，A，B，C，D都在xDy平面上，所以其z坐标都为零因为D是坐标原点，A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0，2)同，得B(2,2,0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)反思感悟(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上(
5、2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且|CG|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.过F作FMAD，FNDC，由平面几何知识，得|FM|，|FN|，故F点坐标为.点G在y轴上
6、，其x，z坐标均为0，又|DG|，故点G坐标为，过点H作HKCG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，即点H的坐标为.题型二空间中点的位置的确定例2在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6)解方法一第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三
7、次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 DyOz平面上答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，此点是xOz平面上的点，故选C.题型三空间点的对称问题例3求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标解过点A作AM平面xOy于M，并延长到点C，使|AM|CM|，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)过点A作ANx轴交x轴于N，并延长到点B，使|AN|NB|，则A与B关于x轴对称且B(
8、1，2,1)，A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)，关于x轴对称的点为B(1，2,1)反思感悟以下几条对称规律要在理解的基础上熟记：(1)点A(x，y，z)关于x轴的对称点为A1(x，y，z)，关于y轴的对称点为A2(x，y，z)，关于z轴的对称点为A3(x，y，z)(2)点A(x，y，z)关于原点的对称点为A4(x，y，z)(3)点A(x，y，z)关于xOy平面的对称点为A5(x，y，z)，关于xOz平面的对称点为A6(x，y，z)，关于yOz平面的对称点为A7(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余的相反”跟踪训练3已知点
9、P(2,3，1)，求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标解(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P，则点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P的坐标为(2,3,1)同理，点P关于yOz，xOz坐标平面的对称点的坐标分别为(2,3，1)，(2，3，1)(2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数所以，点P关于
10、x轴的对称点Q的坐标为(2，3,1)同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(2,3,1)，(2，3，1)(3)点P(2,3，1)关于坐标原点的对称点的坐标为(2，3,1)1点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A. B|a| C|b| D|c|答案D解析点P在xOy平面的投影的坐标是P(a，b,0)，所以|PP|c|.2以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为()A. B.C. D.答案B解析由题图，得A(0,0,0)，B1(1,0,1)，所以对角线的交点即为AB1的
11、中点由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为.3.如图所示，点P在x轴的正半轴上，且|OP|2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP|1，则点P的坐标是_答案(2,0,1)4点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为_答案(1,1，1)(1，1，1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，1)，点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(1，1，1)5如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|2|AB|4，点E在CC1上且|C1E|3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标解
12、以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)1空间中确定点M坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标2求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称谁保持不变，其余坐标相反”这个结论