1、1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直学习目标1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题知识点一直线与平面垂直的定义及性质1直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直2直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(AB)和一个平面()相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线AB：平面的垂线；平面：直线AB的垂面；点O：
2、垂足；线段AO：点A到平面的垂线段；线段AO的长：点A到平面的距离如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理及推论定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理条件：一条直线与平面内的两条相交直线垂直，结论：这条直线与这个平面垂直a推论1条件：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，结论：另一条直线也垂直于这个平面m推论2条件：两条直线垂直于同一个平面，结论：这两条直线平行lm将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)观察折痕AD与桌面的位置关系思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定思考2当折痕A
3、D满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直1若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()2若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.()3若ab，b，则a.()题型一直线与平面垂直的判定例1如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，求证：BC平面PAC.证明PA平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAACA，BC平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AEPC交PC于点E，求证：AE平面PBC.证明由例1知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，AE平面PBC.反
4、思感悟利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线(3)根据判定定理得出结论跟踪训练1如图，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)因为SASC，D为AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADDCBD，又因为SBSA，SDSD，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为BABC，D为AC的中点，所以BDAC.又由(1)知SD平面ABC，所以SDBD.于是BD垂直于平面SA
5、C内的两条相交直线，所以BD平面SAC.题型二线面垂直的性质的应用例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交求证：EFBD1.证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，ACBD1.同理，BD1B1C，且ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，B1CACC，EF平面AB1C，EFBD1.反思感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点(2)利用基本性质4：证两线同时平行于第三条直线(3
6、)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行(4)利用线面垂直的判定定理的推论2：把证线线平行转化为证线面垂直. (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行跟踪训练2如图，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.证明因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.题型三线面垂直的综合应用例3如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MNCD.证明如图，取PD的中点E，连接AE，NE，因为N为PC
7、的中点，则NECD，NECD，又因为AMCD，AMCD，所以AMNE，AMNE，即四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE.因为PA矩形ABCD所在平面，所以PACD，又四边形ABCD为矩形，所以ADCD，又PAADA，所以CD平面PAD，AE平面PAD，所以CDAE，所以MNCD.反思感悟若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的判定定理的推论2，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质跟踪训练3如图，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F是BE的中点，求证：(1)DF平面AB
8、C；(2)AFBD.证明(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FGAE，FGAE.CD平面ABC，AE平面ABC，CDAE.又CDAE，FGCD，FGCD.FG平面ABC，四边形CDFG是矩形，DFCG.又CG平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.(2)在RtABE中，AEAB，F为BE的中点，AFBE.ABC是正三角形，CGAB，DFAB.AE平面ABC，CG平面ABC，AECG，AEDF.且AEABA，DF平面ABE，AF平面ABE，AFDF.BEDFF，BE平面BDE，DF平面BDE，AF平面BDE，AFBD.1在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个
9、数是()A1 B2 C3 D6答案B2空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A平行 B垂直C相交 D不确定答案B解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以lAB.3下列条件中，能使直线m平面的是()Amb，mc，b，c Bmb，bCmbA，b Dmb，b答案D解析由直线与平面垂直的判定定理的推论1知，选项D正确4.如图，设平面EF，AB，CD，垂足分别是B，D，BDEF，则AC与EF的位置关系是_答案垂直解析AB，CD，ABCD，故直线AB与
10、CD确定一个平面AB，EF，ABEF，又BDEF，ABBDB，EF平面ABDC.AC平面ABDC，ACEF.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O.证明ABCD为正方形，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.1直线与平面垂直的判定方法(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线2对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据