1、1.1.7柱、锥、台和球的体积学习目标1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式知识点一祖暅原理1内容：幂势既同，则积不容异2含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等3应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等知识点二柱、锥、台、球的体积公式名称体积(V)柱体棱柱VSh圆柱Vr2h锥体棱锥VSh圆锥Vr2h台体棱台Vh(SS)圆台Vh(r2rrr2)球VR3其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径1
2、锥体的体积等于底面面积与高之积()2台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()3两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()题型一柱体、锥体、台体的体积例1(1)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3或 cm3 D192 cm2答案C解析当圆柱的高为8 cm时，V28(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V212(cm3)(2)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A22 B42C2 D4答案C解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为
3、()2，所以该几何体的体积为2.反思感悟(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1(1)正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A48 B64 C16 D96答案B(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案解析根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱故该几何体的体积V222124(m3)题型二球的体积例2(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都
4、在一个球面上，则该球的体积为_答案a3解析长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为a，得球的半径为a，V3a3.(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3答案A解析作出该球轴的截面如图所示，依题意BE2，AECE4，设DEx，故AD2x，因为AD2AE2DE2，解得x3，故该球的半径AD5，所以VR3 (cm3)反思感悟(1)求球的体积，关键是求球的半径R.(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截
5、面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等跟踪训练2(1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是()A12 cm3 B36 cm3C64 cm3 D108 cm3答案B解析设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半径ROA3(cm)，球的体积V3336(cm3)(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，求该球的体积解由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知APaa，OPa
6、，所以球的半径R满足R2OA222a2，所以Ra，所以V球R3a3.题型三几何体体积的求法命题角度1等体积法例3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，求三棱锥ADED1的体积解 111.反思感悟(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积(2)利用等体积法可求点到平面的距离跟踪训练3如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da， ，a2aaad，da.命题角度2割补法例4如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4
7、的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积解如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积V四棱锥EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF，V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.反思感悟当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积跟踪训练4如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求
8、该几何体的体积解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1ABC的体积为()A. B.C. D.答案D解析VSh3.2一个球的表面积是16，则它的体积是()A64 B. C32 D.考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案D解析设球的半径为R，则由题意可知4R216，故R2.所以球的半径为2，体积VR3.3现有一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅
9、锤，铅锤完全浸没在水中当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降()A0.6 cm B0.15 cmC1.2 cm D0.3 cm答案A解析设杯里的水下降h cm，由题意知2h2032，解得h0.6 cm.4圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A. B.C64 D128答案A解析设圆锥的母线为l，底面半径为r.由题意知，lr，S侧rl16，由可得r4，l4，V圆锥r2hr2.5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_答案1616解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为1616.1计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面2在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题.