1、2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知a0，1b0，那么（）Aaabab2Bab2abaCabaab2Dabab2a2（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，B60，那么角A等于（）A135B90C45D303（5分）数学文化算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯A2
2、4B48C12D604（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a1+a44，a2+a58，则（）A2016B2017C2018D20195（5分）若a，b都是正数，且a+b1，则（a+1）（b+1）的最大值为（）AB2CD46（5分）已知锐角ABC的外接圆半径为，且AB3，AC4，则BC（）AB6C5D7（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2tanBb2tanA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8（5分）的值为（）A1B2C3D49（5分）已知tan（+），且0，则sin2+2sin2等于（）ABCD10（5分）已知
3、f（x）2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集是（1，3），若对于任意x1，0，不等式f（x）+t4恒成立，则t的取值范围（）A（，2B（，2C（，4D（，411（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，当n2时，an+2Sn1n，则S2019的值为（）A1008B1009C1010D101112（5分）已知数列an是1为首项，2为公差的等差数列，bn是1为首项，2为公比的等比数列，设cna，Tnc1+c2+cn，（nN*），则当Tn2019时，n的最大值是（）A9B10C11D12二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）若a，b为实数，且a+b2，则3a+3b的最
4、小值为 14（5分）已知sin+cos1，cos+sin0，则sin（+） 15（5分）若点（n，an）都在直线y3x24上，则数列an的前n项和取得最小时的n等于 16（5分）在ABC中，BAC60，点D在线段BC上，且BC3BD，AD2，则ABC面积的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知f（x）ax2（a+1）x+1（1）当时，解不等式f（x）0；（2）若a0，解关于x的不等式f（x）018（12分）已知（1）求f（x）在的值域；（2）若，求的值19（12分）在ABC中，且满足已知（2ac）cosBbcosC（1）求B的大小
5、；（l）若ABC的面积为，a+c6，求ABC的周长20（12分）已知an是等比数列，an0，a312，且a2，a4，a2+36成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn是等差数列，且b3a3，b9a5，求b3+b5+b7+b2n+121（12分）如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM2千米，AN2千米（1）求线段MN的长度；（2）若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值22（12分）
6、定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”已知正项数列an的前n项的“均倒数”为（1）求数列an的通项公式（2）设数列的前n项和为Tn，若4Tnm24m4对一切nN*恒成立试求实数m的取值范围（3）令bn（）nan，问：是否存在正整数k使得bkbn对一切nN*恒成立，如存在求出k值，否则说明理由2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知a0，1b0，那么（）Aaabab2Bab2abaCabaab2Dabab2a【分析】根据题意，先确定最大
7、的数ab0，再确定最小的数a，从而得出正确的结论【解答】解：a0，1b0，ab0，1b20，0ab2a，abab2a故选：D【点评】本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应根据题意，确定每个数值的大小，也可以用特殊值法进行判断，是基础题2（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，B60，那么角A等于（）A135B90C45D30【分析】由题设条件，可由正弦定理建立方程求出角A的三角函数值，再由三角函数值求出角，选出正确选项【解答】解：ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，B60，即sinA又，A45故选：C【点评】本题考查挂电话弦定理，解题的关键是熟记正弦定
8、理的公式，利用正弦定理建立方程求角A的正弦值，本题中有一易错点，即没有注意到ab，导到角出的角为135，做题时要考虑全面3（5分）数学文化算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯A24B48C12D60【分析】根据题意，设最底一层有a盏灯，分析可得从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S7381，计算可得a的值，由等比数列的通项公式计算可得a4的值，即可得答案【解答】
9、解：根据题意，设最底一层有a盏灯，则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，又由S7381，解可得a192，则a4a（）324，即该塔中间一层有24盏灯；故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用4（5分）等差数列an的前n项和为Sn，且a1+a44，a2+a58，则（）A2016B2017C2018D2019【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出a11，d2，再利用等差数列的前n项和公式能求出【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且a1+a44，a2+a58，解
10、得a11，d2，2017故选：B【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）若a，b都是正数，且a+b1，则（a+1）（b+1）的最大值为（）AB2CD4【分析】本题可根据不等式ab（）2即可得出最大值【解答】解：由题意，可知：（a+1）（b+1）（）2（）2故选：C【点评】本题主要考查不等式ab（）2的应用本题属基础题6（5分）已知锐角ABC的外接圆半径为，且AB3，AC4，则BC（）AB6C5D【分析】由已知利用正弦定理可求sinA，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosA，根据余弦定理即可解得BC的值【解答】解：锐角A
11、BC的外接圆半径为，且AB3，AC4，由正弦定理可得：2，解得：sinA，可得：cosA，由余弦定理可得：BC故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2tanBb2tanA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】三角形ABC中，利用正弦定理化简a2tanBb2tanA，再利用二倍角的正弦即可得到sin2Asin2B，从而得到：AB或A+B，问题即可解决【解答】解：三角形ABC中，a2tanB
12、b2tanA，由正弦定理，得：，sinAsinB0，所以sin2Asin2B，又A、B为三角形中的角，2A2B或2A2B，AB或A+B，则ABC的形状是等腰或直角三角形故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及二倍角的正弦及诱导公式，属于中档题8（5分）的值为（）A1B2C3D4【分析】利用切化弦，以及辅助角公式，倍角公式进行化简即可【解答】解：44，故选：D【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键9（5分）已知tan（+），且0，则sin2+2sin2等于（）ABCD【分析】利用两角和差的正切公式先计算tan的值，
13、利用1的代换结合弦化切进行求解即可【解答】解：由tan（+），得tantan（+），则sin2+2sin2，故选：B【点评】本题主要考查三角的化简和求值，结合两角和差的正切公式以及1的代换以及弦化切是解决本题的关键考查学生的转化计算能力10（5分）已知f（x）2x2+bx+c，不等式f（x）0的解集是（1，3），若对于任意x1，0，不等式f（x）+t4恒成立，则t的取值范围（）A（，2B（，2C（，4D（，4【分析】根据题意，由不等式的解集分可得1和3是方程2x2+bx+c0的根，则有，解可得b、c的值，由此可得不等式f（x）+t4化为t2x24x2，x1，0，设g（x）2x24x22（x1）
14、24，由二次函数的性质分析其在区间1，0上的最小值，进而分析可得答案【解答】解：根据题意，不等式f（x）2x2+bx+c0的解集是（1，3），则1和3是方程2x2+bx+c0的根，则有，解可得b4，c6，则f（x）2x2+4x+6，不等式f（x）+t4化为t2x24x2，x1，0，设g（x）2x24x22（x1）24，在区间1，0上的最小值为2，则有t2；故选：B【点评】本题考查不等式的恒成立问题，涉及二次函数的性质，关键是求出b、c的值，属于基础题11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，当n2时，an+2Sn1n，则S2019的值为（）A1008B1009C1010D1011【分析
15、】运用数列的递推公式可解决此问题【解答】解：根据题意，n2时，Sn1Snanan+2（Snan）n2Snan+n又n2时，2Sn1an1+n1 由知，2ananan1+1anan1+1a2019+a20181a2017+a20161a3+a21a11S20191+11010故选：C【点评】本题考查数列的递推公式的应用12（5分）已知数列an是1为首项，2为公差的等差数列，bn是1为首项，2为公比的等比数列，设cna，Tnc1+c2+cn，（nN*），则当Tn2019时，n的最大值是（）A9B10C11D12【分析】由题设知an2n1，bn2n1，由Tnab1+ab2+abna1+a2+a4+a
16、2n12n+1n2和Tn2019，得2n+1n22019，由此能求出当Tn2019时n的最大值【解答】解：an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，bn2n1，Tnc1+c2+cnab1+ab2+abna1+a2+a4+a2n1（211）+（221）+（241）+（22n11）2（1+2+4+2n1）n2n2n+1n2，Tn2019，2n+1n22019，解得：n9则当Tn2019时，n的最大值是9故选：A【点评】本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，综合性强，难度大，易
17、出错二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）若a，b为实数，且a+b2，则3a+3b的最小值为6【分析】利用基本不等式的性质、指数函数的运算性质即可得出【解答】解：a+b2，3a+3b26，当且仅当ab1时取等号3a+3b的最小值为6故答案为：6【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数函数的运算性质，属于基础题14（5分）已知sin+cos1，cos+sin0，则sin（+）【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sincos+cossin）1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（+）1，可得结果【解答】解：sin+cos1，两边平方可得：sin2+2sincos+
18、cos21，cos+sin0，两边平方可得：cos2+2cossin+sin20，由+得：2+2（sincos+cossin）1，即2+2sin（+）1，2sin（+）1sin（+）故答案为：【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题15（5分）若点（n，an）都在直线y3x24上，则数列an的前n项和取得最小时的n等于7或8【分析】由题意可得an3n24，可得an为首项为21，公差为3的等差数列，判断数列中各项的符号，即可得到所求最小值时n的值【解答】解：点（n，an）都在直线y3x24上，可得an3n24，可得an为首项为21，公差为3的
19、等差数列，由3n240，可得n8，即有a10，a70，a80，a90，可得数列an的前n项和取得最小时的n等于7或8故答案为：7或8【点评】本题考查等差数列的通项公式、求和的最值，考查化简运算能力，属于基础题16（5分）在ABC中，BAC60，点D在线段BC上，且BC3BD，AD2，则ABC面积的最大值为【分析】设BAD，则060，根据三角形的面积公式即可求出AC，AB，则可得SABCABACsin603sin（2+30），根据三角函数的性质即可求出【解答】解：设BAD，则060BC3BD，AD2，SABDSABC，ABADsinABACsin60，AC4sin，同理可得AB2sin（60），
20、SABCABACsin602sin（60）4sin6sinsin（60）3（sincossin2）3（sin2+cos2）3sin（2+30），060，302+30150sin（2+30）1，3sin（2+30），当30时取等号故ABC面积的最大值为，故答案为：【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知f（x）ax2（a+1）x+1（1）当时，解不等式f（x）0；（2）若a0，解关于x的不等式f（x）0【分析】（1）求时不等式f（x）0的解集即可；
21、（2）不等式f（x）0化为（ax1）（x1）0，讨论a1、a1和0a1时，分别求出对应不等式的解集即可【解答】解：（1）f（x）ax2（a+1）x+1，当时，不等式f（x）0化为x2x+10，即x23x+20，解得1x2，不等式的解集为x|1x2；（2）f（x）0化为ax2（a+1）x+10，即（ax1）（x1）0；当a1时，1，解不等式f（x）0得x|x1；当a1时，1，解不等式f（x）0得x|；当0a1时，1，解不等式f（x）0得x|综上，a1时，不等式的解集为x|x1，a1时，不等式的解集为x|，0a1时，不等式的解集为x|【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，
22、是中档题18（12分）已知（1）求f（x）在的值域；（2）若，求的值【分析】（1）先利用诱导公式及二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；（2）由f（x），可求sin（x+）及cos（x+），然后由二倍角的正弦公式即可求解【解答】解：（1），函数的 值域为（2）f（x），sin（x+），cos（x+），又，或（舍），cos（x+），sin（2x+）2sin（x+）cos（x）【点评】本题主要考查了诱导公式，辅助角公式及同角平方关系和正弦函数的图象及性质的综合应用，属于中档试题19（12分）在ABC中，且满足已知（2ac）cosBbcosC（1）求B的大小；（l）若ABC的
23、面积为，a+c6，求ABC的周长【分析】（1）根据题意利用正弦定理，再进行三角恒等变换求得cosB的值，从而求出B的值；（2）由ABC的面积公式，利用余弦定理求得b的值，再求ABC的周长【解答】解：（1）ABC中，（2ac）cosBbcosC，由正弦定理可得（2sinAsinC）cosBsinBcosC，整理可得2sinAcosBsinBcosC+cosBsinCsin（B+C）sinA，又A为三角形内角，sinA0，所以cosB，由B为三角形内角，可得B60；（2）由ABC的面积为，即acsinB，所以ac4，又a+c6，由余弦定理得b2a2+c22accosB（a+c）22ac2accos
24、60363ac363424，所以b2，ABC的周长为a+b+c6+2【点评】本题考查了三角形的正弦、余弦定理和面积公式应用问题，也考查了三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，是中档题20（12分）已知an是等比数列，an0，a312，且a2，a4，a2+36成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn是等差数列，且b3a3，b9a5，求b3+b5+b7+b2n+1【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用等比数列与等差数列的通项公式、求和公式即可得出【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，an0，可得q0a2，a4，a2+36成等差数列2a4a2+a2+36，2
25、a3q2+36，即212q2+36，化为：2q23q20，解得q212，解得a13an32n1（2）由（1）可得：b3a312，b9a532448设等差数列bn的公差为d，则b1+2d12，b1+8d48，解得b10，d6bn6（n1）b2n+112nb3+b5+b7+b2n+1126n2+6n【点评】本题考查了等差数列与等比数列与等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景
26、台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM2千米，AN2千米（1）求线段MN的长度；（2）若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值【分析】（1）在AMN中，利用余弦定理得到MN；（2）设PMN，得到PNM120，利用正弦定理将PM+PN用表示，结合三角函数的有界性求最值【解答】解：（1）在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2+AN22AMANcos120（2分），所以千米 （4分）（2）设PMN，因为MPN60，所以PNM120在PMN中，由正弦定理得，（6分）因为，所以PM4sin（1200），PN4sin（8分）因此PM+PN4sin（1200）+4sin（10分）（13分
27、）因为0120，所以30+30150所以当+300900，即600时，PM+PN取到最大值（15分）答：两条观光线路距离之和的最大值为千米（16分）【点评】本题考查了解三角形的实际应用；关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形22（12分）定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”已知正项数列an的前n项的“均倒数”为（1）求数列an的通项公式（2）设数列的前n项和为Tn，若4Tnm24m4对一切nN*恒成立试求实数m的取值范围（3）令bn（）nan，问：是否存在正整数k使得bkbn对一切nN*恒成立，如存在求出k值，否则说明理由【分析】（1）利用题中的已知条件求出数列的通项公式（2
28、）利用裂项相消法在数列求和中的应用和恒成立问题求出m的取值范围（3）利用，进一步求出k的范围，进一步确定k的值【解答】解：（1）设数列an的前n项和为Sn，由于数列an的前n项的“均倒数”为，所以：，则：当n1时，S1a11，当n2时，所以：anSnSn12n1（首项符合）故：an2n1（2）由（1）得：所以：，4Tnm24m4对一切nN*恒成立，则：m24m41，解得：m5或m1（3）由于：bn（）nan，假设存在正整数k使得bkbn对一切nN*恒成立所以，整理得：，解得：，所以存在正整数k10，即存在正整数k10使得bkbn对一切nN*恒成立【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，函数的恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型