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2017-2018学年内蒙古包头市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年内蒙古包头市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合A0,1,B1,0,a+3,若AB,则a的值为()A2B1C0D12(5分)已知集合Ax|log2x1,则A(RB)()AB(0,1C(0,1)D1,+)3(5分)下列各函数在其定义域中,既是奇函数又是增函数的是()Ayx3BCyx|x|Dy2|x|4(5分)已知sin(),则cos()()ABCD5(5分)下列各组函数为相等函数的是()A,Bf(x)1,g(x)(x1)0Cf(x)x,D,6(5分)若一扇形的周长为

2、4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是()A1B2C3D47(5分)设向量满足,则()ABCD8(5分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)f(x),当0x1时,f(x)2x(1x),则f()()ABCD9(5分)如图,已知,用表示,则()ABCD10(5分)设函数,若f(x0)3,则x0的取值范围是()AB(2,+)C(,2)(3,+)D11(5分)已知定义在(0,+)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y(0,+),总有f(xy)f(x)+f(y)1,则关于x的不等式f(x1)1的解集是()A(1,+)B(1,2)C(,2)D(0,2)12(5分)将函数f(x)sin2x的图

3、象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1,x2,有|x1x2|min,则()ABCD二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(5分)已知向量(1,2),(x,2),且,则实数x的值为   14(5分)函数yloga(2x3)+4的图象恒过定点A,且点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)   15(5分)若函数f(x)ax2+4x+1只有一个零点,则a的值为   16(5分)已知函数f(x)sinx(x0,)和函数g(x)tanx的图象相交于A,B,C三点,则ABC的面积为   三、解答题(

4、本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)(1)计算:;(2)若(a0且a1),求a的取值范围18(12分)已知角的张终边经过点,且为第二象限(1)求m的值;(2)若,求的值19(12分)如图,已知向量(1)若,求x与y之间的关系;(2)在(1)的条件下,若有,求x,y的值以及四边形ABCD的面积20(12分)已知函数f(x)3x,且f(a+2)18,g(x)3ax4x的定义域为1,1(1)求3a的值及函数g(x)的解析式;(2)试判断函数g(x)的单调性;(3)若方程g(x)m有解,求实数m的取值范围21(12分)已知函数f(x)sin2x+acosx

5、+a,在x0,上最大值为1,求实数a的值22(12分)已知函数f(x)log2(1x)log2(1+x)(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)方程f(x)x+1是否有实根?如果有实根x0,请求出一个长度为的区间(a,b),使x0(a,b);如果没有,请说明理由(注:区间(a,b)的长度ba)2017-2018学年内蒙古包头市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知集合A0,1,B1,0,a+3,若AB,则a的值为()A2B1C0D1【分析】利用子集定

6、义直接求解【解答】解:集合A0,1,B1,0,a+3,AB,a+31,解得a2故选:A【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意子集定义的合理运用2(5分)已知集合Ax|log2x1,则A(RB)()AB(0,1C(0,1)D1,+)【分析】由log2x1,得,x2,即A(2,+),由y,则x10,即x1,即B1,+),RB(,1),得A(RB)【解答】解:由log2x1,得,x2,即A(2,+),由y,则x10,即x1,即B1,+),RB(,1),A(RB),故选:A【点评】本题考查了集合的混合运算,同时考查了函数定义域的求解,属简单题3(5分)下列各函数在其定义域中,既

7、是奇函数又是增函数的是()Ayx3BCyx|x|Dy2|x|【分析】分析给定四个函数的单调性和奇偶性,可得答案【解答】解:函数yx3是奇函数,但不是增函数,不满足题意;函数y是奇函数,但不是增函数,不满足题意;函数yx|x|是奇函数,且是增函数,满足题意;函数y2|x|是偶函数,不满足题意;故选:C【点评】本题考查的知识点是函数的性质,熟练掌握各种基本初等函数的性质是解答的关键4(5分)已知sin(),则cos()()ABCD【分析】运用、的诱导公式,计算即可得到【解答】解:sin(),即为sin(),即有sin(+),即cos()故选:A【点评】本题考查三角函数的求值,考查三角函数的诱导公式

8、的运用,考查运算能力,属于基础题5(5分)下列各组函数为相等函数的是()A,Bf(x)1,g(x)(x1)0Cf(x)x,D,【分析】通过求定义域可判断B,D的两函数都不相等,而C的解析式不同,也不相等,而选项A的两函数的解析式和定义域都相同,从而选A【解答】解:Af(x)的定义域为(0,+),的定义域为(0,+),定义域和解析式都相同,两函数相等;Bf(x)的定义域为R,g(x)的定义域为x|x1,定义域不同,两函数不相等;Cf(x)x,解析式不同,两函数不相等;Df(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(0,+),定义域不同,不相等故选:A【点评】考查函数的定义,判断两函数是否相等的方法:

9、看定义域和解析式是否都相同6(5分)若一扇形的周长为4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是()A1B2C3D4【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径,通过扇形的周长与面积,即可求出扇形的弧长与半径,进而根据公式求出扇形圆心角的弧度数【解答】解:设扇形的弧长为l,半径为r,扇形的圆心角的弧度数是,则2r+l4,S扇形lr1,解得:r1,l2,扇形的圆心角的弧度数2故选:B【点评】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用,以及考查学生的计算能力,此题属于基础题型7(5分)设向量满足,则()ABCD【分析】由题意利用,求得 的值【解答】解:向量满足,则,故选:D【点评】本题主要考查求向量的模的方

10、法,属于基础题8(5分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)f(x),当0x1时,f(x)2x(1x),则f()()ABCD【分析】由已知中函数f(x)满足f(x+2)f(x),我们可以求出函数f(x)周期为2的周期函数,结合已知中函数f(x)是定义在R上的奇函数,进而得到答案【解答】解:函数f(x)满足f(x+2)f(x),函数f(x)周期为2的周期函数,故f()f()f(),当0x1时,f(x)2x(1x),f(),故f(),故选:D【点评】本题考查的知识点是函数的周期性,函数的奇偶性,函数的值,其中根据已知条件,得到函数f(x)周期为2的周期函数,是解答本题的关键9(5分)如图

11、,已知,用表示,则()ABCD【分析】首先取BC的中点E,则D也是EC的中点,通过两次使用中线所在向量,把未知向量转化为已知向量,得解【解答】解:取BC中点E,D为EC的中点,故选:D【点评】此题考查了中线所在向量的表示方法,难度不大10(5分)设函数,若f(x0)3,则x0的取值范围是()AB(2,+)C(,2)(3,+)D【分析】直接利用分段函数,分段求解不等式的解集即可【解答】解:函数,若f(x0)3,可得,解得2x00,解得0,则x0的取值范围是:故选:A【点评】本题考查分段函数的应用,考查转化思想以及计算能力;11(5分)已知定义在(0,+)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y(

12、0,+),总有f(xy)f(x)+f(y)1,则关于x的不等式f(x1)1的解集是()A(1,+)B(1,2)C(,2)D(0,2)【分析】根据题意,在f(xy)f(x)+f(y)1,令xy1可得:f(1)f(1)+f(1)1,分析可得f(1)1,结合函数的单调性可得f(x1)10x11,解可得x的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,对任意x,y(0,+),总有f(xy)f(x)+f(y)1,令xy1可得:f(1)f(1)+f(1)1,变形可得:f(1)1,又由函数f(x)是定义在(0,+)上的减函数,则不等式f(x1)10x11,解可得1x2,即不等式的解集为(1,2);故选:B【点评

13、】本题考查抽象函数的应用,涉及函数单调性的性质以及应用,属于基础题12(5分)将函数f(x)sin2x的图象向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1,x2,有|x1x2|min,则()ABCD【分析】由题意可得g(x)sin(2x2),不妨设2x12k+,kZ,2x22+2m,mZ,结合|x1x2|min,可得,由此求得【解答】解:f(x)sin2x,g(x)sin(2x2),由|f(x1)g(x2)|2,可知f(x1)、g(x2)分别为两个函数的最大值和最小值(或最小值和最大值)不妨设2x12k+,kZ,2x22+2m,mZ,则x1x2+(km),

14、由|x1x2|min,可得,解得,故选:C【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13(5分)已知向量(1,2),(x,2),且,则实数x的值为4【分析】根据,0,列出方程,求出x的值【解答】解:向量(1,2),(x,2),且,1x+220,解得x4,实数x的值为4故答案为:4【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直的应用问题,是基础题目14(5分)函数yloga(2x3)+4的图象恒过定点A,且点A在幂函数f(x)的图象上,则f(3)9【分析】由loga10得2x31

15、,求出x的值以及y的值,即求出定点的坐标再设出幂函数的表达式,利用点在幂函数的图象上,求出的值,然后求出幂函数的表达式即可得出答案【解答】解:loga10,当2x31,即x2时,y4,点M的坐标是P(2,4)幂函数f(x)x的图象过点M(2,4),所以42,解得2;所以幂函数为f(x)x2则f(3)9故答案为:9【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点,主要利用loga10,考查求幂函数的解析式,同时考查了计算能力,属于基础题15(5分)若函数f(x)ax2+4x+1只有一个零点,则a的值为0或4【分析】由题意可知,ax2+4x+10只有一个解,分类讨论:分a0和a两种情况分别进行求解【解答】解

16、:若函数f(x)ax2+4x+1只有一个零点,若a0,f(x)4x+1,只有1个零点,符合题意,若a0,则164a0,解得:a4,综上可得,a0或a4,故答案为:0或4【点评】本题考查了函数的零点问题,考查二次方程根的存在条件的判断,是一道基础题16(5分)已知函数f(x)sinx(x0,)和函数g(x)tanx的图象相交于A,B,C三点,则ABC的面积为【分析】根据题意,令sinxtanx,结合x0,求出x的值,得出三个点A、B、C的坐标,即可计算ABC的面积【解答】解:根据题意,令sinxtanx,即sinx(1)0,解得sinx0,或10,即sinx0或cosx又x0,x0或x,或xar

17、ccos,点A(0,0),B(,0),C(arccos,),ABC的面积为|AB|yC|,故答案为:【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)(1)计算:;(2)若(a0且a1),求a的取值范围【分析】(1)根据指数和对数的运算性质运算可得;(2)按照a1和0a1分两种情况讨论,利用对数函数的单调性解不等式【解答】解:(1)原式+2241+;(2)因为loga 1loga a,当a1时,a,无解;当0a1时,a,a1,综上,a的取值范围是(,1)【点评】本题考查了指数对数不等式的解法

18、,属中档题18(12分)已知角的张终边经过点,且为第二象限(1)求m的值;(2)若,求的值【分析】(1)利用任意角的三角函数的定义,求解即可(2)由(1)可求tan,利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解【解答】解:(1)由三角函数定义可知,解得m1,钝角,m1(2)由(1)知,【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义,三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题19(12分)如图,已知向量(1)若,求x与y之间的关系;(2)在(1)的条件下,若有,求x,y的值以及四边形ABCD的面积【分析】(1)由,结合向量平行的坐标表示可得(x+4)y

19、(y2)x0,可求x,y的关系,(2)由有,结合(1)的关系式可求x,y的值,代入四边形的面积公式可求【解答】解:(1),又,x(y2)y(x+4)0x+2y0(2),又,(x+6)(x2)+(y+1)(y3)0x2+y2+4x2y150;由,得或,当时,则;当时,则;综上知【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示,向量数量积的性质的应用,属于基础试题20(12分)已知函数f(x)3x,且f(a+2)18,g(x)3ax4x的定义域为1,1(1)求3a的值及函数g(x)的解析式;(2)试判断函数g(x)的单调性;(3)若方程g(x)m有解,求实数m的取值范围【分析】(1)根据题意,由f(a+2

20、)18结合函数的解析式可得3a+218,则有3a2;将3a2代入函数的解析式即可得答案;(2)设t2x,则ytt2(t)2+;结合x的取值范围,分析t2x和ytt2的单调性,由复合函数单调性的判定方法,分析可得结论;(3)根据题意,由(2)的结论可得g(x)在1,1上的值域,进而分析可得结论【解答】解:(1)根据题意,函数f(x)3x,若f(a+2)18,即3a+218,则有3a2;则g(x)3ax4x2x4x;(2)由(1)的结论,g(x)2x4x;x1,1;设t2x,则ytt2(t)2+;若x1,1,则t,2;t2x在1,1上为增函数,ytt2在,2上为减函数,则g(x)在1,1上为减函数

21、;(3)由(2)的结论,g(x)在1,1上为减函数,则g(x)ming(1)242,g(x)maxg(1)2141;即若方程g(x)m有解,必有2m;则m的取值范围为2,【点评】本题考查复合函数的单调性以及值域的计算,注意复合函数单调性的判定方法,属于基础题21(12分)已知函数f(x)sin2x+acosx+a,在x0,上最大值为1,求实数a的值【分析】运用同角的平方关系化简f(x),令tcosx,x0,可得t0,1,yt2+at+a(ta)2+a,讨论对称轴与区间的关系,结合单调性可得最大值,解方程即可得到所求值【解答】解:函数f(x)sin2x+acosx+acos2x+acosx+a,

22、令tcosx,x0,t0,1,则yt2+at+a(ta)2+a,(1)当0,即a0时,t0时,ymax+a1,解得a0(舍去);(2)当01,即0a2时,t时,ymax+a1解得a或a4(舍去);(3)当1,即a2时,t1时,ymax1+a+a1解得a2(舍去)综上所述,a【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法,注意运用换元法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于中档题22(12分)已知函数f(x)log2(1x)log2(1+x)(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性;(3)方程f(x)x+1是否有实根?如果有实根x0,请求出一个长度为的区间(a,b),使x0(a,b)

23、;如果没有,请说明理由(注:区间(a,b)的长度ba)【分析】(1)根据题意,由函数的解析式可得,解可得x的取值范围,即可得答案;(2)根据题意,求出f(x)的解析式,由函数奇偶性的定义分析可得答案;(3)根据题意,原方程可以转化为(x+1)2x+1+x10,设g(x)(x+1)2x+1+x1,x(1,1),由二分法分析可得(x+1)2x+1+x10在(,0)上必有实根,进而由二分法分析可得答案【解答】解:(1)函数f(x)log2(1x)log2(1+x),必有,解可得1x1,则函数f(x)的定义域为(1,1);(2)函数f(x)log2(1x)log2(1+x),则函数f(x)log2(1+x)log2(1x)log2(1x)log2(1+x)f(x),则函数f(x)为奇函数;(3)根据题意,f(x)x+1即log2(1x)log2(1+x)x+1,变形可得(x+1)2x+1+x10,设g(x)(x+1)2x+1+x1,x(1,1),g()0,g(0)210,则方程(x+1)2x+1+x10在(,0)上必有实根,又由g()0,则方程(x+1)2x+1+x10(,)上必有实根,此时区间的长度()(),满足题意,则满足题意的一个区间为(,)【点评】本题考查函数零点的判定定理,涉及函数的奇偶性、定义域的求法,属于综合题