1、2017-2018学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）全集U0，1，3，5，6，8，集合A1，5，8 ，B2，则集合（UA）B（）A0，2，3，6B0，3，6C2，1，5，8D2（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）Ay|x|Byx3xCy（）xDy3（5分）两直线3x+y30与6x+my+10平行，则它们之间的距离为（）A4BCD4（5分），是夹角为90的单位向量，则，的夹角为（）A30B60C120D1505（5分）已知直线m、n和平面、满
2、足mn，m，则（）AnBn，或nCnDn，或n6（5分）九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织尺数为（）A10B9C11D127（5分）函数f（x）loga|x|+1（0a1）的图象大致为（）ABCD8（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm39（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点A（m，0），B（m，0）（m0），若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（）A7B6C5D410（5分）在正方体ABCDA1B1C1D
3、1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与C1D1所成角的正切值为（）ABCD11（5分）已知，函数yf（x+）的图象关于直线x0对称，则的值可以是（）ABCD12（5分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（）A2B1CD2二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。13（5分）若实数x，y满足条件，则z2x+y的最大值为 14（5分）计算：sin45sin75+sin45sin15 15（5分）若函数f（x）4x2kx8在1，1上具有单调性，则实数k的取值范围为 16（5分）若正数x，y满足x+y2xy，
4、则3x+4y的最小值是 三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（10分）已知函数f（x）cos2xsin2x+2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期（II）求f（x）在区间，上的最大值和最小值18（12分）已知数列an为等比数列，且a21，a527，bn为等差数列，且b1a2，b9a4（1）分别求数列an，bn的通项公式（2）设数列bn的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinAacosC（I）求角C的大小（II）若c，a+b7，求ABC的面积20（12分）如图，三棱锥PABC中，
5、底面ABC是边长为2的正三角形，PAPC，PB2（1）求证：平面PAC平面ABC；（2）若PAPC，求三棱锥PABC的体积21（12分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）点P在直线l：2x4y+30上，过点P作圆C的切线，切点记为M，求使|PM|最小的点P的坐标22（12分）已知函数是R上的奇函数（）求a的值；（）判断并证明f（x）的单调性；（）若对任意实数，不等式ff（x）+f（3m）0恒成立，求m的取值范围2017-2018学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，
6、每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）全集U0，1，3，5，6，8，集合A1，5，8 ，B2，则集合（UA）B（）A0，2，3，6B0，3，6C2，1，5，8D【分析】利用补集的定义求出（UA），再利用并集的定义求出（UA）B【解答】解：U0，1，3，5，6，8，A 1，5，8 ，（UA）0，3，6B2，（UA）B0，2，3，6故选：A【点评】本题考查利用交集、并集、补集的定义求集合的并集、交集、补集2（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）Ay|x|Byx3xCy（）xDy【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可；【解答】解：
7、对于A：f（x）|x|x|f（x），是偶函数；A不对；对于B：f（x）（x）3+x（x3x）f（x）是奇函数，结合yx3x的图象，其定义域内既是奇函数又是减函数；B对；对于C：根据指数函数的性质，可得y（）x是非奇非偶函数；对于D，根据反比例函数的性质，可知y；其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，D不对；故选：B【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键3（5分）两直线3x+y30与6x+my+10平行，则它们之间的距离为（）A4BCD【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出m2再将两条直线化成x、y的系数相同
8、，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案【解答】解：直线3x+y30与6x+my+10平行，解得m2因此，两条直线分别为3x+y30与6x+2y+10，即6x+2y60与6x+2y+10两条直线之间的距离为d故选：D【点评】本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题4（5分），是夹角为90的单位向量，则，的夹角为（）A30B60C120D150【分析】由题意利用两个向量的数量积的运算求得，|，|的值，再利用两个向量的夹角公式，求得，的夹角【解答】解：，是夹角为90的单位向量，1，0，（）（）3033，|2，|
9、设则，的夹角为，则cos，150，故选：D【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量的数量积的运算，属于基础题5（5分）已知直线m、n和平面、满足mn，m，则（）AnBn，或nCnDn，或n【分析】由题意画出图形，容易判断选项【解答】解：由题意结合图形易知D正确故选：D【点评】本题考查平面与平面平行和垂直的判定，直线与平面垂直和平行的判定，是基础题6（5分）九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织尺数为（）A10B9C11D12【分析】设此数列为an，由题意可知为等差数列，公差为d利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出
10、方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【解答】解：设此数列为an，由题意可知为等差数列，公差为d则S728，a2+a57，则7a1+d28，2a1+5d7，解得a11，d1a101+9110故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）函数f（x）loga|x|+1（0a1）的图象大致为（）ABCD【分析】函数是偶函数，图象关于y轴对称，x0时，单调递减；x0时，单调递增，且图象过（1，1）、（1，1），由此得出结论【解答】解：由于函数f（x）loga|x|+1（0a1）是偶函数，图象关于y轴对称当x0时，f（x）logax+1
11、，是减函数当x0时，f（x）loga （x ）+1，是增函数再由图象过（1，1）、（1，1）可得，应选A，故选：A【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的应用，属于基础题8（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）ABC2000cm3D4000cm3【分析】由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC底面ABCD，底面ABCD是正方形，故选：B【点评】本题考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力9
12、（5分）已知圆C：（x3）2+（y4）21和两点A（m，0），B（m，0）（m0），若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（）A7B6C5D4【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6再由APB90，可得POABm，可得m6，从而得到答案【解答】解：圆C：（x3）2+（y4）21的圆心C（3，4），半径为1，圆心C到O（0，0）的距离为5，圆C上的点到点O的距离的最大值为6再由APB90可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得POABm，故有m6，故选：B【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，
13、属于中档题10（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与C1D1所成角的正切值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与C1D1所成角的正切值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则A（2，0，0），E（ 0，2，1），C1（0，2，2），D1（0，0，2），（2，2，1），（0，2，0），设异面直线AE与C1D1所成角为，则cossin，tan故异面直线AE与C1D1所成角的正切值为故选：
14、C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直角所成角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11（5分）已知，函数yf（x+）的图象关于直线x0对称，则的值可以是（）ABCD【分析】化简函数的表达式，函数yf（x+）的图象关于直线x0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个即可【解答】解：2sin（x+），函数yf（x+）2sin（x+）的图象关于直线x0对称，函数为偶函数，故选：D【点评】本题考查yAsin（x+）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题12（5分）如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边
15、CD上，若，则的值是（）A2B1CD2【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；x1；F（1，2），；故选：C【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。13（5分）若实数x，y满足条件，则z2x+y
16、的最大值为3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值【解答】解：作出实数x，y满足条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由z2x+y得y2x+z，平移直线y2x+z，由图象可知当直线y2x+z经过点A时，直线y2x+z的截距最大，此时z最大由，解得A（2，1），代入目标函数z2x+y得z2213即目标函数z2x+y的最大值为3，给答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14（5分）计算：sin45sin75+sin45sin15【分析】直接利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简
17、求解即可【解答】解：sin45sin75+sin45sin15sin45cos15+cos45sin15sin60故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力15（5分）若函数f（x）4x2kx8在1，1上具有单调性，则实数k的取值范围为（，88，+）【分析】函数f（x）4x2kx8的对称轴为x，若函数f（x）4x2kx8在1，1上具有单调性，则（1，1），进而得到答案【解答】解：函数f（x）4x2kx8的对称轴为x，若函数f（x）4x2kx8在1，1上具有单调性，则（1，1），解得：k（，88，+），故答案为：（，88，+）【点评】本题考查的知识点是二次函数
18、的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键16（5分）若正数x，y满足x+y2xy，则3x+4y的最小值是【分析】由已知可得，结合3x+4y（3x+4y）（）（7+），结合利用基本不等式可求【解答】解：正数x，y满足x+y2xy，则3x+4y（3x+4y）（）（7+），3x+4y的最小值是故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是积为定值的配凑三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。17（10分）已知函数f（x）cos2xsin2x+2sinxcosx（I）求f（x）的最小正周期（II）求f（x）在区间，上的最大值和
19、最小值【分析】（I）利用二倍角，辅助角公式化简，即可求f（x）的最小正周期（II）利用f（x）在区间，上，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最大值和最小值【解答】解：函数f（x）cos2xsin2x+2sinxcosx化简可得f（x）sin2x+cos2x2sin（2x+）（I）f（x）的最小正周期T（II）x，上，2x+，当2x+时，函数f（x）取得最小值为当2x+时，函数f（x）取得最大值为122故得f（x）在区间，上的最大值为2，最小值为【点评】本题考查三角函数的性质的运用和化简能力以及计算能力18（12分）已知数列an为等比数列，且a21，a527，bn为等差数列，且b1a2，
20、b9a4（1）分别求数列an，bn的通项公式（2）设数列bn的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn【分析】（1）数列an为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，进而得到通项公式；bn为公差为d的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得公差，即可得到所求通项；（2）求得Snn（n+1），由数列的求和方法：裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1）数列an为公比为q的等比数列，a21，a527，可得a1q1，a1q427，解得a1，q3，则an3n2，nN*；bn为公差为d的等差数列，且b1a2，b9a4，可得b11，b99，可得1+8d9，即d1，bnn，nN*；（
21、2）数列bn的前n项和为Snn（n+1），前n项和Tn1+1【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinAacosC（I）求角C的大小（II）若c，a+b7，求ABC的面积【分析】（I）利用正弦定理化简csinAacosC求出tanC，进而可求C（II）由已知利用平方和定理，余弦定理可求ab的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为10分）解：（I）在ABC中，csinAacosC，由正弦定理得 sinCsinAsinAcos
22、C，3分0A，sinA0从而sinCcosC，又cosC0，tanC，可得：C，5分（II）C，c，a+b7，可得：a2+b2+2ab49，由余弦定理可得：31a2+b2ab，联立可得：ab6，SABCabsinC6【点评】本题主要考查三角形的有关知识，考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，是常考题型，属于中档题20（12分）如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PAPC，PB2（1）求证：平面PAC平面ABC；（2）若PAPC，求三棱锥PABC的体积【分析】（1）面面平行转化为线面垂直即可，取AC中点O，连接PO，可得BOAC，在求解BOPO，可得OB平面PAC即可
23、证明；（2）PAPC，AC中点为O，可得PO平面ABC；即PO是三棱锥PABC的高，体积VSABCOP即可【解答】（1）证明：取AC中点为O，连接PO，底面ABC是边长为2的正三角形，BOAC，又PAPC，BOOPAC1PB2，由PB2BO2+OP2BOOPOP平面PACBO平面ABC平面PAC平面ABC；（2）解：PAPC，AC中点为O，可得PO平面ABC；即PO是三棱锥PABC的高，体积VSABCOP【点评】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题21（12分）已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切
24、线的方程；（2）点P在直线l：2x4y+30上，过点P作圆C的切线，切点记为M，求使|PM|最小的点P的坐标【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设直线方程为x+ya0或ykx，由圆心C到切线的距离等于半径，求出待定系数a和k的值则切线的方程可求；（2）把圆C的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过圆心C作CP垂直于直线l，过P作圆的切线，此时PM最短，先由圆心C及直线l的方程，利用点到直线的距离公式求出|CP|的长，再由圆的半径，利用勾股定理求出|PM|的长，即为所求的最小值，再求出此时直线CP的方程联立直线l，求出交点即可【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x4y+30即
25、（x+1）2+（y2）22，表示圆心为C（1，2），半径等于的圆设斜率为1的切线方程为x+ya0，设过原点的切线方程为kxy0，则圆心C到切线的距离等于半径由，求得a1或3再由，求得k2，故所求的切线的方程为x+y30，x+y+10，y（2）x；（2）圆C：x2+y2+2x4y+30即（x+1）2+（y2）22，则圆的圆心C（1，2），半径为，连接CP，当CPl时，C到l的距离最小，由于PM为切线，则|PM|2|PC|2r2|PC|22，即有|PM|最小由C到直线l：2x4y+30的距离d，则此时|PM|的最小值为，当CPl时，直线CP：y22（x+1），即y2x，再由直线l：2x4y+30，
26、解得交点为（，）故使|PM|取最小值的点P的坐标为（，）【点评】本题考查圆的切线方程，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想考查运算能力，属于中档题22（12分）已知函数是R上的奇函数（）求a的值；（）判断并证明f（x）的单调性；（）若对任意实数，不等式ff（x）+f（3m）0恒成立，求m的取值范围【分析】（）利用函数是奇函数，通过f（0）0，求a的值；（）利用函数的单调性的定义判断并证明f（x）的单调性；（）若对任意实数，不等式ff（x）+f（3m）0恒成立，按照m集项，通过函数的单调性，转化求m的取值范围【解答】解：（）f（x）为R上的奇函数，f（0）0，即，由此得a1（）由（1）知f（x）为R上的增函数证明，设x1x2，则x1x2，f（x1）f（x2）f（x）为R上的增函数（）f（x）为R上的奇函数原不等式可化为ff（x）f（3m），即ff（x）f（m3）又f（x）为R上的增函数，f（x）m3，由此可得不等式对任意实数x恒成立由m2【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，转化思想的应用