1、2019-2020学年河北省部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）ABCD2下列方程中是一元二次方程的是（）A2x+10Bx2+y1Cx2+20D13已知关于x的一元二次方程kx22x10有实数根，若k为非正整数，则k等于（）AB0C0或1D14抛物线yx2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是（）A4x1Bx3或x1Cx4或x1D3x15如图，将AOB绕点O逆时针旋转90，得到AOB若点A的坐标为（a，b），则点A的坐标
2、为（）A（a，b）B（b，a）C（b，a）D（b，a）6如图，AB是O的直径，C、D是O上一点，CDB25，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于（）A35B40C45D507现定义运算“”，对于任意实数a、b，都有aba23a+b，如：454234+5，若x26，则实数x的值是（）A4或1B4或1C4或2D4或28九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A82+x2（x3）2B82+（x+3）2x
3、2C82+（x3）2x2Dx2+（x3）2829某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）ABCD10如图为函数yax2+bx+c与yx的图象，下列结论：（1）b24ac0；（2）3b+c+60；（3）当1x3时，x2+（b1）x+c0；（4）其中正确的个数为（）A1B2C3D4二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）11二次函数y（x+2）2+3的顶点坐标是 12关于x的方程x2xn0没有实数根，则抛物线yx2xn的顶点在第 象限13AB是O的直径，C，D在O上且分布在AB两侧，C是直径AB所对弧的一个三等分点，则B
4、DC 14如图，在平行四边形ABCD中，ABAD，C150，CD8，以AB为直径的O交BC于点E，则阴影部分的面积为 15如图，在直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），对OAB连续作旋转变换，依次得到1、2、3、4，则2020的直角顶点的坐标为 三、解答题：共75.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16解方程：（1）x26x+90（2）x2+x2（x+1）17关于x的一元二次方程x2mx+m10（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围18某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的
5、信息，解答下列问题：（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率（用列表或树状图方法解答）测试成绩（分）2325262830人数（人）418158519如图，在ABC中，B90，AB12mm，BC24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过多少秒，四边形APQC的面积最小20随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广
6、东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率21如图，已知AB是O的直径，AC，BC是O的弦，OEAC交BC于E，过点B作O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F（1）求证：DC是O的切线；（2）若ABC30，AB8，求线段CF的长22已知抛物线ykx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐
7、标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1y2（1）请结合函数图象确定实数a的取值范围；（2）已知抛物线ykx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标23如图，抛物线C1：yx22x与抛物线C2：yax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA2OB（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，MOC面积最大？并求出最大面积2
8、019-2020学年河北省部分学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记
9、定义的内容是解此题的关键2下列方程中是一元二次方程的是（）A2x+10Bx2+y1Cx2+20D1【分析】本题根据一元二次方程的定义求解一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项错误B、该方程是二元二次方程，故本选项错误C、该方程是一元二次方程，故本选项正确D、该方程分式方程，故本选项错误故选：C【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c0（且a0）3已知关于x的一元二次方程kx22x10有
10、实数根，若k为非正整数，则k等于（）AB0C0或1D1【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k0且（2）24k（1）0，然后求出两不等式的公共部分后找出非正整数即可【解答】解：根据题意得k0且（2）24k（1）0，解得k1且k0，k为非正整数，k1故选：D【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根4抛物线yx2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则x的取值范围是（）A4x1Bx3或x1Cx4或x1D3x1【分析】根据抛物线的对称轴为x1，一
11、个交点为（1，0），可推出另一交点为（3，0），结合图象求出y0时x的范围【解答】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（3，0），所以y0时，x的取值范围是3x1故选：D【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点；根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线yx2+bx+c的完整图象，求出另一个交点是解决问题的关键5如图，将AOB绕点O逆时针旋转90，得到AOB若点A的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）A（a，b）B（b，a）C（b，a）D（b，a）【分析】根据旋转前后的三角形全等及所在象限符号的特点可得所求点的坐标【解答】解：AOBAOB
12、，ABABb，OBOBa，A在第二象限，A坐标为（b，a），故选：C【点评】考查点的旋转问题；用到的知识点为：旋转前后图形的形状不变6如图，AB是O的直径，C、D是O上一点，CDB25，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于（）A35B40C45D50【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OAOC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出COE的度数，即可求出E的度数【解答】解：连接OC，CE为圆O的切线，OCCE，COE90，CDB与BAC都对，且CDB25，BACCDB25，OAOC，OACOCA25，COE为AOC的外角，COE50，则
13、E40故选：B【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键7现定义运算“”，对于任意实数a、b，都有aba23a+b，如：454234+5，若x26，则实数x的值是（）A4或1B4或1C4或2D4或2【分析】先根据新定义得到x23x+26，整理得x23x40，再把方程左边分解，原方程化为x40或x+10，然后解一次方程即可【解答】解：x26，x23x+26，整理得x23x40，（x4）（x+1）0，x40或x+10，x14，x21故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式
14、分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解8九章算术勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A82+x2（x3）2B82+（x+3）2x2C82+（x3）2x2Dx2+（x3）282【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x3）2+82x2，故选：C【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
15、关键9某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）ABCD【分析】随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数【解答】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P，故选：D【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键10如图为函数yax2+bx+c与yx的图象，下列结论：（1）b24ac0；（2）3b+c+60；（3）当1x3时，x2+（b1）x+c0；（4）其中正确的个数为（）A1B2C3D4【分析】由函数yax2+bx+c与x轴无交点，可得b24ac0；当x3
16、时，y9+3b+c3；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cx，继而可求得答案，把b3，c3代入代数式即可求得【解答】解：由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），解得：，yx2+bx+c，函数yax2+bx+c与x轴无交点，b24ac0；故错误；由图象知，抛物线yx2+bx+c与直线yx的交点坐标为（1，1）和（3，3），当x3时，y9+3b+c3，3b+c+60；故正确；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+cx，x2+（b1）x+c0故正确；函数yx23x+3，故正确；故选：C【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形
17、结合思想的应用二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）11二次函数y（x+2）2+3的顶点坐标是（2，3）【分析】根据顶点式直接解答即可【解答】解：二次函数y（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（2，3）故答案为（2，3）【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：ya（xh）2+k（a0）的顶点坐标为（h，k），注意符号问题12关于x的方程x2xn0没有实数根，则抛物线yx2xn的顶点在第一象限【分析】求出抛物线yx2xn的对称轴x，可知顶点在y轴的右侧，根据x2xn0在实数范围内没有实数根，可知开口向上的yx2xn与x轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限【
18、解答】解：抛物线yx2xn的对称轴x，可知抛物线的顶点在y轴的右侧又关于x的一元二次方程x2xn0没有实数根，开口向上的yx2xn与x轴没有交点抛物线yx2xn的顶点在第一象限故答案为：一【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键13AB是O的直径，C，D在O上且分布在AB两侧，C是直径AB所对弧的一个三等分点，则BDC30或60【分析】此题分两种情况进行计算，点C有两种位置，分别根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半进行计算即可【解答】解：如图所示：连接CO，C是直径AB所
19、对弧的一个三等分点，COB120，CDB60，连接C1O，C1是直径AB所对弧的一个三等分点，C1OB60，C1DB30，故答案为：30或60【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆心角度数的计算，关键是分两种情况讨论14如图，在平行四边形ABCD中，ABAD，C150，CD8，以AB为直径的O交BC于点E，则阴影部分的面积为【分析】连接OE，作OHBE于H，根据平行四边形的性质得到ABCD8，ABC180C30，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可【解答】解：连接OE，作OHBE于H，四边形ABCD是平行四边形，ABCD8，ABC180C30，OEOB4，OEBOBE30，OHOB2，B
20、OE120，由勾股定理得，BH2，阴影部分的面积4，故答案为：4【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S是解题的关键15如图，在直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），对OAB连续作旋转变换，依次得到1、2、3、4，则2020的直角顶点的坐标为（8076，0）【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2020除以3，根据商为673余数为1，可知第20，20个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可【解答】解：点A（3，0）、B
21、（0，4），AB5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+312，202036731，2020的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，673128076，2019的直角顶点的坐标为（8076，0）故答案为（8076，0）【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标三、解答题：共75.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16解方程：（1）x26x+90（2）x2+x2（x+1）【分析】（1）根据因式
22、分解法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）（x3）20，x30，即x1x23（2）x（x+1）2（x+1），（x+1）（x2）0x+10或x20x11，x22【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型17关于x的一元二次方程x2mx+m10（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围【分析】（1）根据判别式（m）24（m1）（m2）20即可得；（2）因式分解法得出x11，x2m1，由方程有一个根大于3知m13，解之可得【解答】（1）证明：依题意，得（m）24（m1）（m2）20，（m2）20，
23、方程总有两个实数根；（2）x2mx+m10，（x1）（xm+1）0，x11，x2m1，方程有一个根大于3，m13，m4m的取值范围是m4【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根18某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求
24、甲和乙恰好分在同一组的概率（用列表或树状图方法解答）测试成绩（分）2325262830人数（人）4181585【分析】（1）用总人数乘以成绩为25分的学生人数所占的比例即可得；（2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得【解答】解：（1）（人），答：该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人；（2）画树状图如下图：共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有2个，甲和乙恰好分在同一组的概率为【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后
25、根据概率公式求出事件A或B的概率19如图，在ABC中，B90，AB12mm，BC24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过多少秒，四边形APQC的面积最小【分析】设经过x秒，四边形APQC的面积最小，根据题意列出PBQ的面积关于x的解析式，根据二次函数的性质求出PBQ的面积的最大值，得到答案【解答】解：设经过x秒，四边形APQC的面积最小由题意得，AP2x，BQ4x，则PB122x，PBQ的面积BQPB（122x）4x4（x3）2+36，当x3s时，PB
26、Q的面积的最大值是36mm2，此时四边形APQC的面积最小【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键20随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率【分析】（1）2020年全省5G基站的数量目前广东5G基站的数量4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底
27、，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：（1）1.546（万座）答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）217.34，解得：x10.770%，x22.7（舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键21如图，已知AB是O的直径，AC，BC是O的弦，OEAC交BC于E
28、，过点B作O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F（1）求证：DC是O的切线；（2）若ABC30，AB8，求线段CF的长【分析】（1）连接OC，根据平行线的性质得到1ACB，由圆周角定理得到1ACB90，根据线段垂直平分线的性质得到DBDC，求得DBEDCE，根据切线的性质得到DBO90，求得OCDC，于是得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：连接OC，OEAC，1ACB，AB是O的直径，1ACB90，ODBC，由垂径定理得OD垂直平分BC，DBDC，DBEDCE，又OCOB，OBEOCE，即DBOOCD，DB为O的切线，OB是半径，DBO90，O
29、CDDBO90，即OCDC，OC是O的半径，DC是O的切线；（2）解：在RtABC中，ABC30，360，又OAOC，AOC是等边三角形，COF60，在RtCOF中，tanCOF，CF4【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键22已知抛物线ykx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1y2（1）请结合函数图象确定实数a的取值范围；（2）已知抛物线ykx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标【分析】（1）根据题意，可以求得该抛物线与x轴
30、的两个交点，然后即可画出该函数的图象，从而可以得到a的取值范围；（2）根据题意，可以得到关于k的方程，从而可以求得抛物线ykx2+（2k+1）x+2所过的定点【解答】解：（1）令y0，则kx2+（2k+1）x+20，解关于x的一元二次方程，得x12，二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数k1该抛物线解析式为yx2+3x+2由图象得到：当y1y2时，a1或a4；（2）依题意得kx2+（2k+1）x+2y0恒成立，即k（x2+2x）+xy+20恒成立，则解得或，所以该抛物线恒过定点（0，2）、（2，0）【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上的点的坐标
31、特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答23如图，抛物线C1：yx22x与抛物线C2：yax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA2OB（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，MOC面积最大？并求出最大面积【分析】（1）C1、C2：yax2+bx开口大小相同、方向相反，则a1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C关于C
32、1对称轴的对称点C（1，3），连接AC交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；（3）SMOCMHxC（x2+4xx）x2+，即可求解【解答】解：（1）令：yx22x0，则x0或2，即点B（2，0），C1、C2：yax2+bx开口大小相同、方向相反，则a1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：016+4b，解得：b4，故抛物线C2的解析式为：yx2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x0或3，故点C（3，3），作点C关于C2对称轴的对称点C（1，3），连接AC交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC的长度3，此时点P（2，2）；（3）直线OC的表达式为：yx，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，x2+4x），则点H（x，x），则SMOCMHxC（x2+4xx）x2+x，0，故x，故当点M（，）时，SMOC最大值为【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数