1、2019-2020学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下列交通标志中，是中心对称图形的是（）ABCD2若方程（a2）x22018x+20190是关于x的一元二次方程，则（）Aa1Ba2Ca2Da33用配方法解一元二次方程x24x50的过程中，配方正确的是（）A（x+2）21B（x2）21C（x+2）29D（x2）294以2和4为根的一元二次方程是（）Ax2+6x+80Bx26x+80Cx2+6x80Dx26x805已知抛物线yx2x1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2m+2019的值为（）A2018B2019C2020D202
2、16如图，ABC中，ACB90，ABC25，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到ABC，且点A在边AB上，则旋转角的度数为（）A65B60C50D407将抛物线y2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（）Ay2（x+1）22By2（x1）22Cy2（x2）21Dy2（x+2）2+18某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（）A x（x1）45B x（x+1）45Cx（x1）45Dx（x+1）459如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按ADC，ABC的方向
3、，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）ABCD10如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，P是AB的中点，连接PM若BC2，BAC30，则线段PM的最大值是（）A4B3C2D1二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11方程x2x的解是 12已知点P（b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a+b的值是 13正三角形绕着它的旋转中心旋转 能够与它自身重合14如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽 m1
4、5某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91设每个支干长出x个小分支，则可得方程为 16如图抛物线yax2+bx+c的图象经过（1，0），对称轴x1，则下列三个结论：abc0；10a+3b+c0；am2+bm+a0正确的结论为 （填序号）三、解答题（共8小题，满分72分）17（10分）解方程：（1）x22x10（2）2（x3）2x2918（6分）如图，已知A（1，1），B（3，3），C（4，1）是直角坐标平面上三点（1）请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）请画出A1B1C1绕点O逆时针旋转90后的A2B2C2；（3）判断以B，B1，B2，为
5、顶点的三角形的形状（无需说明理由）19（8分）已知抛物线yx2+4x+5（1）用配方法将yx2+4x+5化成ya（xh）2+k的形式；（2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）若抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1x22，试比较y1与y2的大小20（8分）已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m20有两个根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当x12+x1x20时，求m的值21（8分）如图，在ABC中，B90，AB5cm，BC7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（1）如果P，Q分别从A，
6、B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由22（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？23（10分）如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC（1）如图1，通过图形旋转的
7、性质可知AD ，DAE 度；【解决问题】（2）如图1，证明BCDC+EC；【拓展延伸】如图2，在ABC中，BAC90，ABAC，D为ABC外一点，且ADC45，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，ED（3）若AD6，CD3，求BD的长24（12分）二次函数yx2+bx+c的图象与直线yx+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为C（3，0）（1）填空：b ，c ；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的
8、N点的坐标2019-2020学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1下列交通标志中，是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据中心对称图形的定义旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称的概念：中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2若方程（a2）x22018x+20190是关于x的一元二次方程，则（）A
9、a1Ba2Ca2Da3【分析】根据一元二次方程的定义只需使得二次项系数不等于0即可【解答】解：方程（a2）x22018x+20190是关于x的一元二次方程，a20，即：a2，故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是了解一元二次方程的一般形式，难度不大3用配方法解一元二次方程x24x50的过程中，配方正确的是（）A（x+2）21B（x2）21C（x+2）29D（x2）29【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案【解答】解：移项得：x24x5，配方得：x24x+225+22，（x2）29，故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方4以2和
10、4为根的一元二次方程是（）Ax2+6x+80Bx26x+80Cx2+6x80Dx26x80【分析】根据已知两根确定出所求方程即可【解答】解：以2和4为根的一元二次方程是x26x+80，故选：B【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键5已知抛物线yx2x1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2m+2019的值为（）A2018B2019C2020D2021【分析】把（m，0）代入yx2x1得m2m1，然后利用整体代入的方法计算m2m+2019的值【解答】解：把（m，0）代入yx2x1得m2m10，所以m2m1，所以m2m+20191+20192020故选：C【点评】本
11、题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程6如图，ABC中，ACB90，ABC25，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到ABC，且点A在边AB上，则旋转角的度数为（）A65B60C50D40【分析】先利用互余计算出BAC65，再利用旋转的性质得CACA，ABAC65，ACA等于旋转角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ACA的度数即可【解答】解：ACB90，ABC25，BAC65，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到ABC，且点A在边AB上，CACA，ABAC65，ACA等于旋转角，CAAA65，ACA18
12、0656550，即旋转角的度数为50故选：C【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等7将抛物线y2x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（）Ay2（x+1）22By2（x1）22Cy2（x2）21Dy2（x+2）2+1【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，2），根据抛物线的顶点式求解析式【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，2），平移后抛物线解析式为y2（x1）22故选：B【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解
13、析式的联系关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式8某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（）A x（x1）45B x（x+1）45Cx（x1）45Dx（x+1）45【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x1）场，再根据题意列出方程为x（x1）45【解答】解：有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为x（x1），共比赛了45场，x（x1）45，故选：A【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系9如图，正方形ABCD的边长为2cm，
14、动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按ADC，ABC的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）ABCD【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：0x2时，根据SAPQAQAP，列出函数关系式，从而得到函数图象；2x4时，根据SAPQS正方形ABCDSCPQSABQSAPD列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解【解答】解：当0x2时，正方形的边长为2cm，ySAPQAQAPx2；当2x4时，ySAPQS正方形ABCDSCPQSABQSAPD，22（4x）22（x2）
15、2（x2）x2+2x所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合故选：A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键10如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，P是AB的中点，连接PM若BC2，BAC30，则线段PM的最大值是（）A4B3C2D1【分析】如图连接PC思想求出PC2，根据PMPC+CM，可得PM3，由此即可解决问题【解答】解：如图连接PC在RtABC中，A30，BC2，AB4，根据旋转不变性可知，ABAB4，APPB，PCAB2，CMBM1，又PM
16、PC+CM，即PM3，PM的最大值为3（此时P、C、M共线）故选：B【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11方程x2x的解是x10，x21【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【解答】解：x2x，移项得：x2x0，分解因式得：x（x1）0，可得x0或x10，解得：x10，x21
17、故答案为：x10，x21【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解12已知点P（b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a+b的值是2【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得b3，2a2，再解即可得到a、b的值，进而可得答案【解答】解：点P（b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，b3，2a2，解得：b3，a1，a+b2，故答案为：2【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律13正三角形绕着它的旋转中心旋转
18、120能够与它自身重合【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答【解答】解：3603120，该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合故答案为：120【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角14如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽4m【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点
19、，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式yax2+2，其中a可通过代入A点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a0.5，所以抛物线解析式为y0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y2代入抛物线解析式得出：20.5x2+2，解得：x2，所以水面宽度增加到4米，故答案为：4【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键15某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支
20、干和小分支的总数是91设每个支干长出x个小分支，则可得方程为x2+x+191【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程【解答】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+191故答案为x2+x+191【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键16如图抛物线yax2+bx+c的图象经过（1，0），对称轴x1，则下列三个结论：abc0；10a+3b+c0；am2+bm+a0正确的结论为（填序号）【分析】
21、观察图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标即可判断；观察图象可知当x3时y大于0代入值即可判断；根据对称轴得b2a代入即可判断【解答】解：观察图象可知：a0，b0，c0，abc0所以错误；观察图象可知：当x3时，y0，即9a+3b+c0，a0，10a+3b+c0所以正确；因为对称轴x1，所以b2a，所以am2+bm+aam22am+aa（m1）20所以am2+bm+a0所以正确故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数相关性质三、解答题（共8小题，满分72分）17（10分）解方程：（1）x22x10（2）2（x3）2x29【分
22、析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得【解答】解：（1）a1，b2，c1，（2）241（1）80，x，即x，（2）2（x3）2x29，2（x3）2（x+3）（x3），2（x3）2（x+3）（x3）0，（x3）（x9）0，x30或x90，解得x13，x29【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18（6分）如图，已知A（1，1），B（3，3），C（4，1）是直角坐标平面上三点（1）请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）请画出A1B1C1绕点O
23、逆时针旋转90后的A2B2C2；（3）判断以B，B1，B2，为顶点的三角形的形状（无需说明理由）【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可（3）BB1B2是等腰直角三角形【解答】解：（1）A1B1C1如图所示（2）A2B2C2如图所示（3）BB1B2是等腰直角三角形【点评】本题考查作图旋转变换，轴对称变换，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型19（8分）已知抛物线yx2+4x+5（1）用配方法将yx2+4x+5化成ya（xh）2+k的形式；（2）指出抛物线的开口方向、对称轴和
24、顶点坐标；（3）若抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1x22，试比较y1与y2的大小【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化成y（x2）2+9；（2）根据顶点式即可求得；（3）由抛物线的性质解答即可【解答】解：（1）yx2+4x+5x2+4x4+4+5（x2）2+9，即y（x2）2+9；（2）a10，抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为（2，9），对称轴为直线x2；（3）抛物线的对称轴方程为x2，x1x22，A，B在对称轴的右侧，a10，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，x1x22，y1y2【点评】本题主要考查抛物线的顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的
25、图象和性质20（8分）已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m20有两个根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当x12+x1x20时，求m的值【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m1）24m24m+10，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2（2m+1），x1x2m2，再利用x12+x1x20得到x10或x1+x20当x10时，x1x2m20；当x1+x20时，即（2m1）0，然后分别解关于m的方程得到满足条件的m的值【解答】解：（1）根据题意得（2m1）24m24m+10m；（2）根据题意得x1+x2（2m+1），x1x2m2，x12+x1x20x1（x1+x2
26、 ）0x10或x1+x20当x10时，x1x2m20，解得m0，当x1+x20时，即（2m1）0，解得m，又m，m不符合题意，舍去，综上所述，m的值为0【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2也考查了根的判别式21（8分）如图，在ABC中，B90，AB5cm，BC7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由【分析】（1）根据PQ5
27、2利用勾股定理BP2+BQ2PQ2，求出即可；（2）由（1）得，当PQB的面积等于7cm2，然后利用根的判别式判断方程根的情况即可；【解答】（1）设x秒后，PQ2BP5x BQ2xBP2+BQ2PQ2（5x）2+（2x）2（2）2解得：x13 x21（舍去）3秒后，PQ的长度等于2；PQB的面积不能等于7cm2，原因如下：（2）设t秒后，PB5t QB2t又SPQBBPQB7（5t）2t7t25t+7052417252830方程没有实数根PQB的面积不能等于7cm2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“PBQ的面积等于7m2”，得出等量关系是解决问题的关键22（10分）某商
28、场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）利用每件利润销量总利润，进而得出w与x的函数关系式；（2）利用配方法求出二次函数最值进而得出答案【解答】解：（1）由题意可得：w（x20）25010（x25）10（x20）（x50）10x2+700x10000；（2）w10x2+700x1000010（x35）2+2250
29、，当x35时，w取到最大值2250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键23（10分）如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC（1）如图1，通过图形旋转的性质可知ADAE，DAE90度；【解决问题】（2）如图1，证明BCDC+EC；【拓展延伸】如图2，在ABC中，BAC90，ABAC，D为ABC外一点，且ADC45，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，连接EC，ED（3）若AD6，CD3，求B
30、D的长【分析】（1）利用旋转变换的性质即可解决问题（2）证明ABDACE（SAS），推出BDCE，可得结论（3）如图2中，连BD证明ABDACE（SAS），推出BDCE，再证明ECD是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：（1）由旋转的性质可知：ADAE，DAE90故答案为AE，90（2）如图1中，DAEBAC，BADCAE，又ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），BDCE，BCBD+DCEC+CD（3）如图2中，连BDBACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ABDACE（SAS），BDCE，而ADEADC45，ECD为直角三角形，EC2CD2+ED2CD2+2AD2
31、81，EC9，即：BD的长为9【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型24（12分）二次函数yx2+bx+c的图象与直线yx+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为C（3，0）（1）填空：b，c1；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标【分析】（1）由一次函数解析式求得点A、B的坐
32、标，然后将其代入二次函数解析式，即利用待定系数法确定函数解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BCMC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标【解答】解：（1）由直线yx+1得到：A（0，1），把x3代入yx+1得到：y（3）+1故B（3，）将A、B的坐标分别代入yx2+bx+c，得解得b，c1；（2）设N（m， m2m+1）则，M，P点的坐标分别是（m， m+1），（m，0）MN（m2m+1）（m2+1）m2m（m+）2+当m时，MN的最大值为；（3）连接MN，BN，由BM与NC互相垂直平分四边形BCMN是菱形由BCMNMNBC，且BCMC而BC（3）+1即： m2m且（m+1）2+（m+3） 2解得：m1故当N（1，4）时，BM与NC互相垂直平分【点评】本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题