1、2019-2020学年贵州省黔东南州九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1下列方程一定是一元二次方程的是（）AB5x26y30Cax2x+20D（a2+1）x2+bx+c02抛物线y2x2+1的对称轴是（）A直线B直线Cy轴D直线x23若n（n0）是关于x的方程x2+mx+2n0的根，则m+n的值为（）A1B2C1D24等腰三角形的底和腰是方程x26x+80的两根，则这个三角形的周长为（）A8B10C8或10D不能确定5若抛物线yx22x+c与y轴的交点为（0，3），则下列说法不正确的是（）A抛物线开口向上B抛物线的对称轴是x1C当x1时，y的最大值为4D抛物
2、线与x轴的交点为（1，0），（3，0）6已知，满足+6，且8，则以，为两根的一元二次方程是（）Ax2+6x+80Bx26x+80Cx26x80Dx2+6x807在平面直角坐标系中，若将抛物线y2x24x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A（2，3）B（1，4）C（1，4）D（4，3）8在同一平面直角坐标系中，一次函数yax+c和二次函数yax2+c的图象大致所示中的（）ABCD9某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A50（1+x2）196B50+50（
3、1+x2）196C50+50（1+x）+50（1+x）2196D50+50（1+x）+50（1+2x）19610已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有（）A3个B2个C1个D0个二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）11（3分）方程x22020x的解是 12（3分）关于x的一元二次方程（m+1）+4x+20中，m 13（3分）抛物线yx2+4x+7的顶点坐标为 14（3分）若二次函数yax2+c，当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函
4、数值为 15（3分）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为直线x1则该抛物线的解析式为 16（3分）在次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有 家公司出席了这次交易会？17（3分）抛物线y4x2+8x3的最大值是 18（3分）已知A（1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数yax21（a0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是 （用“”连接）19（3分）已知函数ykx22x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为 20（3分）如图，抛物线yx2+bx+c与
5、x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，则ABD的面积为 三、解答題（共6小题，共80分）21（12分）（1）先化简，再求值：（其中，a是方程x2+3x+10的根（2）已知抛物线yax2+bx+c的对称轴为x2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式22（12分）已知抛物线yx+2x+3（1）求它的对称轴和顶点坐标；（2）求该抛物线与x轴的交点坐标；（3）建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的图象23（14分）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地（1
6、）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明24（14分）为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？25（12分）阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+40，这是一个一元四次方程，根据该
7、方程的特点，它的解法通常是：设x2y，那么x4y2，于是原方程可变为y25y+40 ，解得y11，y24当y1时，x21，x1；当y4时，x24，x2；原方程有四个根：x11，x21，x32，x42（1）在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12026（16分）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线ymx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点c的距离之和最小，
8、求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得APB的面积与ACB的面积相等，求点P的坐标2019-2020学年贵州省黔东南州九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1下列方程一定是一元二次方程的是（）AB5x26y30Cax2x+20D（a2+1）x2+bx+c0【分析】找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程即可【解答】解：A、是分式方程，不合题意；B、含有2个未知数，不合题意；C、没有说明a的取值，不合题意；D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，系数不为0的整式方程，符合题意，故选：D【点评】
9、考查一元二次方程的定义的运用；掌握一元二次方程的准确定义是解决本题的关键；注意a2+1一定是一个正数2抛物线y2x2+1的对称轴是（）A直线B直线Cy轴D直线x2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴【解答】解：抛物线y2x2+1的顶点坐标为（0，1），对称轴是直线x0（y轴），故选：C【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法3若n（n0）是关于x的方程x2+mx+2n0的根，则m+n的值为（）A1B2C1D2【分析】把xn代入方程得出n2+mn+2n0，方程两边都除以n得出m+n+20，求出即可【解答】解：n（n0）是关于x的方程x2+mx+2n0的根，代入得
10、：n2+mn+2n0，n0，方程两边都除以n得：n+m+20，m+n2故选：D【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中4等腰三角形的底和腰是方程x26x+80的两根，则这个三角形的周长为（）A8B10C8或10D不能确定【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解【解答】解：方程x26x+80的解是x2或4，（1）当2为腰，4为底时，2+24不能构成三角形；（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长4+4+210故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形
11、的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论5若抛物线yx22x+c与y轴的交点为（0，3），则下列说法不正确的是（）A抛物线开口向上B抛物线的对称轴是x1C当x1时，y的最大值为4D抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0）【分析】A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向B利用x可以求出抛物线的对称轴C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值D当y0时求出抛物线与x轴的交点坐标【解答】解：抛物线过点（0，3），抛物线的解析式为：yx22x3A、抛物线的二次项系数为10，抛物线的开口向上，正确B、根据抛物线的对称轴x1，正确C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小
12、值，当x1时，y的最小值为4，而不是最大值故本选项错误D、当y0时，有x22x30，解得：x11，x23，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）正确故选：C【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据a的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当y0时求出抛物线与x轴的交点坐标6已知，满足+6，且8，则以，为两根的一元二次方程是（）Ax2+6x+80Bx26x+80Cx26x80Dx2+6x80【分析】利用根与系数的关系可得到二次项系数为1时，一次项系数为6，常数项为8，从而得到满足条件的一元二次方程【解答】解：+6，且8，以，为
13、两根的一元二次方程可为：x26x+80，故选：B【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x27在平面直角坐标系中，若将抛物线y2x24x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A（2，3）B（1，4）C（1，4）D（4，3）【分析】先把抛物线y2x24x+3化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式，求出其顶点坐标即可【解答】解：抛物线y2x24x+3化为y2（x1）2+1，函数图象向右平移3个单位长度
14、，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y2（x13）2+1+2，即y2（x4）2+3，其顶点坐标为：（4，3）故选：D【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键8在同一平面直角坐标系中，一次函数yax+c和二次函数yax2+c的图象大致所示中的（）ABCD【分析】可先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误【解答】解：A、由一次函数yax+c的图象可得：a0，c0，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点是（0，c），此时二次函数yax2+c的图象应该开口向下，c0，与x轴的交点坐标为（，0）
15、，与y轴的交点是（0，c），故A错误；B、由一次函数yax+c的图象可得：a0，c0，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点是（0，c），此时二次函数yax2+c的图象应该开口向下，c0，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点是（0，c），故B正确；C、由一次函数yax+c的图象可得：a0，c0，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点是（0，c），此时二次函数yax2+c的图象应该开口向上，c0，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点是（0，c），故A错误；D、由一次函数yax+c的图象可得：a0，c0，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点是（0，c），此时二次函数yax2+c的图
16、象应该开口向上，c0，与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点是（0，c），故D错误；故选：B【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数ykx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等9某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A50（1+x2）196B50+50（1+x2）196C50+50（1+x）+50（1+x）2196D50+50（1+x）+50（1+2x）196【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增
17、长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，50+50（1+x）+50（1+x）2196故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量10已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有（）A3个B2个C1个D0个【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得a0，根据图象与y轴交点可得c0，再
18、根据二次函数的对称轴x，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x1，结合对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b0，根据a、b、c的正负即可判断出的正误；利用ab+c0，求出a2b+4c0，再利用当x4时，y0，则16a+4b+c0，由知，b2a，得出8a+c0【解答】解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x0，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），对称轴是x1，1，b+2a0，故错误；a0，b0，c0，abc0，故错误；ab+c0，cba，a2b+4ca2b+4（ba）2b3a，又由得b2a，a2b+4c7a0，故此选项正确；根据图示知，当x4时，y0，16a+4b
19、+c0，由知，b2a，8a+c0；故正确；故正确为：两个故选：B【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）11（3分）方程x22020x的解是x10，x22020【分析】利用因式分解法求解可得【解答】解：x22020x0，x（x2020）0
20、，则x0或x20200，解得x10，x22020，故答案为：x10，x22020【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键12（3分）关于x的一元二次方程（m+1）+4x+20中，m1【分析】根据一元二次方程的定义，转化为关于m的方程即可解答【解答】解：（m+1）+4x+20中，解得，m1，故答案为1【点评】本题考查了一元二次方程的定义，要注意，二次项系数不为013（3分）抛物线yx2+4x+7的顶点坐标为（2，11）【分析】利用配方法将抛物线的解析式yx2+4x+7为
21、顶点式解析式，然后求其顶点坐标【解答】解：由yx2+4x+7，知y（x2）2+11；抛物线yx2+2x2的顶点坐标为：（2，11）故答案为：（2，11）【点评】本题考查了二次函数的性质二次函数的三种形式：一般式：yax2+bx+c，顶点式：y（xh）2+k；两根式：ya（xx1）（xx2）14（3分）若二次函数yax2+c，当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为c【分析】由于在yax2+c中，当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，所以确定抛物线的对称轴是y轴，从得到x1，x2互为相反数，即x1+x20，由此可以确定此时函数值【解答】解：在yax2+c中
22、，当x取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，抛物线的对称轴是y轴，x1，x2互为相反数，x1+x20，当x0时，yc故填空答案：c【点评】本题考查抛物线yax2+c的对称性和当x0时y的值15（3分）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴为直线x1则该抛物线的解析式为yx22x+3【分析】利用抛物线的对称性得到A点坐标为（3，0），则可设交点式为ya（x+3）（x1），然后把C点坐标代入求出a即可【解答】解：抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），对称轴为直线x1，A点坐标为（3，0），设抛物线解析式为ya（x+3）（
23、x1），把C（0，3）代入得3a3（1），解得a1，抛物线解析式为y（x+3）（x1），即yx22x+3故答案为yx22x+3【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质16（3分）在次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有13家公司出席了这次交易会？【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x1）份合同，签订合同共有x（x1）份，由此列出方程解答即可【解答】解：设有x家公司出席了这次
24、交易会，依题意，得x（x1）78整理得：x2x1560解得：x113，x212（舍去）答：共有13家公司参加商品交易会故答案为：13【点评】考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数解答中注意舍去不符合题意的解17（3分）抛物线y4x2+8x3的最大值是1【分析】化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得【解答】解：y4x2+8x34（x1）2+1，由于函数开口向下，因此函数有最大值，且最大值为1，故答案为：1【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解
25、析式整理成顶点式形式更简便18（3分）已知A（1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数yax21（a0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是y1y2y3（用“”连接）【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x0，然后比较三个点离直线x0的远近得到y1、y2、y3的大小关系【解答】解：二次函数的解析式为yax21（a0），抛物线的对称轴为直线x0，A（1，y1）、B（，y2）、C（2，y3），点C离直线x0最远，点A离直线x0最近，而抛物线开口向上，y1y2y3故答案为y1y2y3【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察
26、能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目19（3分）已知函数ykx22x+1的图象与x轴只有一个有交点，则k的值为0或1【分析】讨论：当k0时，函数为一次函数，满足条件；当k0时，利用判别式的意义得到当（2）24k0抛物线与x轴只有一个交点，求出此时k的值【解答】解：当k0时，函数解析式变形为y2x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；当k0时，（2）24k0，解得k1，此时抛物线与x轴只有一个交点，综上所述，k的值为0或1故答案为0或1【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程2
27、0（3分）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，则ABD的面积为yx2+2x+3【分析】利用矩形的性质得到E（2，3），C（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式【解答】解：四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，E（2，3），C（0，3），把E（2，3），C（0，3）代入yx2+bx+c得，解得，抛物线解析式为yx2+2x+3故答案为yx2+2x+3【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问
28、题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质和矩形的性质三、解答題（共6小题，共80分）21（12分）（1）先化简，再求值：（其中，a是方程x2+3x+10的根（2）已知抛物线yax2+bx+c的对称轴为x2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式【分析】（1）先把分子分母因式分解，再进行同分母的加法运算得到原式+1，接着解一元二次方程得到a的值，然后把a的值代入计算即可；（2）利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），于是可设抛物线的解析式为ya（x+1）（x5），然后把（1，4）代入求出a即可【解答】解：（1）原式+，原式+1，a是方程x2+3x
29、+10的根a，当a时，原式+1；当a时，原式+1；（2）抛物线的对称轴为直线x2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），设抛物线的解析式为ya（x+1）（x5），把（1，4）代入得4a2（4），解得a，抛物线的解析式为y（x+1）（x5），即yx2+2x+【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质和分式的化简求值22（12分）已知抛物线yx+2x+3（1）求它的对称轴和顶点坐标；（2）求该抛物线与x轴的交点坐标；（3）建立平面直角
30、坐标系，画出这条抛物线的图象【分析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）通过解方程x2+2x+30得到抛物线与x轴的交点坐标；（3）利用描点法画出二次函数的图象【解答】解：（1）yx2+2x+3（x1）2+4，抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，4）；（2）当y0时，x2+2x+30，解得x11，x23，该抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（3）如图，【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质23（14分）如图，利用
31、一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明【分析】（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（80x）米，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；（2）根据矩形的面积公式建立方程，根据根的判别式就可以得出方程无解，从而得出结论；（3）设矩形的面积为S，由矩形的面积公式可以得出S与x的关系，由关系式的性质就可以得出结论【解答】解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（80x）米，由题意，
32、得x（80x）750，解得：x150，x230，x45，x30所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2（2）不能因为由x（80x）810，得x280x+16200b24ac（80）2411620800，方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2（3）设矩形的面积为S，所围矩形ABCD的长AB为x米，由题意，得Sx（80x），S（x40）2+800当x40时，S最大800，且符合题意当所围矩形的长为40m、宽为20m时，能使矩形的面积最大，最大面积为800 m2【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的解析式的性质的运
33、用，根的判别式的运用，解答时求出函数的解析式是关键24（14分）为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100在30人基础上降低的人数2）参加人数3150，列出方程，然后求解即可得出答案【解答】解：10030300
34、03150，该班参加研学游活动的学生数超过30人设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：x1002（x30）3150，解得x135，x245，当x35时，人均旅游费用为1002（3530）9080，符合题意；当x45时，人均旅游费用为1002（4530）7080，不符合题意，应舍去答：共有35名同学参加了研学游活动【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点，得到总费用的等量关系是解决本题的关键25（12分）阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2y，那么x4y2，于是原方程可变为y25y+40 ，
35、解得y11，y24当y1时，x21，x1；当y4时，x24，x2；原方程有四个根：x11，x21，x32，x42（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）120【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程【解答】解：（1）换元，降次（2）设x2+xy，原方程可化为y24y120，解得y16，y22由x2+x6，得x13，x22由x2+x2，得方程x2+x+20，b24
36、ac14270，此时方程无实根所以原方程的解为x13，x22【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便26（16分）如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线ymx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点c的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得APB的面积与ACB的面积相等，求点P的坐标【分析】（1）抛物线经过A（1，0），x1，故
37、点B（3，0），则抛物线的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），故3a3，解得：a1，即可求解；（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B（3，0），直线BC交函数对称轴于点M，则点M为所求，即可求解；（3）APB的面积与ACB的面积相等，则|yP|yC3，即x22x+33，即可求解【解答】解：（1）且抛物线经过A（1，0），x1，故点B（3，0），则抛物线的表达式为：ya（x1）（x+3）a（x2+2x3），故3a3，解得：a1；故抛物线的表达式为：yx22x+3；（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B（3，0），直线BC交函数对称轴于点M，则点M为所求，将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：yx+3，当x1时，y2，故点M（1，2）；（3）APB的面积与ACB的面积相等，则|yP|yC3，即x22x+33，解得：x0（舍去）2或1，故点P的坐标为：（2，2）或（1，2）或（1，2）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏