1、第1章 特殊的平行四边形一选择题（共8小题）1下列说法中，正确的有（）个对角线互相垂直的四边形是菱形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形；对角线相等且垂直的四边形是正方形；每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形A1B2C3D42如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB4，BAD60，则OCE的面积是（）A4B2C2D3如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（3，1），则C点的坐标是（）A（1，3）B（2，3）C（3，2）D（3，1）4如图，四边形ABCD是菱形，AC12，BD16，AHBC于H，则AH等于（）
2、ABC4D55如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（）A24B36C72D1446如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CEBD，垂足为点E，CE5，且EO2DE，则ED的长为（）AB2C2D7如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A6B5C3D48如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A8B10C10.4D12二解答题（共10小题）9如图，过矩形ABCD
3、的对角线AC的中点O做EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB，DCF30，求EF的长10如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点试判断四边形AECF的形状，并加以证明11如图，在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC5，AB6，求菱形ADCF的面积12如图，AEBF，AC平分BAE，且交BF于点C，BD平分ABF，且交AE于点D，连接CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若ADB30，BD12，求AD的长13如图
4、，在ABC中，BD是AC的垂直平分线过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE求证：四边形BECD是矩形14如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AGDB交CB的延长线于点（1）求证：ADECBF；（2）若G90，求证：四边形DEBF是菱形15如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AECF，对角线AC平分ECF（1）求证：四边形AECF为菱形（2）已知AB4，BC8，求菱形AECF的面积16两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，ABBF求证：四边形BNDM为菱形17如图，在矩形ABCD中
5、，AB8cm，BC16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s连接PQ、AQ、CP设点P、Q运动的时间为ts（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积18如图，在ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD（1）求证：四边形DBEC是平行四边形（2）若ABC120，ABBC4，则在点E的运动过程中：当BE 时，四边形BECD是矩
6、形，试说明理由；当BE 时，四边形BECD是菱形参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1下列说法中，正确的有（）个对角线互相垂直的四边形是菱形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形；对角线相等且垂直的四边形是正方形；每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形A1B2C3D4【分析】利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；对角线平分、相等且垂直的四边形是
7、正方形，错误；每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，正确，故选：B2如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，连接OE，若AB4，BAD60，则OCE的面积是（）A4B2C2D【分析】由已知条件可求出菱形的面积，则ADC的面积也可求出，易证OE为ADC的中位线，所以OEAD，再由相似三角形的性质即可求出OCE的面积【解答】解：过点D作DHAB于点H，四边形ABCD是菱形，AOCO，ABBCCDAD，BAD60，DH42，S菱形ABCD428，SCDAS菱形ABCD4，点E为边CD的中点，OE为ADC的中位线，OEAD，CEOCDA，OCE的面积SCDA4，故选：D3
8、如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（3，1），则C点的坐标是（）A（1，3）B（2，3）C（3，2）D（3，1）【分析】作CDx轴于D，作AEx轴于E，由AAS证明AOEOCD，得出AEOD，OECD，由点A的坐标是（3，1），得出OE3，AE1，则OD1，CD3，得出C（1，3）【解答】解：如图所示：作CDx轴于D，作AEx轴于E，则AEOODC90，OAE+AOE90，四边形OABC是正方形，OACOBA，AOC90，AOE+COD90，OAECOD，在AOE和OCD中，AOEOCD（AAS），AEOD，OECD，点A的坐标是（3，1），OE3，AE1，OD1，CD3，C（1，3），故
9、选：A4如图，四边形ABCD是菱形，AC12，BD16，AHBC于H，则AH等于（）ABC4D5【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RtBOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BCAH，即可得出AH的长度【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC12，BD16，COAC6，BOBD8，AOBO，BC10，S菱形ABCDACBD161296，S菱形ABCDBCAH，BCAH96，AH故选：B5如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（）A24B36C72D144【分析】根据菱形的对角线互相
10、垂直平分可得ACBD，AOOC，EOOF，再求出BOOD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，四边形AECF是菱形，ACBD，AOOC，EOOF，又点E、F为线段BD的两个三等分点，BEFD，BOOD，AOOC，四边形ABCD为平行四边形，ACBD，四边形ABCD为菱形；四边形AECF为菱形，且周长为20，AE5，BD24，点E、F为线段BD的两个三等分点，EF8，OEEF84，由勾股定理得，AO3
11、，AC2AO236，S四边形ABCDBDAC24672；故选：C6如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CEBD，垂足为点E，CE5，且EO2DE，则ED的长为（）AB2C2D【分析】由矩形的性质得到ADC90，BDAC，ODBD，OCAC，求得OCOD，设DEx，OE2x，得到ODOC3x，根据勾股定理即可得到答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADC90，BDAC，ODBD，OCAC，OCOD，EO2DE，设DEx，OE2x，ODOC3x，CEBD，DECOEC90，在RtOCE中，OE2+CE2OC2，（2x）2+52（3x）2，解得：xDE；故选：A7如图，在矩形ABC
12、D中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（）A6B5C3D4【分析】利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长【解答】解：点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（2，4），线段AC5，四边形ABCD是矩形，BDAC5，故选：B8如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A8B10C10.4D12【分析】由矩形和菱形的性质可得AEEC，B90，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，四边形AECF是菱形AECFECAF，在RtABE中
13、，AE2AB2+BE2，AE21+（5AE）2，AE2.6菱形AECF的周长2.6410.4故选：C二解答题（共10小题）9如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB，DCF30，求EF的长【分析】（1）由过AC的中点O作EFAC，根据线段垂直平分线的性质，可得AFCF，AECE，OAOC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得AOFCOE，则可得AFCE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案【解答】解：（1）证明：O是AC的中
14、点，且EFAC，AFCF，AECE，OAOC，四边形ABCD是矩形，ADBC，AFOCEO，在AOF和COE中，AOFCOE（AAS），AFCE，AFCFCEAE，四边形AECF是菱形；（2）四边形ABCD是矩形，CDAB，在RtCDF中，cosDCF，DCF30，CF2，四边形AECF是菱形，CECF210如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点试判断四边形AECF的形状，并加以证明【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD，AOOC，OBOD，再求出OEOF，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可【解答】解：四边形AECF是菱形，理由如下：连接AC交BD于点O，如图所示
15、：四边形ABCD是菱形，OBOD，ACBD，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点，BEEFDF，OEOF，四边形AECF是平行四边形，又ACBD，四边形AECF是菱形11如图，在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC5，AB6，求菱形ADCF的面积【分析】（1）可先证得AEFDEB，可求得AFDB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得ADCD，可证得结论；（2）根据条件可证得S菱形ADCFSABC，结合条件可求得答案【解答】（1）证明：E是AD的中点，AEDE，
16、AFBC，AFEDBE，在AEF和DEB中，AEFDEB（AAS），AFDB，四边形ADCF是平行四边形，BAC90，D是BC的中点，ADCDBC，四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，AFBC，AFBDCD，BAC90，S菱形ADCFCDhBChSABCABAC12如图，AEBF，AC平分BAE，且交BF于点C，BD平分ABF，且交AE于点D，连接CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若ADB30，BD12，求AD的长【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出ABDADB，证出ABAD，同理：ABBC，得出ADBC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（
17、2）由菱形的性质得出ACBD，ODOBBD6，再由三角函数即可得出AD的长【解答】证明：（1）AEBF，ADBCBD，又BD平分ABF，ABDCBD，ABDADB，ABAD，同理：ABBC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，又ABAD，四边形ABCD是菱形；（2）四边形ABCD是菱形，BD12，ACBD，ODOBBD6，ADB30，cosADB，AD13如图，在ABC中，BD是AC的垂直平分线过点D作AB的平行线交BC于点F，过点B作AC的平行线，两平行线相交于点E，连接CE求证：四边形BECD是矩形【分析】求出BDC90，根据平行四边形的判定得出四边形ABED是平行四边形，关键平行四边形
18、的性质得出ADBE，根据平行四边形的判定得出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定得出即可【解答】证明：BD是AC的垂直平分线ADDC，BDCA，BDC90，由题意知：ABDE，ADBE四边形ABED是平行四边形，ADBE，DCBE，又ACBE即DCBE四边形BECD是平行四边形，四边形BECD是矩形14如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AGDB交CB的延长线于点（1）求证：ADECBF；（2）若G90，求证：四边形DEBF是菱形【分析】（1）根据已知条件证明AECF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DEBE，再根据邻边相等的平行四边形
19、是菱形，从而得出结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，AC，点E、F分别是AB、CD的中点，AEAB，CFCD，AECF，在ADE和CBF中，ADECBF（SAS）；（2）G90，AGBD，ADBG，四边形AGBD是矩形，ADB90，在RtADB中E为AB的中点，AEBEDE，DFBE，DFBE，四边形DEBF是平行四边形，四边形DEBF是菱形15如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AECF，对角线AC平分ECF（1）求证：四边形AECF为菱形（2）已知AB4，BC8，求菱形AECF的面积【分析】（1）根据矩形的性质 先证明四边形AECF是
20、平行四边形，然后证明EACACE得出AECE，从而可证得四边形AECF是菱形；（2）首先设BFx，则FC8x，然后由勾股定理求得（8x）2+42x2，求出x的值，得出FC，再根据菱形面积计算方法即可求得答案【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形AECFAECF四边形AECF是平行四边形AC平分ECFACFACEAECFACFEACEACACEAECE四边形AECF是菱形（2）设BFx，则FC8xAFFC8x在RtABF中 AB2+BF2AF2（8x）2x2+42解得：x3FC835S菱形AECFFCAB542016两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置，ABBF求证：四边形BNDM
21、为菱形【分析】易证四边形BNDM是平行四边形；根据ABBF，运用AAS可证明RtABMRtFBN，得BMBN根据有一邻边相等的平行四边形是菱形得证【解答】证明：两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE，根据矩形的对边平行，BCAD，BEDF，四边形BNDM是平行四边形，ABM+MBN90，MBN+FBN90，ABMFBN在ABM和FBN中，ABMFBN，（ASA）BMBN，四边形BNDM是菱形17如图，在矩形ABCD中，AB8cm，BC16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s连接PQ、AQ、CP设点P、Q
22、运动的时间为ts（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQAP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQAC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长410，根据菱形的面积求出面积即可【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB8cm，BC16cm，BCAD16cm，ABCD8cm，由已知可得，BQDPtcm，APCQ（16t）cm，在矩形ABCD中，B90，ADBC，当BQAP时，四边形ABQP为矩形，t16t，得t8，故当t8s时，
23、四边形ABQP为矩形；（2）APCQ，APCQ，四边形AQCP为平行四边形，当AQCQ时，四边形AQCP为菱形即16t时，四边形AQCP为菱形，解得t6，故当t6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t6s时，AQCQCPAP16610cm，则周长为410cm40cm；面积为10cm8cm80cm218如图，在ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD（1）求证：四边形DBEC是平行四边形（2）若ABC120，ABBC4，则在点E的运动过程中：当BE2时，四边形BECD是矩形，试说明理由；当BE4时
24、，四边形BECD是菱形【分析】（1）先证明EBFDCF，可得DCBE，可证四边形BECD是平行四边形；（2）根据四边形BECD是矩形时，CEB90，再由ABC120可得ECB30，再根据直角三角形的性质可得BE2；根据四边形BECD是菱形可得BEEC，再由ABC120，可得CBE60，进而可得CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案【解答】（1）证明：ABCD，CDFFEB，DCFEBF，点F是BC的中点，BFCF，在DCF和EBF中，EBFDCF（AAS），DCBE，四边形BECD是平行四边形；（2）解：BE2；当四边形BECD是矩形时，CEB90，ABC120，CBE60；ECB30，BEBC2，故答案为：2；BE4，四边形BECD是菱形时，BEEC，ABC120，CBE60，CBE是等边三角形，BEBC4故答案为：4