1、第1章 勾股定理一选择题（共9小题）1直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（）A13cmBcmCcmD9cm2如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A4B8C16D643我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）ABCD4如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A72B52C80D765下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（）A4，5，6B
2、3，4，5C5，6，7D1，36下列各数组中，不是勾股数的是（）A5，12，13B7，24，25C8，12，15D3k，4k，5k（k为正整数）7将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A1、2、3B2、3、4C3、4、5D4、5、68如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD1.5米竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（）米A2B2.5C2.25D39如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距
3、离地面2.4米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A2.7米B2.5米C2米D1.8米二填空题（共5小题）10直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 11如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在RtABC中，ACb，BCa，ACB90，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 12已知：如图，四边形ABDC，AB4，AC3，CD12，BD13，BAC90则四边形ABDC的面积是 13如图所示的一块地，已知AD4米，CD3米，ADC90，AB13米，BC12米，这块地的面积为 14在一个长为2米，宽
4、为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米（精确到0.01米）三解答题（共3小题）15已知等腰三角形ABC的底边BC20cm，D是腰AB上一点，且CD16cm，BD12cm（1）求证：CDAB；（2）求该三角形的腰的长度16如图，一架梯子长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？17如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，
5、需要爬行的最短距离是多少？参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（）A13cmBcmCcmD9cm【分析】首先根据勾股定理，得直角三角形的斜边是13，再根据直角三角形的面积公式，得其斜边上的高是【解答】解：如图：设AC5cm，BC12cm，根据勾股定理，AB13cm，根据三角形面积公式：51213CD，CDcm故选：C2如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A4B8C16D64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平
6、方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积【解答】解：正方形PQED的面积等于225，即PQ2225，正方形PRGF的面积为289，PR2289，又PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2PQ2+QR2，QR2PR2PQ228922564，则正方形QMNR的面积为64故选：D3我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）ABCD【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可【解答】解：A、+c2+ab（a+b）（a+b），整理得：a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、4+c2（a+b）2，整理得：a2+b2
7、c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、4+（ba）2c2，整理得：a2+b2c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D4如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A72B52C80D76【分析】由题意ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x21
8、22+52169所以x13所以“数学风车”的周长是：（13+6）476故选：D5下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（）A4，5，6B3，4，5C5，6，7D1，3【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】解：A、42+5262，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、32+4252，能构成直角三角形，故符合题意；C、52+6272，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、12+（）232，不能构成直角三角形，故不符合题意故选：B6下列各数组中，不是勾股数的是（）A5，12，13B7，24，25C8，12，15D3k，4k，5k（k为正整数）【分析】勾股定理的
9、逆定理的逆定理是判定是否是直角三角形的根据之一【解答】解：A、52+122132，故错误；B、72+242252，故错误；C、82+122152，故正确；D、（3k）2+（4k）2（5k）2，故错误故选：C7将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A1、2、3B2、3、4C3、4、5D4、5、6【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可【解答】解：A、12+2232，不能组成直角三角形，故A选项错误；B、22+3242，不能组成直角三角形，故B选项错误；C、32+4252，组成直角三角形，故C选项正确；D、42+5262，不能组成直角三角
10、形，故D选项错误故选：C8如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD1.5米竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（）米A2B2.5C2.25D3【分析】设BD的长度为xm，则ABBC（x+0.5）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】解：设BD的长度为xm，则ABBC（x+0.5）m，在RtCDB中，1.52+x2（x+0.5）2，解得x2故选：A9如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米
11、若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A2.7米B2.5米C2米D1.8米【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度【解答】解：由题意可得：AD20.72+2.426.25，在RtABC中，ABC90，BC1.5米，BC2+AB2AC2，AB2+1.526.25，AB2，AB0，AB2米，小巷的宽度为0.7+22.7（米）故选：A二填空题（共5小题）10直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边上的高【解答】解：设斜边长为c，高为h由勾股定理可得：c232+42
12、，则c5，直角三角形面积S34ch可得h，故答案为：11如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在RtABC中，ACb，BCa，ACB90，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为79【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（ba），再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解【解答】解：由图可知，（ba）25，4ab42537，2ab37，（a+b）2（ba）2+4ab5+23779故答案为7912已知：如图，四边形ABDC，AB4，AC3，CD12，BD13，BAC90则四边形ABDC的面积是3
13、6【分析】连接BC，根据勾股定理可求得BC的长根据勾股定理的逆定理可得到BCD也是直角三角形，从而求得ABC与BCD的面积和即得到了四边形ABDC的面积【解答】解：连接BC，A90，AB4，AC3BC5，BC5，BD13，CD12BC2+CD2BD2BCD是直角三角形S四边形ABCDSBCD+SABC43+51236，故答案为：3613如图所示的一块地，已知AD4米，CD3米，ADC90，AB13米，BC12米，这块地的面积为24m2【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，ABC的面积减去ACD的面积就是所求的面积【解答】解：如图，连接AC由勾股定理可知AC5，
14、又AC2+BC252+122132AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面积ABC的面积ACD的面积24（m2）14在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是2.60米（精确到0.01米）【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答【解答】解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，长为2+0.222.4米；宽为1米于是最短路径为：2.60米故答案为：2.60三解答题（共3小题）15已知等腰三角形ABC的底边BC20cm，D是
15、腰AB上一点，且CD16cm，BD12cm（1）求证：CDAB；（2）求该三角形的腰的长度【分析】（1）依据勾股定理的逆定理，即可得到BDC90，即可得到CDAB；（2）设腰长为x，则ADx12，由（1）可知AD2+CD2AC2，解方程（x12）2+162x2，即可得到腰长【解答】解：（1）BC20cm，CD16cm，BD12cm，满足BD2+CD2BC2，根据勾股定理逆定理可知，BDC90，即CDAB；（2）设腰长为x，则ADx12，由（1）可知AD2+CD2AC2，即：（x12）2+162x2，解得x，腰长为cm16如图，一架梯子长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米，如果梯子的
16、顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题【解答】解：由题意知ABDE2.5米，BC0.7米，AD0.4米，在直角ABC中，AC为直角边，AC2.4米，已知AD0.4米，则CD2.40.42（米），在直角CDE中，CE为直角边CE1.5（米），BE1.5米0.7米0.8米答：梯子的底部在水平方向上滑动了0.8米17如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是
17、多少？【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，BDCD+BC10+515，AD20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，BDCD+BC20+525，AD10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB5；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，ACCD+AD20+1030，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB5；255，蚂蚁爬行的最短距离是25