1、22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系,第22章 一元二次方程,驶向胜利的彼岸,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,复习导入,解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中的两个解的和与积和原来的方程的系数有什么联系？,-4,0,2,2,0,1,-3,-4,2,3,5,6,探索新知,探索1一般地，对于关于x的方程x2+p x+q=0 （p、q为已知常数，p2-4q0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2， 算一算x1+x2、x1、x2 的值，你能发现什么结论？与前面的观察的结果是否一致？,关于x的方程x2+p
2、 x+q=0 （p、q为已知常数，p2-4q0），用求根公式求得 x1 = 、x2 =,则x1+x2=-p，x1 x2=q，这说明一元二次方程的系数与方程的两个根之间总存在一定的数量关系。用这种关系可以在已知一元二次方程一个根的情况下求出另一个根及未知系数，或求作一个一元二次方程。,结论：,填写下表：,猜想：,如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？,探索2 依据探索1过程，自己探索关于x的方程ax2+bx+c=0(a0）的两根x1 x2与系数a、b、c之间有何关系？,友情提示,根与系数的关系存在的前提条件是：（1)a0(2)b2-4ac0,已知：如果一元二次方程
3、的两个根分别是 、 。,求证：,推导:,如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,掌握新知,的值。,解：,根据根与系数的关系:,例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1 x2，那么,解：设方程的两根分别为 和 ，则： 而方程的两根互为倒数即： 所以： 得：,例3. 方程 的两根互 为倒数，求k的值。,例 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 两根互为相反数两根之和m10,m
4、1,且0m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数 m26m5,两根之积2m11 m1且0,m1时,方程的两根互为倒数. 方程一根为0,两根之积2m10 且0, 时,方程有一根为零.,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,补充规律：,两根均为负的条件： x1+x2 x1x2 。,两根均为正的条件： x1+x2 且x1x2 。,两根一正一负的条件： x1+x2 且 x1x2 。 当然，以
5、上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0,1、如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_。 2、设 x1、x2是方程x24x+1=0的两个根，则x1+x2 = _ ,x1x2 = _， x12+x22 = ( x1+x2)2 - _ = _ ( x1-x2)2 = ( _ )2 - 4x1x2 = _,x1+x2,2x1x2,-3,4,1,14,12,（还有其他解法吗？）,巩固练习,3、判断正误：以2和-3为根的方程是x2x-6=0 （ ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_ 。,2和-1,5. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 的两个根分别是 、 ，其中 。所以： 即： 由于得：k=-7答：方程的另一个根是 ，k=-7,2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.,3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 中代数里，当且仅当 时，才能应用根与系数的关系.,1.一元二次方程根与系数的关系是什么?,归纳小结,学习专看文学书，也是不好的。先前的文学青年，往往厌恶数学理化史地生物学，以为这些都无足轻重，后来变成连常识也没有。 鲁迅,