1、2017-2018学年广西南宁三中高一（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）对于函数f（x）sin（x+），下列命题正确的是（）Af（x）是周期为2的偶函数Bf（x）是周期为的偶函数Cf（x）是周期为2的奇函数Df（x）是周期为的奇函数2（5分）若，且，则tan（）A2BC2D3（5分）化简cos15cos45sin165sin45的值为（）ABCD4（5分）在ABC中，若点D满足（）A+BCD5（5分）在等差数列an中，已知a31，a73，则数列an的前9项之和等于（）A9B18C36D5
2、26（5分）若函数yAsin（x+）（A0，0，|）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OMON（O为坐标原点），则A等于（）ABCD7（5分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB等于（）ABCD8（5分）中国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192 里B96 里C48 里D24 里
3、9（5分）若tan2则（）ABCD10（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为（）ABCD11（5分）设锐角ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a1，B2A，则b的取值范围为（）A（，）B（1，）C（，2）D（0，2）12（5分）数列an是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于（）A17B16C15D14二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上的相应位置）13（5分）已知数列an的前n项和为Sn2n1，则数列an的通项公式为 14（5分）如图，测量河对岸的旗
4、杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD75，BDC60，CDa，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60，则旗杆高AB为 15（5分）（理）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|4，若+（、R），则+的值为 16（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）f（x），当3x1时，f（x）（x+2）2，当1x3时f（x）x，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2018） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知向量，满足：|，|4，（）2（）
5、求向量与的夹角；（）求|t|的最小值及取得最小值时t的取值18（12分）已知f（x）2cos2 x+2sinxcosx+a（a为常数）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间，上的最大值与最小值之和为3，求a的值19（12分）在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c已知，且（）求角A大小（）若，求ABC的面积S的大小20（12分）已知an是各项为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2+b32a3，a53b27（1）求an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和为Sn21（12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边
6、长为4且DAB60的菱形，ACBD0，A1C1B1D1O1，E是O1A的中点（1）求二面角O1BCD的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离22（12分）已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相等，且a1+2a2+22a3+2n1an8n对任意的nN*都成立，数列bn+1bn是等差数列（1）求数列an与bn的通项公式；（2）是否存在kN*，使得bkak（0，1）？请说明理由2017-2018学年广西南宁三中高一（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）对于函数f（x）sin
7、（x+），下列命题正确的是（）Af（x）是周期为2的偶函数Bf（x）是周期为的偶函数Cf（x）是周期为2的奇函数Df（x）是周期为的奇函数【分析】利用诱导公式可得f（x）cosx，显然是偶函数，再根据函数yAcos（x+）的周期为，求得它的周期，从而得到结论【解答】解：对于函数f（x）sin（x+）cosx，显然是偶函数，且周期为2，故选：A【点评】本题主要考查诱导公式、函数yAcos（x+）的周期性，利用了函数yAcos（x+）的周期为，属于基础题2（5分）若，且，则tan（）A2BC2D【分析】利用向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出【解答】解：，sin2cos，cos0则tan2
8、故选：A【点评】本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）化简cos15cos45sin165sin45的值为（）ABCD【分析】直接利用三角函数关系式的变换和和角公式的应用求出结果【解答】解：cos 15cos 45sin 165sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos（15+45）cos 60故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，和角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4（5分）在ABC中，若点D满足（）A+BCD【分析】由向量的运算法则，结合题意可得，代入已知化简
9、可得【解答】解：由题意可得故选：A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题5（5分）在等差数列an中，已知a31，a73，则数列an的前9项之和等于（）A9B18C36D52【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出【解答】解：a1+a9a3+a74，故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）若函数yAsin（x+）（A0，0，|）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OMON（O为坐标原点），则A等于（）ABCD【分析】根据图象求出，设出M，N的坐标，OMON（O为坐标原点），即可
10、求函数f（x）的解析式；【解答】解：由题意，T，则2设M的坐标为（，A），那么N的坐标为（，A），OMON，KOMKON1，解得：A故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系7（5分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB等于（）ABCD【分析】根据等比数列的性质，可得ba，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：ABC中，a、b、c成等比数列，则b2ac，由c2a，则ba，故选：B【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用8（5分）中国古代数学名著算法统宗中
11、有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192 里B96 里C48 里D24 里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列an、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得378，解得a1192，第此人二天走19296里，第二天走了96里，故选：B【点评】本题考查等比数列
12、的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题9（5分）若tan2则（）ABCD【分析】利用同角三角函数关系，即可求得结论【解答】解：tan2，sin2+cos21故选：A【点评】本题考查同角三角函数关系，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为（）ABCD【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d1，a11由等差数列的通项公式可得，ana1+（n1）d1+（n1）1n1故选：A【点评】本题主要考查了等差数列的
13、通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题11（5分）设锐角ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a1，B2A，则b的取值范围为（）A（，）B（1，）C（，2）D（0，2）【分析】由题意可得02A，且3A，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得b2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可【解答】解：锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B2A，02A，且B+A3A，3AA，cosA，a1，B2A，由正弦定理可得：b2cosA，2cosA，则b的取值范围为（，）故选：A【点评】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键
14、是确定出A的范围12（5分）数列an是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于（）A17B16C15D14【分析】等差数列an的前n项和Sn有最大值，可得：a10，d0由于，可得a8（a8+a9）0，可得7da1，再利用前n项和公式即可得出【解答】解：等差数列an的前n项和Sn有最大值，a10，d0，a8（a8+a9）0，0，7da1，Snna1+d，S1515（a1+7d）0，S16160，当Sn取得最小正值时，n15故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每
15、小题5分，共20分把答案填在答题卡上的相应位置）13（5分）已知数列an的前n项和为Sn2n1，则数列an的通项公式为an2n1（n1）【分析】先根据an和Sn的关系：anSnSn1 （n2），再验证n1时通项是否成立【解答】解：n2时，anSnSn12n1，n1时也满足上式，故答案为an2n1（n1）【点评】本题第一问考查了已知前n项和为Sn求数列an的通项公式，根据an和Sn的关系：anSnSn1 （n2）求解数列的通项公式另外，须注意公式成立的前提是n2，所以要验证n1时通项是否成立，若成立则：anSnSn1 （n1）；若不成立，则通项公式为分段函数14（5分）如图，测量河对
16、岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD75，BDC60，CDa，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60，则旗杆高AB为【分析】在CBD中根据三角形的内角和定理，求出CBD180BCDBDC45，从而利用正弦定理求出BC然后在RtABC中，根据三角函数的定义加以计算，可得旗杆AB的高度【解答】解：BCD中，BCD75，BDC60，CBD180BCDBDC45，在CBD中，CDa，根据正弦定理，可得BC，RtABC中，ACB60，ABBCtanACBtan60，即旗杆高为故答案为：【点评】本题给出实际应用问题，求棋杆AB的高度着重考查了三角形内角和定理、利用正弦定理解三
17、角形和三角函数的定义等知识，属于中档题15（5分）（理）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|4，若+（、R），则+的值为6【分析】此题考查向量的加减法，数乘、数量积运算，关键是利用已知条件：+，将其平方【解答】解：+，且根据已知条件2+40 *4*2*cos3012即*4212 由得，2，4故答案为：6【点评】此题考查向量的基本运算，学生应熟练掌握向量的运算，是一道高考常见的题型16（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）f（x），当3x1时，f（x）（x+2）2，当
18、1x3时f（x）x，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2018）339【分析】由f（x+6）f（x），可知函数的周期为6，从而f（3）f（3）1，f（2）f（4）0，f（1）f（5）1，f（0）f（6）0，f（1）1，f（2）2，在一个周期内有f（1）+f（2）+f（6）1+21+01+01，由此能求出f（1）+f（2）+f（2018）的值【解答】解：由f（x+6）f（x），可知函数的周期为6，因为当3x1时，f（x）（x+2）2，当1x3时f（x）x，所以f（3）f（3）1，f（2）f（4）0，f（1）f（5）1，f（0）f（6）0，f（1）1，f（2）2，所以在一个周期内有f（1）+f（
19、2）+f（6）1+21+01+01，所以f（1）+f（2）+f（2018）f（1）+f（2）+3361336+3339故答案为：339【点评】本题考查函数值的求法，考查函数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知向量，满足：|，|4，（）2（）求向量与的夹角；（）求|t|的最小值及取得最小值时t的取值【分析】（）根据条件求出4，结合向量数量积的应用进行求解即可（）根据向量模长公式进行转化，结合一元二次函数的性质进行求解【解答】解：（） 设向量，的夹角为，（）222，22，即4，所以cos，0，（）
20、|t|2t222t+22t28t+162（t2）2+8，当t2时，|t|2取得最小值8，即|t|取得最小值2【点评】本题主要考查向量数量积的应用，结合向量夹角以及向量模长公式是解决本题的关键18（12分）已知f（x）2cos2 x+2sinxcosx+a（a为常数）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间，上的最大值与最小值之和为3，求a的值【分析】（1）先利用二倍角公式及和角正弦公式化简函数f（x）为一个角一个函数的形式，令2k2x+2k+，求出x的范围写出区间形式即得到f （x）的单调递增区间；（2）根据x，求出整体角的范利用三角函数的单调性求出函数的最值，根据题意列出方程进
21、一步求出a的范围【解答】解：（1）f （x）2cos2x+2sin xcosx+a2cos2x1+2sin xcosx+a+12cos2x+sin 2x+a+12sin（2x+）+a+1令2k2x+2k+，即kxk+，f （x）的单调递增区间是k，k+（kZ） （6分）（2）因为x，所以2x+，所以sin（2x+）1，所以12sin（2x+）2，所以a2sin（2x+）a+3，f （x）min+f （x）maxa+a+33，a0（12分）【点评】本题考查求三角函数的性质问题应该先根据三角函数的公式化简三角函数为只含一个角一个函数名的形式，然后利用整体角处理，属于中档
22、题19（12分）在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c已知，且（）求角A大小（）若，求ABC的面积S的大小【分析】（）根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出bsinC+2csinBcosA0，从而由正弦定理可得bc+2bccosA0，从而求得，进而得出A；（）根据余弦定理可得到a2c2+b22bccosA，从而得出b2+2b80，解出b2，从而可求出ABC的面积【解答】解：（）；（sinC，sinBcosA）（b，2c）0；bsinC+2csinBcosA0；由正弦定理得bc+2cbcosA0b0，c0；1+2cosA0；0A；（）ABC中，a2c2+b22cbcosA；124+b
23、24bcos120；b2+2b80；b4（舍）或b2；面积 【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，正余弦定理，三角形的面积公式20（12分）已知an是各项为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2+b32a3，a53b27（1）求an和bn的通项公式；（2）设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和为Sn【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）有，利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）设an的公比为q，bn的公差为d，由题意q0，由已知，有，消去d得q42q280，解得q2，d2，所以an的通项公式为，bn的通项公式为（2）由（1）有，
24、设cn的前n项和为Sn，则，两式相减得，所以【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB60的菱形，ACBD0，A1C1B1D1O1，E是O1A的中点（1）求二面角O1BCD的大小；（2）求点E到平面O1BC的距离【分析】本题一个求二面角与点到面距离的题，（1）求二面角的方法有二，一是用立体几何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式求出二面角的余弦，再求角（2）求点到面的距离也有二种方法，一种是
25、几何法，作出点到面的垂线段，用解三角形的方法求之二是用向量法，找出平面上一点与此点相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离【解答】证明：（I）过O作OFBC于F，连接O1F，OO1面AC，BCO1F，O1FO是二面角O1BCD的平面角，（3分）OB2，OBF60，OF在RtO1OF在，tanO1FO，O1FO60即二面角O1BCD为60（6分）解：（II）在O1AC中，OE是O1AC的中位线，OEO1COEO1BC，BC面O1OF，面O1BC面O1OF，交线O1F过O作OHO1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，（9分）点E到面O1BC的距离等于OH，
26、OH点E到面O1BC的距离等于（12分）解：法二：（I）在正方体中，有OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）底面ABCD是边长为4，DAB60的菱形，OA2，OB2则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），O1（0，0，3）设平面O1BC的法向量为（x，y，z），则，则z2，x，y3，（，3，2），而平面AC的法向量（0，0，3）cos，设O1BCD的平面角为，cos，60故二面角O1BCD为60（II）设点E到平面O1BC的距离为d，E是O1A的中点，（，0，），则d点E到面O1BC的距离等于【点评】本题考查的知识点是用空间向量
27、求平面间的夹角，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，然后将空间直线与平面、平面与平面位置关系转化为向量之间的关系，是解答本题的关键本题运算量较大，解题时要严谨，用向量解决立体几何问题是近几年高考的热点，本题中的类型近几年出现的频率较高22（12分）已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相等，且a1+2a2+22a3+2n1an8n对任意的nN*都成立，数列bn+1bn是等差数列（1）求数列an与bn的通项公式；（2）是否存在kN*，使得bkak（0，1）？请说明理由【分析】（1）利用a1+2a2+22a3+2n1an8n推出n1时的表达式，然后作差求出数列an的通项公式，利用数列bn+1b
28、n是等差数列利用累加法求出bn的通项公式；（2）化简bkakk27k+1424k，通过k4时，f（k）（k）2+24k单调递增，且f（4）1，所以k4时，f（k）1，结合f（1）f（2）f（3）0，说明不存在kN*，使得bkak（0，1）【解答】解：（1）已知a1+2a2+22a3+2n1an8n（nN*）n2时，a1+2a2+22a3+2n2an18（n1）（nN*）得2n1an8，解得an24n，在中令n1，可得a18241，所以an24n（nN*）（4分）由题意b18，b24，b32，所以b2b14，b3b22，数列bn+1bn的公差为2（4）2，bn+1bn4+（n1）22n6，bnb1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）8+（4）+（2）+（2n8）n27n+14（nN*）、（8分）（2）bkakk27k+1424k，当k4时，f（k）（k）2+24k单调递增，且f（4）1，所以k4时，f（k）k27k+1424k1又f（1）f（2）f（3）0，所以，不存在kN*，使得bkak（0，1）（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力