1、 - 1 - 福建师大附中福建师大附中 2012019 9- -20202020 学年上学年上学期期学期期中中考试考试 高高三数学（理科）试卷三数学（理科）试卷 试卷说明： （1）本卷共三大题，22 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。 （2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1. 已知集合 | 110Axx，集合 |lg1Bxx，则AB 2.若非零向量a，b满足| |ab，向量2a b 与b垂直，则a与b的
2、夹角为 3.已知 0.2 1.2 5 1 2 ,2log 2 2 abc ，则, ,a b c的大小关系为 4. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 31.5，前 九个节气日影长之和为 85.5 尺，则芒种日影长为 5. 设 n a是首项为正数的等比数列，公比为q，则“0q”是“对任意的正整数n，0 212 nn aa” 的 A | 110xx B | 110xx C |010xx D |010xx A150 B120 C60 D30 Abac Bcab C
3、cba Dbca A1.5 尺 B2.5 尺 C3.5 尺 D4.5 尺 A充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 - 2 - 6. 若 1 sin 42 a ，则cos2 2 a 7.己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是 A. 1 ( )sin 1 x x e f xx e B. 1 ( )sin 1 x x e f xx e C. 1 ( )cos 1 x x e f xx e D. 1 ( )cos 1 x x e f xx e 8. 17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄 金分割.
4、如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底 与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种 是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中 一个黄金ABC中， 51 2 BC AC .根据这些信息，可得sin234 A. 1 2 5 4 B. 35 8 C. 51 4 D. 45 8 9. 若x，y满足约束条件 220 330 240 xy xy xy ，目标函数z axy 仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 10. 已知平面向量,PA P
5、B满足 1 1, 2 PAPBPA PB ，若1BC ，则AC的最大值为 11.已知函数 2 31 cossin(0,R) 222 x f xxx .若函数 fx在区间,2内没有零点， 则的取值范围是 A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 1 3 A 1 ( 2, ) 2 B 11 00, 32 （- ， ）（） C 1 (0, ) 2 D 1 1 (, ) 3 2 A21 B31 C21 D31 - 3 - 12.设函数 2 e+ x f xax(aR)有且仅有两个极值点 12 xx，( 12 xx)，则实数a的取值范围是 卷卷 （非选择题，共（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题
6、：每小题 5 分,共 20 分. 13.边界在直线 ,xe yx 及曲线 1 y x 上的封闭的图形的面积为 14. 16 至 17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急， 约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数后来数学家欧拉发现了对 数与指数的关系，即= b aN=logabN.现在已知2 =3 a ， 3 =4 b ，则ab 15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产” ，我国拥有世 界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口 径A,B两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C，D，
7、 测得80CD ，135ADB，15BDCDCA， 120ACB，则A,B两点的距离为_ 16. 已知数列 n a的前n项和为 n S（ * nN） ，且满足 2 1 2 nn SSnn ，若对 * 1 , nn nN aa 恒成 立，则首项 1 a的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） A 5 0, 12 B 55 11 0, 126 12 C 5 0, 6 D 55 11 0, 126 12 A e
8、e, 2 B e , 2 Ce, D e e, 2 - 4 - 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 6 6 acb，sin6sinBC. （1）求cos A的值； （2）求 sin 2 6 A 的值. 18.（12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，221 nn Sna （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 * 2 1 4 n n bnN a ，数列 n b的前n项和为 n T，证明：1 n T . 19 （12 分） 如图，在ABC 中，角, ,A B C 的对边分别为, ,a b c ,cosCab sinC . （1）求角B 的大小； （2）若, 2
9、AD 为 ABC 外一点，2,1DBDC ，求四边形ABDC面积的最大值. 20 （12 分） 已知数列 n a满足： 12 121 222 nn nn aaaan ，*nN. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足： 1 1b ， 1 2n nnn bba ，求数列 n b的通项公式. - 5 - 21 （12 分） 已知函数 2 1 ( )(1)ln 2 f xxaxax，aR. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）当0a 时，记( )f x的最小值为M，证明： 13 15 M . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则
10、按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt （t 为参数，0） ，以坐标原点为极点， 以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 6 cos8 sin210，已 知直线l与曲线C交于不同的两点A, B （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设P(1，2)，求 22 PAPB的取值范围 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( )13f xxx . （1）解不等式( )1f xx； （2）设函数 ( )f x的最小值为c，实数ab满足 0a ，0b
11、 ，abc，求证： 22 1 11 ab ab . - 6 - 评分标准 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B C C A C A D D B 二、填空题：二、填空题： 13. 2 3 2 e 14. 2 15. 580 16. 1 3 (, ) 4 4 三、解答题三、解答题: : 17. 解：（1）sinB6sinC 由正弦定理得，b6c，2 分 ac 6 6 b，a2c， ，4 分， 由余弦定理知，cosA 222222 2 bca6cc4c36 2bc42 6c2 6 6 分 （2）由（1）知，cosA 6 4 A 为
12、三角形内角，sinA 2 10 1 cos A 4 ，7 分 sin2A= 15 , 4 8 分 cos2A= 2 cos A- 2 1 sin A 4 9 分 sin 2A 6 sin2Acos 6 cos2A sin 3 51 68 12 分 18. 解：因为221 nn Sna 所以当1n时， 11 231Sa，得 1=1 a.1 分 当2n时， 11 211 nn Sna -得， 1 ) 1()2(2 nnn anana3 分 即 n n a a n n 1 1 ， 132 1 1221 131 1 122 nn n nn aaaannn aa aaaann ，5 分 - 7 - 1=
13、1 a符合上式.故 1. 2 n n a 6 分 （2） 22 11111 411 1 n n b an nnn n 9 分 11111111 111 2233411 n T nnn 12 分 19.解： （1）在ABC 中，cosCab sinC. sincossinAB sinCC ，1 分 cossin BCsinB sinCC cos,0BsinCsinBsinC sinC ， cosB sinB ，即tan1B ，4 分 0,B 4 B .6 分 （2）在BCD 中，2,1,BDDC 222 122 1 2 cos54cosBCDD 又 2 A ， 则ABC为等腰直角三角形， 2 1
14、115 cos 2244 ABC SBCBCBCD ，8 分 又 1 2 BDC SBDDCsinDsinD ，9 分 55 cos2 444 ABDC SDsinDsin D ，11 分 当 3 4 D 时，四边形ABCD 的面积最大值，最大值为 5 2 4 .12 分 20. 解： （1） 1n 时 1 1a ， 1 分 12 121 222 nn nn aaaan 23 121 221 nn n aaan 2n - -22 n an 2n 4 分 1 1a 满足上式，故2 n an.5 分 - 8 - （2） 1 22n nn bbn ，有 1 21 2 32 1 1 1 2 0 2 3
15、22 n nn bb bb bbnn 累加整理 121 1 1 20 2322 n n bnn ， 7 分 23 22 1 20 2322 n n bnn ， - - 得 2 21 2 1 2 1 2324252 1 2 n nn n bnnn 1 1b 满足上式，故425 n n bn.12 分 21. （1）因为 fx的定义域为0,， 又 1 +1 xxaa fxxa xx ， 1 分 所以当0a 时， 0fx ， fx在0,单调递增 当0a时，若0xa 时， 0fx ， fx在0, a单调递减； 若xa时， 0fx ， fx在, a单调递增 综上，当0a 时， fx在0,单调递增； 当0
16、a时， fx在0, a上单调递减，在, a单调递增4 分 （2）当0a时，由（1）知， 2 min 1 ln 2 f xfaaaaa ， 5 分 令 2 1 ln 2 g xxxxx ，0x，则 lngxxx ， 令 lnh xxx ，0x，则 11 10 x h x xx ， 所以 h x在,0单调递减， 又 111 0 2 h ee ， 11 1 0h ee ，所以存在 0 11 ,x ee ， 使得 0 0h x，且 00 ln0xx， 所以当 0 ,xx 时， 0gx， g x单调递增； - 9 - 当 0,0 xx时， 0gx， g x单调递减； 所以当 0 xx时， g x取得最大
17、值， 因为 2222 0000000000 111 ln 222 g xxxxxxxxxx 2 0 11 1 22 x， 令 211 1 22 k xx， 11 ,x ee ， 则 k x在 11 , ee 单调递减， 所以 2 111111213 225315 k x eeee ，所以 0 13 15 g x ， 因此当0a时， min 13 15 f x，即 13 15 M12 分 22. 解： （1）因为 1cos 2sin xt yt ，所以 sinsincossin cos2cossincos xt yt ，两式相减可得 直线l的普通方程为sincossin2cos0xy. 2 分
18、因为cosx，siny， 222 xy， 所以曲线C的直角坐标方程 22 68210xyxy. 4 分 （2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 整理得关于t的方程： 2 4(sincos)40tt. 因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为 12 ,t t， 则 12 tt4(sincos )， 1 2 4t t . 5 分 并且 2 16(sincos )1632sincos0 ， 注意到0 ，解得0 2 . 6 分 因为直线l的参数方程为标准形式，所以根据参数t的几何意义， 有 22 |PAPB 22 12 tt 2 121 2 ()2ttt t 2
19、 16(sincos)8 16sin28，8 分 因为0 2 ，所以sin2(0,1，16sin28(8,24 . - 10 - 因此 22 |PAPB的取值范围是(8,24.10 分 23. 解：当时，不等式可化为421xx，1x 又1x ，x； 当13x时，不等式可化为21x，1x 又13x，13x 当3x 时，不等式可化为241xx，5x 又3x ， 综上所得， 原不等式的解集为 4 分 （2）证明：由绝对值不等式性质得， 13132xxxx ， ，即 令1am ，则，4mn， 22 22 11 11 mnab abmn 11 4mn mn 4 mn 2 4 1 2 mn ， 原不等式得证 10 分