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2020届甘肃省甘谷高三上学期第四次检测考试数学(理)试题含答案(PDF版)

1、 - 1 - 甘谷一中甘谷一中 20192020 学年度高三级第四次检测考试学年度高三级第四次检测考试 理科数学理科数学 一、一、选择题选择题(本大题共本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1 )( 21 43 i i Ai 21 Bi2 C.i2 D i 21 2已知全集为R,集合02| 2 xxxA,0| 2 xxxB,则)()(BCA R A, 1)2,( B), 1 (0 ,( C. 1 , 2( D 1 , 1( 3在等差数列 n a中,已知 57 8aa,则该数列前 11 项和 11 s=( ) A

2、44 B.55 C.143 D176 4函数 | 3 cos)( )( x e xxx xf 的大致图象是( ) 5.动点A在圆1 22 yx上移动时,它与定点0 , 3B连线的中点的轨迹方程是 ( ) A.023 22 xyx B. 023 22 xyx C. 023 22 yyx D. 023 22 yyx 6设nm,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若nm,/且nm ,则 B若nm,且nm/,则/ C若,/nm且/m,则n D若nm,且nm/,则/ 7 .函数( )2sin(),(0,) 22 f xx 的部分图象如图所示, 则, 的值分别是( ) A

3、. 2, 6 B. 4, 6 C.2, 3 D.4, 3 8泰山有“五岳之首” “天下第一山”之称,登泰山的路线有四条:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路, 天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均 不同,且均没有走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述: - 2 - 甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路; 丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路; 事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是( ) A甲走桃花峪登山线路 B乙走红门盘道徒步线路

4、 C丙走桃花峪登山线路 D甲走天烛峰登山线路 9如图,正方体 1111 DCBAABCD的棱长为)6 , 2 , 1(, 1iEi分别是棱 的中点,则多面体 6543211 EEEEEEB的体积为( ) A 16 9 B 4 1 C. 8 3 D 3 1 10已知圆0462: 22 yxyxC与直线0:byxl,若直线 l与圆C交于BA,两点,OAOB(90为坐标原点) ,则b的值为( ) A1 B2 C. 1 D 2 11四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,BCDAB平面,BCD是边长为 3 的等边三角形, 若2AB,则球O的表面积为( ) A.16 B 3 32 C12 D32 12

5、如图 1 四边形ABCD与四边形ADEF分别为正方 形和等腰梯形,,2,/AFEFAD2, 4EFAD,沿 AD边将四边形ADEF折起,使得平面ADEF平面 ABCD,如图 2,动点M在线段EF上,GN,分别是 BCAB,的中点,设异面直线MN与AG所成的角为,则cos的最大值为 ( ) A 10 30 B 5 10 C. 10 10 D 5 5 第第 II 卷卷 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13若向量( 1,2)xa和向量(1, 2)b垂直,则ab_ 14函数2ln2)( 3 xxxf的图象在1x处的切线方程为 .

6、15已知各项都是正数的等比数列 n a中, 231 2 , 2 1 ,aaa成等差数列,则 87 109 aa aa . 16已知函数Rxxxxf|,3|)( 2 .若方程0| 1|)(xaxf恰有 3 个互异的实数根, 则实数a的取值集合为_ 三、解三、解答题答题(本大题共本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明、分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分(本小题满分 10 分)分)如图,在三棱柱CBAABC中, - 3 - 已知CC平面ABC, 90ACB,3BC,4CCAC. (1) 求证:BACA; (2) 求直线C C

7、与平面CAB 所成角的正弦值. 18.(本小题满分(本小题满分 12 分)分)已知半径长为5的圆C截y轴所得弦长为6,圆心在第一象限且到直线 02:yxl的距离为 5 56 (1)求这个圆的方程; (2)求经过1,0P 与圆C相切的直线方程 19. (本小题满分(本小题满分 12 分)分) 如图, 在ABC中,BC边上的中线AD长为 3, 且 10 cos 8 B , 1 cos 4 ADC (1)求sinBAD的值; (2)求AC边的长 20.(本小题满分(本小题满分12分)分)已知数列 n a的前 n 项和为 n S,且)(22 NnaS nn . (1)求数列 n a的通项 n a. (

8、2)设 nn anc) 1( ,求数列 n c的前 n 项和 n T 21.(本小题满分(本小题满分 12 分)分)已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的左、右焦点分别为MFF, 21 为椭圆上一动 点,当 21F MF的面积最大时,其内切圆半径为 3 b ,设过点 2 F的直线l被椭圆C截得的线段RS, 当xl 轴时,3RS. (1)求椭圆C的标准方程; - 4 - (2)若点A为椭圆C的左顶点,QP,是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线AQAP,的斜率分别为 21,k k,若 4 1 21 kk,试问直线PQ是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明

9、理由. 22.(本小题满分(本小题满分 12 分)分)已知函数m x xx xf3 )ln1)(1( )( ,xmxxgln)()R(m. (1) 求函数)(xg的单调区间与极值. (2) 当0m时,是否存在2 , 1, 21 xx,使得)()( 21 xgxf成立?若存在,求实数m的取值范围,若不 存在,请说明理由. 甘谷一中甘谷一中 20192020 学年度高三级第四学年度高三级第四次检测考试次检测考试 数学理答案数学理答案 一、选择题一、选择题 15 题题 DCAAB 610 题题 BCDCB 1112 题题 AA 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5

10、 分,共分,共 20 分分.) 13. 5 14. 02 yx 15. 32 2 16. 9 , 1 三、解答题三、解答题 17.解:(1) 如图, 连接C A , 因为CC平面ABC,AC平面ABC,BC平面ABC, 所以ACCC, BCCC. 1 分 又4CCAC,所以四边形ACAC为正方形,所以CACA. 因为 90ACB,所以CBAC .又AC平面ACAC,CC平面ACAC,CCCAC,所 以,BC平面ACAC.3 分 因为CA平面ACAC,所以CABC. 又CA平面CB A ,BC平面CB A ,CBCCA,所以CA平面CB A .因为 B A平面 CB A ,所以BACA.5 分

11、(2)解法解法 1:在ABC中, 90ACB,3BC,4AC,所以643 2 1 ABC S. 又CC平面ABC,4CC,所以三棱锥ABCC 的体积8 3 1 1 CCSV ABC 7 分 易知5 22 BCACAB,5 22 BCCCCB,24 22 ACCCCA, 所以3428-2524 2 1 CAB S8 分 - 5 - 设点C到平面CAB 的距离为h,则三棱锥CABC的体积hhSV CAB 3 342 3 1 2 , 由等体积法可知 21 VV ,则8 3 342 h,解得 17 346 h.设直线C C 与平面CAB 所成的角为,则 34 343 sin CC h ,故直线C C

12、与平面CAB 所成角的正弦值为 34 343 10 分 解法解法 2:(2)由(1)知,CA,CB, C C 两两垂直,以C为坐标原点,以CA,CB,C C 所在的直线分 别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为3BC,4CCAC. 所以)(0 , 0 , 0C,)(0 , 0 , 4A,)(0 , 3 , 0B,)(4 , 0 , 0 C ,6 分 所以)(4 , 0 , 0CC,)(0 , 3 , 4AB,)(4 , 0 , 4CA.7分 设平面CAB 的法向量为)(zyxn,,则 0 0 CAn ABn ,即 044 034 zx yx , 令4y,3 zx,所以)(3 ,

13、4 , 3n为平面CAB 的一个法向量, 则 34 343 ,cos CCn CCn CCn . 9 分 设直线C C 与平面CAB 所成的角为,则 34 343 ,cossinCCn, 故直线C C 与平面CAB 所成角的正弦值为 34 343 .10 分 18.(1)由题圆心),(baC,半径r=5截y轴弦长为 60,259 2 aa 4a 2 分 由C到直线02:yxl的距离为 5 56 , , 5 56 5 |24| b d, 1b4 分 所以圆的方程为 25) 1()4( 22 yx 6 分 (2)分情况讨论:当直线存在斜率时,设切线方程为:) 1( xky 由C到直线) 1( xk

14、y的距离5 1 15 2 k k 8 分 5 12 k 切线方程:012512 yx 10 分 当直线过点1,0且斜率不存在时,方程1x 也是所求的切线方程. - 6 - 综上,切线方程为012512 yx和1x 12 分 19.(1); 8 63 sin, , 8 10 cosBB 4 15 sin, 4 1 cosADCADC ; 4 6 )sin(sinBADCBAD6 分 (2)在ABD中,由正弦定理,得 sinsin ADBD BBAD ,即 3 3 66 84 BD ,解得2BD故2DC , 从而在ADC中,由余弦定理,得 222 2cosACADDCAD DCADC 22 1 3

15、22 3 2 ()16 4 ; AC= 4 .12 分 20.(1)), 2(22, 22 11 NnnaSaS nnnn 1 分 两式相减得 11 22 nnnn aaSS 1 2 nn aa, )2(2 1 Nnn a a n n ,即数列an是等比数列3 分 ), 2(222 1 Nnna nn n ), 1(2 11 NnnaSa n n 5 分 (2) n n nc2) 1( nn n nnT2) 1(2242322 1321 7 分 1432 2) 1(22423222 nn n nnT .8 分 得 1432 2) 1(22224 nn n nT )1( 2) 1( 21 )21

16、 (2 2 n n n10 分 111 22) 1(2 nnn nn.11 分 1 2 n n nT .12 分 21.解: (1)由题意及三角形内切圆的性质可得 3 )22( 2 1 2 2 1b cabc,得 2 1 a c 2 分 将cx 代入1 2 2 2 2 b y a x ,结合 222 cba,得 a b y 2 ,.4 分 - 7 - 所以3 2 2 a b ,由得3, 2ba5 分 故椭圆C的标准方程为1 34 22 yx 6 分 (2)设点QP,的坐标分别为)( 11,y x,)( 22,y x. 当直线PQ的斜率不存在时,由题意得),(),( 2 3 1 2 3 1QP或

17、),(),( 2 3 1 2 3 1QP, 直线PQ的方程为1x7 分 当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为mkxy, 联立得 mkxy yx 1 34 22 ,消去y得0124834 222 mkmxxk)(, 由0)34(48)124)(34(464 222222 mkmkmk,得 22 34mk ) 1.( 34 124 , 34 8 2 2 21 2 21 k m xx k km xx.(8 分) 由, 4 1 )2)(2( 21 21 21 xx yy kk可得0)2)(2(4 2121 xxyy, 得0)2)(2()(4 2121 xxmkxmkx, 整理得)2( , 044

18、)(24() 14( 2 2121 2 mxxkmxxk 由(1)和(2)得02 22 kkmm,解得km2或km.(10 分) 当km2时,直线PQ的方程为kkxy2,过定点)0 , 2(,不合题意;.(11 分) 当km时,直线PQ的方程为kkxy,过定点)0 , 1 (, 综上直线PQ过定点,定点坐标为)0 , 1 ((12 分) 22 解: (1))0( 1 )(x x mxg, 1 分 当0m时,0 1 )( x mxg恒成立,即函数)(xg的单调增区间为),(0,无单调减区间,所以不 存在极值. 2 分 当0m时,令0 1 )( x mxg,得 m x 1 ,当 m x 1 0时,

19、0)( x g,当 m x 1 时,0)( x g, - 8 - 故函数)(xg的单调增区间为),( m 1 0,单调减区间为),( m 1 ,此时函数)(xg在 m x 1 处取得极大值, 极大值为m mm m m gln1 1 ln 1 ) 1 (,无极小值. 3 分 综上, 当0m时, 函数)(xg的单调增区间为),(0, 无单调减区间, 不存在极值. 当0m时, 函数)(xg 的单调增区间为),( m 1 0,单调减区间为),( m 1 ,极大值为mln1,无极小值.4 分 (3)当0m时 , 假 设 存 在2 , 1, 21 xx, 使 得)()( 21 xgxf成 立 , 则 对2

20、 , 1x, 满 足 m i nm a x )()(xgxf. 5 分 由m x xx xf3 )ln1)(1( )( )(2 , 1x可得, 22 ln )ln1)(1() 1 1ln1 ( )( x xx x xxx x x xf . 令)(2 , 1ln)(xxxxh,则0 1 1)( x xh,所以)(xh在2 , 1上单调递增,所以1) 1 ()( hxh, 所以0)( x f,所以)(xf在2 , 1上单调递增, 所以mmfxf3 2 )2ln1 ( 3 3 2 )2ln1)(12( )2()( max 7 分 由(1)可知,当1 1 0 m 时,即1m时,函数)(xg在2 , 1

21、上单调递减,所以)(xg的最小值是 2ln2)2(mg. .8 分 当2 1 m ,即 2 1 0 m时,函数)(xg在2 , 1上单调递增, 所以)(xg的最小值是mg) 1 (. 9 分 当2 1 1 m 时,即1 2 1 m时,函数)(xg在 m 1 , 1上单调递增,在 2 , 1 m 上单调递减.又 mmmgg2ln22ln) 1 ()2(,所以当2ln 2 1 m时,)(xg在2 , 1上的最小值是mg) 1 (. 当12ln m时,)(xg在2 , 1上的最小值是mg22ln)2(.10 分 所以当2ln0 m时,)(xg在2 , 1上的最小值是mg) 1 (,故mm 3 2 )2ln1 ( 3 , 解得m 4 )2ln1 ( 3 ,所以02ln m. 11 分 当m2ln时,函数)(xg在2 , 1上的最小值是mg22ln)2(,故mm22ln3 2 )2ln1 ( 3 , 解得m 2 2ln3 ,所以 2 2ln3 2ln m.故实数m的取值范围是),( 2 2ln3 0 .12 分