1、 - 1 - 数学（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求） 1复数 1 2 z i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2已知函数 ( )f x是定义R在上周期为4的奇函数，且当0,2x 时， 2 ( )2f xxx，则( 5)f 的值为 （ ） A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 3若yx 0，则下列各式中一定正确的是 Asinxsiny Blnxlny C xy ee D 11 xy 4已知正数项等比数列 n a中， 1 1a ，且
2、 1 4a与 5 a的等差中项是 3 2a，则 2 a （ ） A2 B2 C4 D2 或 4 5若 6 . 0 3 1 a， 8 . 0 3b，3lnc，则cba,的大小关系（ ） A.acb B.bac C.abc D.bca 6下列判断正确的是（ ） A. 命题“0x ，201920190 x ”的否定是“ 0 0x， 0 201920190 x ” B. 函数 2 2 1 9 9 f xx x 的最小值为 2 C. “2x ”是“22xx”的充要条件 D. 若 0a b ，则向量a与b夹角钝角 7 将函数( )2cos() 6 f xx 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍 （
3、纵坐标不变） ， 得到函数( )yg x 的图像，则函数( )yg x的图像的一个对称中心是（ ） A. (,0) 12 B. (,0) 3 C. 5 (,0) 12 D. 2 (,0) 3 8双曲线 22 22 :1 xy E ab (00ab，）的离心率是5，过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足为M，若 OFM的面积是 1，则双曲线E的实轴长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 9若曲线 ln1yx的一条切线是yaxb ，则4 b ae的最小值是（ ） A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2 - 2 - 10如图，在ABC中，ACAD 8 5 ，PDBP 5 2 ， 若
4、APABAC，则的值为 A 11 12 B 28 25 C 4 1 D 14 13 11已知函数( )sin() 6 f xx (0)的最小正周期为，若( )f x在0, )xt时所求函数值中没有最 小值，则实数t的范围是( ) A. 0, 6 B. 2 0, 3 C. 5 , 36 D. 2 , 3 3 12 已知函数 2 ,0 ,0 x x x f x ex ， x g xe（e是自然对数的底数） ， 若关于x的方程 0g f xm恰 有两个不等实根 1 x、 2 x，且 12 xx ，则 21 xx的最小值为（ ） A. 1 1 ln2 2 B. 1 ln2 2 C. 1 ln2 D.
5、1 1 ln2 2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 1323 x ， 2 4 log 3 y，则x y_. 14平面向量a与b的夹角为45，(1, 1)a ，1b ，则2ab_. 15若函数 2x f xxeax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为_ 16 如图， 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中， 点M是AD的中点， 动点P在底面ABCD 内 （不 包括边界） ，若 1 / /B P平面 1 ABM，则 1 C P的最小值是_ - 3 - 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过
6、程或演算步骤）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知正项数列 n a的前n项和 n S满足： 11nn a aSS （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 2 log 32 n n a b ，求数列 n b的前n项和 n T. 18 （本小题满分 12 分）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，ABC的面积为S，若 222 4 3 3 abcS. （）求角C的大小； （）若3c ， 3 2 S ，求ab的值. 19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，ADDC， 平面PAD底面ABCD，
7、Q为AD的中点，M是PC的中点，2PAPD， 1 1 2 BCAD， 3CD . （）求证：PQAB； （）求二面角PQBM的余弦值. 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左， 右焦点分别为 1 3,0F ， 2 3,0F， 且经过点 1 3, 2 A （）求椭圆C的标准方程； （）过点0(4 )B ，作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于PQ，两点，记点P关于x轴 对称的点为 P 证明：直线P Q 经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标 21 （本小题满分 12 分）已知函数 2 e2RR x f xmxm xm， （1）讨论函数 f x的单
8、调性； （2）若1m ，不等式 lnln2f xxbx对一切0x 恒成立，求实数b的取值范围 - 4 - 22 在直角坐标系xOy中， 过点1,1P的直线l的参数方程为 1cos 1sin xt yt （t为参数） 以坐标原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos （）求曲线C的直角坐标方程； （）若直线l与曲线C相交于,A B两点，求 11 |PAPB 的最小值 23设函数( )3f xxaxa （1）若 ( )f x的最小值是4，求a的值； （2）若对于任意的实数xR，总存在2,3a ，使得 2 4( )0mmf x成立，求实 数m的取值范围 数学（理科）
9、答案 1【答案】D 根据复数的除法运算得到结果. 【详解】复数 12222 222555 ii zi iii 对应的点坐标为 22 , 55 在第四象限. 2 【 答 案 】 B 由 题 意 ， 函 数 fx是 定 义R在 上 周 期 为4的 奇 函 数 ， 所 以 ( 5)( 54)( 1)(1)ffff ， 又0,2x时， 2 2f xxx ，则 2 2 1111f ，所以( 5)(1)1ff ，故选 B. 3【答案】D 4 1 4a与 5 a的等差中项是 3 2a，所以 315 224aaa，即 24 111 224aqaaq， 42 2 4402122qqqa ，负值舍去，故选 B 5
10、【答案】B【解析】由题意得： 6 . 0 3 1 a， 8 . 0 3b，2 , 13ln c所以bac 6【答案】C 【详解】解：对于选项 A，命题“0x ，201920190 x ”的否定是“ 0 0x， 0 201920190 x ”，即 A 错误；对于选项 B，令 2 9tx ，则3t ，则 1 ( )g tt t ，3t ，又( )g t 在3,为增函数， 即 min 10 ( )(3) 3 g tg， 即 B 错误； 对于选项 C， 由“2x ”可得“ 22xx”， 由“22xx”可得220xx，解得“2x ”，即 “2x ”是“22xx”的充要 条件，即 C 正确，对于选项 D，
11、若 0a b ，则向量a与b夹角为钝角或平角，即 D 错误，故选 C. - 5 - 7【答案】D【解析】将函数 2cos 6 f xx 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ， 得 到 函 数 ygx的 图 象 ， 则 2 c o s2 6 gxx ， 由 题 可 得 当 2 3 x 时 ， 223 2 c o s22 c o s0 3362 g .即函数 yg x的图象的一个对称中心是 2 ,0 3 故选 D 8【答案】B【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为b,故,OFb OMa FMb,根据面积公式有 1 1,2 2 abab,而 222 5, c cab a ,解
12、得1,2,5abc,故实轴长22a ,选 B 9 【答案】 C 【解析】 设切点为,ln1mm, 11 ,fxfm xm ,故切线方程为 1 ln1ymxm m , 即 1 lnyxm m ,所以 144 ,ln ,424 b abm aemm mmm .故选 C. 10 11【答案】D【详解】因为函数( )sin() 6 f xx (0)的最小正周期为， 所以2，当0, )xt时，2,2) 666 xt ，因为0, )xt时所求函数值中没有最小值， 所以 53 2 662 t ，解得 2 33 t ，所以t的取值范围是 2 (, 33 ， 12【答案】D【详解】解： 2 ,0 ,0 x x
13、x f x ex ， 0f x 恒成立， f x gf xem ， lnf xm， 作函数 fx，lnym的图象如下，结合图象可知，存在实数ln01tmt ，使得 1 2 2 x xet， 故 21 1 ln 2 xxtt ，令 1 ln 2 h ttt ，则 1 1 2 h t t ， 故 h t在 1 0, 2 递减，在 1 ,1 2 递增， 111 ln2 222 h th ，故选：D 13【答案】2 详解：由23 x ，可得 22 4 log 3,log 3 xy，则 2 222 4 log 3loglog 22 3 xy， - 6 - 故答案为2. 14.10 15【答案】,2ln2
14、2【解析】由题意， 20 x fxxea有解，即2 x xea有解，令 2 x g xxe， 2 x gxe，当ln2x 时 0gx，当ln2x 时 0gx，所以 max ln22ln22g xg，故只需2ln22a 16【答案】 30 5 详解】取BC中点N，连结 11 ,B D B N DN，作CODN，连 1 C O， 因为面 1 / /B DN面面 1 ABM，所以动点P在底面ABCD 内轨迹为线段DN， 当点P与点O重合时， 1 C P取得最小值，因为 1 115 2 2255 2 DN CODC NCCO ， 所以 22 1min11 130 ()1 55 C PCOCOCC. 1
15、7【答案】 （1）2n n a ； （2） 2 9 2 nn 【试题解析】 （1）由已知 11nn a aSS，可得 当1n 时， 2 111 aaa，可解得 1 0a ，或 1 2a ， 由 n a是正项数列，故 1 2a . 当2n 时，由已知可得22 nn aS， 11 22 nn aS ， 两式相减得， 1 2 nnn aaa .化简得 1 2 nn aa ，数列 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 2n n a . 数列 n a的通项公式为2n n a . （2） 2 log 32 n n a b ，代入2n n a 化简得5 n bn，显然 n b是等差数列，其前n项
16、和 2 45 9 22 n nn nn T . 18. - 7 - 19【答案】 （）见解析.（） 3 2 . 试题解析： （）在PAD中，PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平面PAD底面ABCD， 且平面PAD底面ABCDAD，所以PQ 底面ABCD.又AB平面ABCD，所以PQAB. （）在直角梯形ABCD中，/ /ADBC， 1 2 BCAD，Q为AD的中 点，所以 / /BC QD， 所以四边形BCDQ为平行四边形. 因为ADDC，所以ADQB，由（）可知PQ 平面ABCD， 以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz. 则0,0,0Q，1,0,0A，0,0, 3P
17、，1, 3,0C ，1,0,0D ， 0, 3,0B. 因为AQPQ，AQBQ，所以AQ 平面PQB， 即OA为平面PQB的一个法向量，且1,0,0OA. 因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为 133 , 222 ， 又0, 3,0QB ，设平面MQB的法向量为, ,mx y z. 则 0 0 m QB m QM ，即 30 133 0 222 y xyz ，令1z ，得3x ，0y ，所以3,0,1m . - 8 - 从而cos,OA m 3 2 OA m OA m . 由题知，二面角PQBM为锐角，所以二面角PQBM的余 弦值为 3 2 . 20【答案】 （） 2 2 1 4 x y（）
18、证明见解析，直线P Q 经过x轴上定点D，其坐标为1,0 【详解】解： （）由椭圆的定义，可知 12 2aAFAF 2 2 11 2 34 22 .解得2a .又 2 22 31ba， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y. （）由题意，设直线l的方程为40xmym. 设 11 ,P x y， 22 ,Q xy，则 11 ,P xy. 由 2 2 4 1 4 xmy x y ，消去x，可得 22 48120mymy. 2 16120m Q， 2 12m . 12 2 8 4 m yy m ， 12 2 12 4 y y m . 2121 2121 PQ yyyy k xxm yy ， 直
19、线P Q的方程为 21 11 21 yy yyxx m yy .令0y ， 可得 21 1 12 4 m yy xmy yy . 12 12 2 4 my y x yy 2 2 12 2 24 4 441 8 8 4 m m m m m m .1,0D. 直线P Q经过x轴上定点D，其坐标为1,0. 21 （本小题满分 12 分） 解： （1） f x的定义域是R， 2 2e2 x fxm 0m 时， 0fx ， f x在R上单调递增： 0m 时， 2 2e20 x fxm，解得 1 ln 2 xm， 当 1 ln 2 xm时， 0fx ，则 f x在 1 ln 2 m ，上递减； - 9 -
20、 当 1 ln 2 xm时， 0fx ，则 f x在 1 ln 2 m ，上递增 （2）法 1：当1m 时， 2 e21 x f xx，依题意知不等式 lnln2f xxbx， 即 2 e21lnln2 x xxbx 在0 ，上恒成立， 即 2 eln2ln2e x xbx在0 ，上恒成立， 设 2 eln2 x g xxbx， 2 1 2e2 x gxb x ， 令 0 2 0 0 1 2e20 x gxb x ， 0 2 0 0 1 2e20 x bx x ， 易知 g x在 0 0x，上递减，在 0 x ，上递增， 则 00 22 00000 min eln212eln1ln2e xx
21、g xg xxbxxx ， 即 0 2 00 21 eln20 x xx，设 0 20tx，则 1 e ln0h ttt， 1 e0h tt t ，则 h t递增，又 10h ，故 0 021tx ， 0 1 0 2 x， 0 2 0 1 22e2e2 x b x ，解得2e4b （3）法 2：当1m 时， 2 e21 x f xx， 不等式 lnln2f xxbx，即为 2 e21lnln2 x xxbx ， 整理为 2 e2ln2e0 x xxbx，也即为 2 e2ln2e2e40 x xxbx 构造函数 exg xx，易知 g x单调递增，又2ln2e21ln20xxxx ， 即2ln2
22、exx，所以2ln2egxgx，即 2 e2ln2e2e0 x xxx恒成立 故 2 e2ln2e2e2e40 x xxxbx恒成立，只需（2e400bxx恒成立， 则个定有2e40b，解得2e4b 22. 【详解】解： （）4cos， 2 4 cos. 由直角坐标与极坐标的互化关系 222 xy，cosx. 曲线C的直角坐标方程为 22 40xyx. （）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，并整理得 2 2sin2cos20tt . 2 2sin2cos80 Q，可设 12 ,t t是方程的两个实数根，则 12 2cos2sintt， 1 2 20t t . - 10 - 11 PAPB 1
23、212 12121 2 11tttt ttt tt t 2 121 2 4 2 ttt t 2 2cos2sin8 8 2 22 ， 当 4 时，等号成立. 11 PAPB 的最小值为 2. 22.【答案】 （1） 1a； （2）66m 详解： （）( ) |3 |f xxaxa|()(3 )| 4|xaxaa， 由已知 min ( )4f x，知4| 4a ，解得 1a. （）由题知 2 | 4| 4|mma，又a是存在的， 2 max |4| 4|12mma. 即 2 |4| 120mm，变形得(| 6)(| 2)0mm，| 6m ，66m . 点睛： （1）利用ababab和ababab可对含绝对值的不等式进行放缩，从 而求得最值（注意验证取等号的条件） ；