1、第2讲 数列求和与数列综合问题,近五年高考试题统计与命题预测,1.(2019全国,文18)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求an的通项公式; (2)若a10,求使得Snan的n的取值范围. 解:(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2. 因此an的通项公式为an=10-2n. 由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN.,2.(2019全国,文18)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的
2、通项公式; (2)设bn=log2an.求数列bn的前n项和. 解:(1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.,3.(2019北京,文16)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)记an的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 解:(1)设an的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,
3、a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6). 所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,an=2n-12. 所以,当n7时,an0;当n6时,an0. 所以,Sn的最小值为S6=-30.,4.(2019天津,文18)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求an和bn的通项公式;,5.(2019江苏,20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列an(nN*
4、)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列an为“M- 数列”; 求数列bn的通项公式; 设m为正整数.若存在“M- 数列”cn(nN*),对任意正整数k,当km时,都有ckbkck+1成立,求m的最大值.,整理得bn+1+bn-1=2bn. 所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列bn的通项公式为bn=n(nN*).,由知,bk=k,kN*. 因为数列cn为“M- 数列”, 设公比为q,所以c1=1,q0.因为ckbkck+1,所以qk-1kqk,其中k=1,2,3,m. 当k=1时,有q1;,令f(x)=0,得x=e. 列表如下:,即kqk,经检验知qk-1
5、k也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m6,分别取k=3,6,得3q3,且q56,从而q15243,且q15216, 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 名师点睛本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.,一、公式求和 1.等差、等比数列的前n项和公式 2.4类特殊数列的前n项和,二、分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和,即把一个通项拆成几个通
6、项求和的形式,方便求和. 三、裂项相消法求和 把数列的通项公式拆成两项之差的形式,求和时正负项相消,只剩下首尾若干项,达到化简求和的目的.常见的裂项式,四、错位相减法求和 已知数列an是等差数列,数列bn是等比数列,求数列anbn的前n项和Sn时,先令Sn乘以等比数列bn的公比,再错开位置,把两个等式相减,从而求出Sn. 五、并项求和 并项求和法:把数列的一些项合并成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,分组转化法求和 例1(2019山东济南质检)已知在等比数列an中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)若数
7、列bn满足bn=2n-1+an(nN*),数列bn的前n项和为Sn,试比较Sn与n2+2n的大小.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练1 Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lgan,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg99=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列bn的前1 000项和. 解:(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101
8、=2.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,错位相减法求和 例3(1)已知等差数列an满足:an+1an(nN*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1. 分别求数列an,bn的通项公式; 求数列anbn的前n项和Tn. (2)(2018浙江,20)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+
9、2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n. 求q的值; 求数列bn的通项公式.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解:(1)设等差数列an的公差为d,则d0, 由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d), 解得d=2,或d=-2(舍去),所以an=1+(n-1)2=2n-1.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,
10、考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,并项求和 A.5 050 B.5 100 C.9 800 D.9 850 (2)已知等差数列an的各项均为正数,其公差为2,a2a4=4a3+1. 求an的通项公式; 求a1+a3+a9+ .,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)解析:设kN*,当n=2k时,a2k+1=-a2k+4k, 即a2k+1+a2k=4k, 当n=2k-1时,a2k=a2k-1+4k-2, 联立可得,a2k+1+a2k-1=2, 所以数列an的前100项和 Sn=a1+a2+a3+a4+a99+a100 =(a1+a3+a99)
11、+(a2+a4+a100) =(a1+a3+a99)+(-a3+4)+(-a5+42)+(-a7+43)+(-a101+450) =252+-(a3+a5+a101)+4(1+2+3+50) 答案:B,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)解:因为等差数列an的各项均为正数,其公差为2,a2a4=4a3+1.所以(a1+2)(a1+6)=4a1+17,解得a1=1或a1=-5(舍去).所以an的通项公式为an=2n-1. a1+a3+a9+ =(21-1)+(23-1)+(232-1)+(23n-1),考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应
12、训练4 (2018河南郑州模拟)在等差数列an中,已知a3=5,且a1,a2,a5为递增的等比数列. (1)求数列an的通项公式;,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,解:(1)设等差数列an的公差为d,易知d0, 由题意得,(a3-2d)(a3+2d)=(a3-d)2, 即d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去), 所以数列an的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-1. (2)当n=2k,kN*时, Sn=b1+b2+bn=(b1+b3+b2k-1)+(b2+b4+b2k) =(a1+a2+ak)+(20+21+2k-1),考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,数列与其他知识交
13、汇的题目 例5(1)(2018江苏,14)已知集合A=x|x=2n-1,nN*,B=x|x=2n,nN*.将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和,则使得Sn12an+1成立的n的最小值为 .,(2)已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f(x)=6x-2,数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上. 求数列an的通项公式;,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)解析:若an+1=2k(kN*), 则Sn=21+22+2k-1+1+3+2k-1=2k-2+(2k-1)2(2k-1)2+2k-2122
14、k. 令2k=t t2+t-212tt(t-44)8. t64k6.此时,n=k-1+2k-1=37. 若an+1=2k+1(kN*), 则Sn=21+22+2t+1+3+2k-1(2t12(2k+1)2t+1-k2+24k+14. -k2+24k+1412. 取k=21,此时 2t43(舍),取k=22,292t45,t=5,n=5+22=27.由,得nmin=27. 答案:27,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)解:设二次函数f(x)=ax2+bx(a0), 则f(x)=2ax+b. 由于f(x)=6x-2,得a=3,b=-2, 所以f(x)=3x2-2x. 又因为点(n,Sn
15、)(nN*)均在函数y=f(x)的图象上, 所以Sn=3n2-2n. 当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5; 当n=1时,a1=S1=312-21=61-5,也适合上式,所以an=6n-5(nN*).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,对应训练5 求数列an的通项公式; 记bn= ,求数列bn的前n项和Tn的最小值. (2)(2018江苏,20)设an是首项为a1,公差为d的等差数列,bn是首项为b1,公比为q的等比数列. 设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围; 若a1=b10,mN*,q(1, ,证明:存在dR,使得|an-bn|b1对n=2,3,m+1均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,高考解答题的审题与答题示范(二) 数列解答题 审题方法审结构 结构是数学问题的搭配形式,某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系.审视结构要对结构进行分析、加工和转化,以实现解题突破.,