1、4.2.2 求数列的通项及前n项和,-2-,考向一,考向二,考向三,求数列的通项及错位相减求和 例1(2019天津卷,文18)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求an和bn的通项公式; (2)设数列cn满足 求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN*).,-3-,考向一,考向二,考向三,-4-,考向一,考向二,考向三,解题心得若已知数列为等差或等比数列,求其通项是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.,-
2、5-,考向一,考向二,考向三,对点训练1(2019江西景德镇高三第二次质检)已知首项为1的等差数列an的前n项和为Sn,S3为a4与a5的等差中项,数列bn满足 (1)求数列an与bn的通项公式; (2)求数列anbn的前n项和Tn.,-6-,考向一,考向二,考向三,解 (1)设等差数列an的公差为d. 因为S3为a4与a5的等差中项, 所以2S3=a4+a5, 即2(3+3d)=(1+3d)+(1+4d),解得d=4. an=a1+(n-1)d=1+(n-1)4=4n-3.,-7-,考向一,考向二,考向三,(2)anbn=(4n-3)2n, Tn=121+522+923+(4n-3)2n,
3、2Tn=122+523+(4n-7)2n+(4n-3)2n+1, 下式减上式,得Tn=(4n-3)2n+1-4(22+23+2n)-2 =(4n-7)2n+1+14.,-8-,考向一,考向二,考向三,求数列的通项及裂项求和 例2(2019广东汕尾普通高中高三教学质量监测)已知数列an为等差数列,S2=0,S6-S3=21. (1)求数列an的通项公式;,-9-,考向一,考向二,考向三,-10-,考向一,考向二,考向三,解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an. 把数列
4、的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.,-11-,考向一,考向二,考向三,对点训练2已知an是公差不为零的等差数列,满足a3=7,且a2,a4,a9成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设数列bn满足bn=anan+1,求数列 的前n项和Sn.,-12-,考向一,考向二,考向三,-13-,考向一,考向二,考向三,求数列的通项及分项求和 例3(2019天津卷,理19)设an是等差数列,bn是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4. (1)求an和bn的通项公式;,-14-,考向一,考向二,考向三,-1
5、5-,考向一,考向二,考向三,-16-,考向一,考向二,考向三,解题心得若能把一个数列的通项分成一部分是等差数列通项,另一部分是等比数列,则其前n项和分成了两个数列的前n项和,分别求和后相加即可;同理,若一个数列的前n项和不好求,对其通项变形后,如果能分成两个部分,每一部分的前n项和能求,则问题得到解决.,-17-,考向一,考向二,考向三,对点训练3已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=lg an,求数列an+bn的前n项和Tn.,-18-,考向一,考向二,考向三,解 (1)由Sn=2an-1(nN),可得S1=2a1-1, a1=2a1-1.a1=1. S2=2a2-1,a1+a2=2a2-1, a2=2.数列an是等比数列, 数列an的通项公式为an=2n-1. (2)由(1)知,bn=lg an=(n-1)lg 2, 数列bn+an的前n项和 Tn=(b1+a1)+(b2+a2)+(bn+an) =(0+1)+(lg 2+2)+(n-1)lg 2+2n-1 =lg 2+2lg 2+(n-1)lg 2+(1+2+2n-1),